ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 18

э ! э ! Здесь ав — постоянные коэффициенты; Ф вЂ” произвольное целое число. Найдем комплексное нзображенне производной гармоннческой функцнн вре- меня а (С): К~ — 1= — ~е )и~~ — а(т)~М. о Интегрируя (2.37) по частям, получаем Т К~ — а (Г)~= — [е )и~ а (!)! ' — е )не а(г) йц дг Т Т Учитывая, что каждый нз сомножителей произведения е '" а (1) является перноднческой функцией времени с периодом Т = 2я!ы и, следовательно,раэвость значений этого произведения, взятых через вернод, равна нулю [е)не а (м)] =ейвта(т) — е(и~ а(О)=О, 2Т а также, что велнчнна -[ е рве а (Г) дт представляет собой комплексную амн- ТО лнтуду Ат гармоннческой фуикцнн а ((), получаем окончательно Г д К (( — а(!)~=]ыА,„.

'( де Таким образом, дифференцированию еармонических функций времени соответслмует умноатйие их комплексных амплитуд на [ы): — а (с) =,' !ыАт. (2. 38) д( Определим комплексное изображение интеграла от гармонической функции времени а (() г г г ~~ ""1--)' "'~~'""1" т~ Ф Интегрируя по частям, получаем г ~г Т к[ ) ма)- — )' — ),(ц ~ —,-ь',на T — /та /ит /ы — ы о Следовательно, интегрированию гармонических функций времени соответствует деленне комплексных амплитуд на /ы; ! а(г) ба=,' — Аю, ю' (2.39) Итак, линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования замеанются операциями умножения и деления.

Эти свойства комплексных иэображений гармонических функций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, так как позволяют заменять систему интегро-дифференциальных уравненяй электрического равновесия цепи, составленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных изображений соответствующих токов и напряжений. Наряду с комплексной амплитудой А в качестве изображения гармонической функции а (/) в комплексной плоскости широко исполь зуют другую комплексную величину — комплексное действующе~ значение А. По определению, комплексное действующ е е з н а ч е н и е гармонической функции а(/) = )/2А соз (ю/+ тр) представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению А гармонической функции, а аргумент — ее начальной фазе ф: А = Ае(Ф, (2.40) Используя выражения (2.11) и (2.29), можно установить связь между комплексной амплитудой А гармонической функции а(/) и ее комплексным действующим значением Л: А =А /)г2.

(2.41) На комплексной плоскости А изображается в виде вектора, совпадающего по направлению с вектором А . Длина вектора А в )~ 2 раз меньше длины вектора Л Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармоническими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармонических функций. Величины ! = / /$ 2 и (/ = О /к'2 обычно называют к ом плексными током и напряжением цепи.

79 Комплексные сопротнвленне и проводимость участка цепи а) 01 6 (2.44) илн алгебраической 7. = ° +1 (2.45) формах. Величины г = (Я( и ~Г называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины г и х — его вещественной (резястивной) н мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цен н г называется также п о л н ы и в х о д н ы м с о п р о т и в л е н не м). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений н токов в показательной форме, находим из (2.42) н (2 43) !Ф,.

— — (2. 46) 1„, е1ч' 80 Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, нмекяцнй два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рнс. 2.7, а). Ток 1 и напряжение и на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени: 1 = )г21 соз (со( + ф;), и = м' 2с1 соз (сог+ ф„). По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) Я пассивного участка цепи назы- 1м 1 вается отношение комплексной 4 амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплекс- и~ ()~ х () Е ной амплитуде тока: Я = () 11 .

(2.42) Выражая комплексные ам- плитуды напряжения н тока Рнс. н.т, Идеалнзнэозанный дпухполос через соответствующие комннк (а) н его комплексные схемы замещения (б, в) плексные действующие значения и„— 1'2(); 1„=-)"21, устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока: 2 = ()11.

(2.43) Комплексное входное сопротивление пасснвного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной Я = гете Сравнивая (2А4) и (2.46), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления г равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и така на зажимах рассматриваемого участка цепи: У У г Яе г дают па фазе). Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплекс- ной плоскости, длина которого в опю з/ ределенном масштабе равна г, а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен ~р (рис.

2.8, а). Вещественная г н мнимая х составляющие входного сопротивления Л представляют собой проекции вектора Я на вещественную и мнимую оси соответственно: г == Йе (Л == г соз ~р, х = ! ш И = г з1п ~р. Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью участка цепи Рнс. 2,8. Изображение Е и У на комплексной плоскости )г =- 1/Я. (2.49) Комплексная входная проводимость (комплексная проводимость) может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи: У =/./(/„=7/и.

(2.50) Представляя комплексную проводимость 1г в показательной фор- ме Г= 1Я= е — /н /з= де/о, (2.51) находим, что модуль комплексной входной проводимости у =- ~У~, называемый полной входной проводимостью цейи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления: у= 1/з= / /(/„= 7/(/, а аргумент входной проводимости д равен по абсолютному значеиию и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления д = — Ч~ г = У // = (///, (2.47) а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока: т=ф — ф.

(2А8) В зависимости от фазовых соотношений между напряжением и током величина ч может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстает по фазе от тока) или равна нулю (ток и напряжение совпа- 8! Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме У = л + !Ь. Здесь д и Ь вЂ” вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора У на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости (рис, 2,8,б): п=усозб, Ь=уз(пб. Подставляя в (2.49) 2 = г -+ !х и У = и + !Ь, находим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи: У = и+ !'Ь = 1! (г + !х) = (г — !х)! (г' + х'), (2.52) 2 =- г + )х = 1! (д + !Ь) = (д — !Ь)! (йэ + Ьз). (2.53) Из выражений (2.52), (2.53) видно, что резистивные составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной прово.

димости имеют одинаковые знаки: и .-- г! (г' + х~); г =- д! (йх + Ь'), а реактивные составляющие — противоположные: Ь =- — ! (г' + э), х = — Ь! (а + Ь'). (2.55) Отметим, что каждая пз составляющих комплексного сопротивления (г и х) зависит как от резистивной д, так и реактивной Ь составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости (д и Ь) в свою очередь зависит от г и х. Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка линейной цепи были введены как отношения комплексных действующих значений или комплексных амплитуд напряжения и тока, приложенных к зажимам этого участка цепи.

В то же время комплексные сопротивление и проводимость любого участка линейной цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов, не зависят от амплитуд (действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений и определяются только параметрами элементов, входящих в рассматриваемый участок цепи; способом их соединения между собой и частотой внешнего гармонического воздействия.

Зная комплексное сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и одну из приложенных к данному участку цепи величин: ток 1=' ! или напряжение и =' (), можно, используя (2.42), (2.50), найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка () =2!; ! = У(.) (2.56) Аналогично комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи () = 21; 1 = У(). (2.57) Выражения (2.56), (2.57) по структуре напоминают соотношения между мгновенными значениями напряжения и тока на зажимах линейного сопротивления (1.9), (1.10) и являются математической записью з а к о н а О м а в к о м и л е к с н о й ф о р м е. В отличие от выражений (1.! 3), (! .16), (1,22), (1.23) уравнения (2.56), (2.57) являются а л г е б р а н ч е с к и м и. Используя закон Ома в комплексной форме, каждому участку линейной электрической цепи, составленному из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода (см.

рис. 2.7, а), в том числе любому идеализированному пассивному двухполюсному элементу, можно поставить в соответствие к о м п л е к с н у ю с х ем у з а м е щ е н и я, на которой рассматриваемый участок цепи представлен комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — комплексными амплитудами (см. рис. 2.7, б) или комплексными действующими значениями (см. рис. 2.7, в). Представляя все входящие в моделирующую цепь идеализированные пассивные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и э. д. с. всех идеализированных источников — их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (эквивалентную схему для комплексных амплитуд или эквивалентную схему для комплексных действующих значений).

В отличие от этих схем замещения рассмотренные ранее эквивалентные схемы, на которых были изображены идеализированные двухполюсные элементы и указаны мгновенные значения токов ! и напряжений и ветвей и идеализированных источников, будем называть эквивалентными схемами для мгновенных значений. Таким образом, комплексная схема замегцення цепи может быть получена из эквивалентной схемы для мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных двухполгосииков их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений — их комплексными изображениями. Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемыми на основании з а к о н о в К и р х г о ф а.