ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 14

Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденсатор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределенными параметрами. На примере цепи, эквивалентная схема которой изображена на рис, 1.41, а„ покажем, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Действительно, ток с =- с (х, /) и на- Пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнениг (1.57), (1.58) можно преобразовать к виду д~ ди — — =6 и+С вЂ” ' дх д1 (1.59 ди . д~' — =)с, ~'+Ед —. дх д1 (1.60 60 Решая уравнения (1.59), (1.60) прн соответствующих начальных ~ граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи моделирующей ноденсатор в рассматриваемом режиме. Отметим, что уравнениям (1.59), (1.60) может быть поставлена в соответствие более простая эквивалентная схема элементарного участка цепи (рис.

1.41, б). Аналогичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и коаксиальных линий передачи. В зависимости от числа координат„ вдоль которых происходит изменение тока и напряжения н вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одномерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В теории цепей рассматривают, в основном, одномерные цепи с распределенными параметрами, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями типа (1.59), (1.60) .

Параметры рассмотренных ранее идеализированных линейных пассивных элементов не зависят от значений токов и напряжений соответствующих элементов и, следовательно, от и н т е н с и в н ос т и внешнего воздействия на цепь, определяемой токами действующих в цепи независимых источников тока и напряжениями действующих в пепи независимых источников напряжения.

Связь между током и напряженнем линейных идеализированных пассивных элементов описывается линейными алгебраическими, дифференциальными или интегральными уравнениями, иными словами, компонентные уравнения этих элементов являются линейными. Параметры нелинейных пассивных элементов зависят от токов илн напряжений соответствующих элементов, а следовательно, и от интенсивности внепшего воздействия. Компонентные уравнения нелинейных идеализированных пассивных элементов — нелинейные. В зависимости от вида компонентного уравнения идеализированные активные элементы также делятся на линейные и нелинейные, К линейным идеализированным активным элементам относят независимые 1 линейно управляемл|е зависимые источники тока и напряжения, и нелинейным — нелинейно управляемые зависимые источники тока г напряжения.

Цепь с сосредоточенными илн распределеннымн параметрами, составленная только нз линейных идеализированных элементов, пазы вастся л и и е й н о й. Дифференциальное уравнение такой цепи— лппсйнос. Геля в состав нгнп входит лоти бы один нелинейный пассив ный или активный элсмснг, то она называется н е л и н е й н о й, а процессы в ней описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Параметры линейных идеализированных пассивных элементов и коэффициенты управления линейно управляемых источников могут либо иметь постоянные значения, либо изменяться во времени под действием некоторых факторов, непосредственно не связанных с токами или напряжениями этих элементов (например, емкость конденсатора может изменяться во времени вследствие изменения расстояния между обкладками; индуктивность катушки можно изменять путем перемещения сердечника).

Идеализированные элементы первого типа называют линейными элементами с постоянными параметрами, элементы второго типа — линейными элементами с переменными параметрами или п а р а м ет р и ч е с к и м и э л ем е н т а м н. Параметрические элементы, у которых изменение параметров происходит с частотой, близкой к частоте токов или напряжений этих элементов, следует отличать от р е г у л и р у е м ы х элементов — конденсаторов переменной емкости, вариометров, подстроечных конденсаторов н др., у которых изменение параметров производится весьма медленно и только в процессе настройки или регулировки соответствующего устройства.

При составлении уравнений электрического равновесия параметрам регулируемых элементов приписывают некоторые фиксированные значения, а сами элементы относят к элементам с постоянными параметрами. Цепи, составленные только из линейных элементов с постоянными параметрами, называются линейными цепями с постоянными параметрами или линейными инвариантными во времени цепями. Процессывлинейныхинварионтных во времени цепях описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные цепи, содержащие хотя бы один элемент с переменными параметрами, называются л и н е й н ы м и и а р а м е т р н ч е си и м н ц е п я м и. Процессы в линейных параметрических цепях описываюпюя линейными уравнениями с переменными коэффициентами. В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет следующий вид: ат — +а, ~ — +...+а, — +а„у=7(11, (1.61) Вг „Вс вР' тт — ' где у -- искомая реакция цепи (ток нли напряжение какой-.чнбо ветви); а„, а„..., а, — коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления управляемых источников.

В дифференциальном уравнении линейной инвариантной во времени цепи эти коэффициенты постоянны, в дифференциальном уравнении линейной параметрической цепи, по крайней мере, один из них является функцией времени. Правая часть уравнения 11,61) есть линейная комбинация функций, описывающих внсшнсс воздействие на цепь х (1), и их производных. Прн ныьлюченнн -всех источников она становится равной нулю. \ 61 Значение» характеризует порядок сложности цепи (п о р я д о к ц е п и) и равно числу реактивных элементов (емкостей и индуктнвностей), энергетическое состояние которых может быть задано независимо (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 6).

Различают цепи нулевого порядка (не содержащие реактивных элементов), первого, второго и более высоких порядков. Для линейных уравнений вида (1.61) сформулирована т е о р е и а н а л о ж е н и я (т е о р е м а с у п е р п о з и ц и и).

Если !' (Г) = =- 2'.!хА (!), где а, = сопя! и у! = у, (г) являются решениями уравпений в» в»-! вв! ໠— !+а» .! "' +...+а, — "' +а у,.= — ~, (1), (1.62) ар' в!» — ! ш то у (1) = — !'а!у, (1) является решением уравнения (!.6!). ! =- ! Математически это значит, что решение линейного уравнения (!.61) со сложной правой частью можно выразить через решения уравнений (1,62) с более простой правой частью. На теореме наложения базируется широко используемый в теории цепей принцип наложения (принцип суперпоз и ц и и): реакция у (г) линейной цепи на сложное воздействие х (г) =- = ~~'., а,х; (Г), представляющее собой линейную комбинацию более ! простых воздействий х! (Г), равна линейной комбинации реакций у! (Г), вьзванных каждым из просо!ых воздей"твий в отдельности: у (1) == = ~~ра!у! (!).

В частности, если внешним воздействиям х, (1) и х (!) !=! соответствуют реакции у, (Г) н уа (!), то внешнему воздействию х (Г) = = х, (1) -1 х, (!) соответствует реакция у (!) = у, (!) !- у„(С), а внешнему воздействию х (!) = Ах, (!), где А -= сопз1, реакция у (!) == — Ау, (г).

Применение принципа наложения существенно облегчает исследование процессов в линейных электрических цепях, он лежит в ошюве многих широко используемых методов анализа. Состояние теории цепей в значительной степени определяется степенью разработанности теории и методов решения соответствующих дифференциальных уравнений.

К настоящему времени разработаны общие методы решения только линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, поэтому наиболее законченный вид имеет теория линейных инварнантных во времени цепей, которые в дальнейшем будем называть просто л н н с й н ы м и ц е и я и и. Простейшие линейные цепи при гармоническом воздействии ФФФФФФФФФ й ЗЛ. ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ Понятие о гармонических функциях Знакомство со свойствами электрических цепей н методами их анализа начнем с рассмотрения простейших линейных цепей при гармоническом воздействии.

Если значения функции времени а(1) изменяются по синусоидальному или косинусоидальному закону а (1) = А,„соз (Ы+ ф) — А з(п (а1 Ч ф'), (2.1) где ф' = ф + п/2, то такую функцию будем называть г а р м о н ичес кой. традиционно в электротехнической литературе используют синус- ~ ную форму записи гармонической функции, а в радиотехнической— косннусную, которой и будем пользоваться в дальнейшем. Обе формы записи являются равноценными, отличаются только началом отсчета- значений функции и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис.

2.1, а). Наибольшее значение гармонической функпии А называется а м п л и т у д о й. Ее размерность совпадает с размерностью гармонической функции. Наименьшее значение гармонической функции равна — А . Аргумент 0 = ы1+ ф функции, записанной в косинусной форме, называется мгновенной фазой (фазой). Если гармоническая функция задана в синусной форме а (г) А з(п 0' =- А з(п (ы1-1 ф'), то ее фаза находится по формуле 0 = 0' — и'2.

Величина ф, равная значению мгновенной фазы 0 при 1 О, называется н а ч а л ь н о й ф а з о й. Фаза и начальная фаза гармонической функции выражаются в радианах (рад) или градусах ('). Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ее изменения ы .= б0!Ж называется у г л о в о й ч а с т от о й.

Она выражается в радианах в секунду (рад)с). Гармонические функции времени представляют собой простейший внд периодических функций. В общем случае функция времени называется периодической, если ее значения повторяются через определенные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, через который наблюдается повторение значений функции, называется п е р и од о м. Таким образом, если а (() — периодическая функция времени с периодом Т, то для нее должно выполняться равенство а(г) =а(г ~ пТ), (2.2) где и — произвольное целое число.

Величина, обратная периоду Т, называется ч а с т о т о й: ( = 1(Т. (2.3) Частота выражается в герцах (Гц). Режим работы электрической цепи, при котором напряжения и токи всех ветвей цепи являются периодическими функциями времени или сохраняют неизменные значения, называется у с т а н о в и вш и м с я. Строго говоря, электромагнитный процесс является периодическим только в том случае, если условие периодичности (2.2) выполняется на неограниченно большом промежутке времени г Е 1 — оо, оо(, т. е. если рассматриваемый процесс существует в цепи неограниченно длительное время. Если еы аь) ы (гы еу «о гев ее процесс возник или прекратился б) при каком-то конечном значении Ркс 2 1 Графккк гармонической 1, то в этот момент его пернодичфуккпкк (а) к ее иоктлк (В) ность нарушается.

Постоянные токи и напряжения в ряде случаев также удобно рассматривать как периодические с периодом Т = оо и частотой, равной нулю. Очевидно, что процессы, имеющие место в реальных цепях, не могут быть бесконечно длительнымп, поэтому они могут считаться периодическими лишь приближенно, Вследствие этого на практике прини- ° мают, что установившимея является такой процесс, при котором условие периодичности (2.2) выполняется на достшпочно большом интервале времени. Если токи и напряжения цепи изменяются не по периодическому закону, то режим работы цепи называется н е у с т а н о в н в ш и мс я. Частным случаем процессов, протекающих в таком режиме, являются переходные п р о ц е с с ы, которые имеют место при переходе от одного установившегося режима к другому.

Теоретически переходные процессы в цепи затухают бесконечно долго и новый установившийся режим наступает только при г- . Как будет показано далее (см. гл. 6), переходные процессы практически прекращаются (или, точнее, затухают до пренебрежимо малого уровня) через конечный ро " промежуток времени, по истечении которого процесс в цепи можков и но считать установившимся. Таким образом, представление ток напряжений в виде гармонических или других периодических функций времени (в том числе и в виде постоянных величин) следует рассматри- вать как приближенное математическое описание (математическую модель) реальнь х процессов, имеющих место в электрической цепи.