ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 17

д. ВектоР, замыкающий ломаную линию, образованную из слагаемых векторов, представляет их сумму Б. Так, вектор В, равный сумме векторов А, В, и С (рис. 2,4, а, б), равен замыкающей ОС = О ломаной линии ОАВС, построенной из векторов А =- ОА, В = АВ, С = ВС. Вектор В, равный сумме двух векторов А, и Аз, — диаго- йаль параллелограмма, построенного на сторонах А, и Аз (рис. 2.4, в).

Разность О = А, — Аз может быть найдена как сумма векторов А, н — А, (рис. 2.4, г). Комплексные изображения гармонических функций времени Каждой гармонической функции времени а (!) можно поставить в соответствие комплексное число а, называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции: а=А ег (ив+а!=Ат [соз(оз!+зр)+/з[п(оз!+гр)1, (227) модуль которого равен амплитуде гармонической функции А, а аргумент — ее фазе О = ю/+ф. Как видно из выражения (2.27), ве.

щественная часть мгновенного комплекса а равна исходной гармони ческой функции йе [а) = А соз (ьз)+ зр). ° ФЭ11 Пример 2.1. Мгновенныг компгвкси гармонического токо й = 50 1О " З( Х сов [10в/+(л/З)1 [А[ и гармонического напряжения и = кг2 !00 соз [314 — (л/6)! [В) равны соответственно. гь = 50 10 з е/!го г+(л/з[! н и, = .[,г2 100 /!334! — !и/зц Вгщественнмг чисти этих комплексов есть исходнмв гармонические функции: йе = [гь) =- йе (50.

10 з соз [10' г + (л/З)1 + /50- 10 з з( п [10в Г -[- + (л/3)1) = 50 1О з соз [!ОЙ+ (л/3)! = й; йе [из) =- йе [[/2.100 соз [314/ — (л/6)1+ /!/2 !00 з[п [3!4!в — (л/6)!) = )г 2-100 соз [314! — (л/6)1 = из. Геометрически мгновенный комплекс а может быть представлен в виде вектора а =- [а!е/"!'1, длина которого [а[ в определенном масштабе равна амплитуде А соответствующей гармонической функции, а аргумент а (!) изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции а (!) = ю! + зР, Для того чтобы обеспечить этот закон изменения аргумента, вектор а должен вращаться в комп лексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ю (рнс. 2.5, а). В момент времени / = 0 вектор а должен образовывать с положительным направлением вещественной осн угол зр, равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции.

Как видно из рис. 2.5,а, проекция вектора а на вещественную ось в выбранном масштабе времени равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени а (!) = йе [а1. Используя понятие комплексных сопряженных чисел и выражение (2.22), мгновенное значение гармонической функции а (!) можно оп- 74 л тлгмчег е „, гг -л Фг«пя«ео яя а> м вг Рис, 2.5. К определению понятия мгновенного комплекса и гармоииче- ской фуикпии а проекцнн на мнимую ось имеют различные знаки: 1гп [а) = А зш (юг+ ф), 1т(а) = — А з!и (юг+ Ф Значение мгновенного комплекса а в момент времени Г = 0 называется комплексной амплитудой А гармонической функции времени а (г) =- А соз (юг + ф): А„= а!г-е =- А„еге.

(2.29) Из выражения (2.29) следует, что комплекснал амплитуда гармонической функции времени а (() =- А соз (юг + ф) пэедсгпавляет собой «омплексное число, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе тр. Геометрически комплексная амплитуда может бьипь представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом чаек вещественной оси (рис. 26, а), длина которого в определенном масштабе равна А гм ог Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (2.27) для мгновенного 0 комплекса а может быть пре- йе 0 спеют Яе образовано к следующему .! виду: о!« а) лм б) А ~е умг А умг (2.30) Рис.

2.6. К определеиию поиятий комвиекс- пой амплитуды и оператора прещения его г'ег ределнть так же, как полусумму мгновенного комплекса а = А еде'+Ег н сопряженного ему комплексного числа а = А е — де'+Ф>: а (г) =(а+ ае)/2 = (А е~ «и+ег+ А е — т гег+Фф2. (2.28) Векторы а н а имеют одинаковую длину, противоположные по знаку начальные фазы н вращаются в комплексной плоскости в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью ю (рнс.

2.5, б). Проекции этих векторов на действительную ось равны Йе (а) = гге (а) =- А соз (юг + ф), Вектор е!и', называемый опер а тор ам в р а ще н и я, имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью са (рис. 2.6, б). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения е!"', начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью оз.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цепи а (г) может быть поставлен в соответствие текущий комплекс а. Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый нз текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды А на оператор вращения е("'.

Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей. Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому информация о них при известной частоте ьо содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов илн напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и, обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания. ° ФФФФ Пример 2.2.

)(омплексная амплитуда гирмонического тока й = 5 соь [10е!+ + (и!6)1 [А1 есть 1 е .=. 5 еА™, а комплексная амплитуда гармонического напряжения иь = ЗО соз 10ьг[В[ равна ать = ЗОеуь = 30. Чри со =5 10ь рад/с комплексным амплитудам тока уть = ре2 30 10 ьХ зсе 'п7~ 1А[ и з.д.с. й =- )г 2.10 [В[ соответствуют мгновенные значения тока и з. д.

с. сь = 'ус2 30 соз 1(5 !ОЧ вЂ” п/4)1 [мА1; ел = [/2.10 соз 5 10ег [В[, Итак, установлено, что каждой гармонической функции времени а (1) можно единственным образам поставить в соответствие комплексное число А (комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции в комплексной плоскости (по Г. Е. Пухову — к о м п л е к с н о е и 3 о б р а ж ение или К-изображение): (2.31) А = К [а (1)1.

Символом К будем обозначать операцию перехода от оригинала (исходной функции времени) к ее изображению в комплексной плоскости. Переход от гармонической функции времени а (1) к ее комплекс- 76 ной амплитуде А может быть выполнен с помощью преобразования [3[ г К[а(С))= — ( е — рта(г)Ф, (2.32) Т,) о которое в дальнейшем будем называть и р я м ы м К-и р е о б р а з он а н н е м нлн просто К-преобразованнем гармонической функции. В справедливости выражения (2.32) можно убедиться путем непосредственной подстановки в него а (г) = Ат соз (Ы+ ф ) н Т = 2пlт.

Используя выражения (2.28), (2.29) н (2.30), найдем формулу для обратного перехода от комплексной амплитуды к исходной гармонической функции времени: а(с) =(А,„еды+А,„е — рт)/2, (2,33) где А = А е — гч — комплексное число, сопряженное с комплексной амплитудой (рнс. 2.6, а). Операцию перехода от К-нзображення гармоннческой функции к оригиналу (о бр а т н ое К-и р е об р а з ов а н н е) будем обозначать К-'. К-' (А ) = а (г). Выражения (2.31) н (2.34), устанавливающие связь между орнгнналом н его изображением, могут быть заменены соотношеннем а(с)=,' А в котором использован знак соответствия =', означающий взаимное соответствие между функциями, определенными в различных областях. Как видно нз приведенных примеров, прямое н обратное К-преобразовання прн практических расчетах электрнческнх цепей можно пронзводнть непосредственно с использованием определения комплексной амплитуды (2.29) без применения выражений (2.32) н (2.33).

Операции над комплекснымн нзображеннямн гармонических функций Найдем операции над комплексными амплитудами, соответствующие линейным операциям (см. о 2.!) над гармоническими функциями времени. пусть необходимо умножить гармоническую функцию а (г) = А,„х Хсоэ(гас+ ф)на постоянное число и. Найдем комплексную амплитуду функции иа (Г). В соответствии с определением К-преобраэоваиия (2.32) К-изображение функции аа (Г) т т 2 Г 2 Г К [аа (Г)]= — ) е гисаа(С) бг=сс — ~е Унга(Г)с)н=ал,„, о о Таким образом, умнозсгние оригинала иа нроизоолоног число а соотоетстзует Умножению изобрансениа иа зто тс число: аа (с) =,' аА,„.

(2.35) Найдем комплексное изображение суммы гармоннческнх функций време- НН аз(Г), аз (С)..., ам(Г) С КОМПЛЕКСНЫМИ аМПЛНтудаМН А З = К [а, (Ф)[, Атэ= = К [аз (С)! ..., А„,н —— К [ан (()!. В соответствии с (2 32) получаем Т р К [аз (С)+ а, (С)+... + ам (Г)] =- — 3 е и [а, (Г)+а, (()+... +от (г)] дт= т д' о Т Т р 2 Р = — '[ е рт а,(Г) й(+ — [ е рв аа(() й(+...+ о е Т 2 Г + — ) е (и1он(() де=А„„+А -[-...-[-А Тд е Итак, суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комлхекснмх амлхитуд: а (()+аз (Г)+... +ам (С) =' Ааы+А,„э+...-+А м. (2.36) Из выражений (2.35) н (2.36) следует, что линейкой комбинации гармоннческнх функций времени соответствует лннейная комбинация нх комплексных амплитуд: и Ф ~', ив ад(т) —,— ' 1 ~ ~аз А„,э.