ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 13

!.39. К примеру !Л ных элементов могут быть как алгебраическими (1.9), (1.10), так и дифференциальными (1.!3), (1.22) или интегральными (1.16), (1.23). Вследствие этого уравнения электрического равновесия цепи, сосок/вленные любым л!етодом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений. ФФФФФ Пример !.7. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи, салема и топологический граф которой изображены на рис.

!.ЗУ, а и б соответственно. Для этой ц.пи р =- б, д = 4, риз = / и р,т =- 1. Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2р — рвз — рзн = — !О. Используя эако. ны Киркгофа, можно составить т =- д — ! =-. 3 уравнения баланса токов: — аз 4 зз --- О; — /, Ц ° Ц а 01 —, Р / — . = О и и =- р — Ч + ! = 3 уривнения баланса напряжений: и, + ие —.= е (/); — иа+ иа — иа — О' — иь 1 иа — О. КРоме того, имеем Р— Риз — Рза -- 4 УРавнений ветвей, не содеРжаЩих идеаяизированнык источников: сиа из=/!а/за иа=/ ив==Аз/аа й/ 1 1", иа иа (О)+ ) зад! о и результате получаем систему из /О линейно независимых уравнений для определения 1О неизвестных токов и напряженой: зз, /з.

из !з иа за иа иы /а, иа. Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемомудифференциальным уравнением цепи. В частном случае это может быть алгебраическое уравнение, которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение нулевого порядка.

Дифференциальное уравнение цепи содержит фундаментальную информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации .электрических цепей. Тип дифференциального уравнения цепи полностью определяется ее топологией и характером входящих в нее идеализированных элементов. ° ФФФ ° Пример 1.8. Применяя указанные пргобризования к основной системе уравнений электрического равновесия цепи (рис. !.39, а), по сучим дифференциильное уравнение втой цепи, составленное относительно напряжения из. ап из йи Здесь иь = 1((ЬС); а, = (!.

+ Из)чзС)((й,СЬ); аз = (Яз + РьУйз — постоянные козффициенты, определяемые параметрами пассивнык злементов цепи; ап!'(!) Йв ай е(!) 1 йе [!) ! (!) = зз „з -(- „+ (( . функция времени, определяе- 1 з мая параметрами независнмыл источников напряжения и тока. Таким образом, уравнение цепи, изобразслнной на рис. !.39, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными козффицигнтами Классификация электрических цепей Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, могут быть классифицированы по ряду признаков: по топологическим особенностям: планарные (плоские) и непланарные (объемные), разветвленные н неразветвленные, простейшие (одноконтурные, двухузловые) и сложные (многоконтурные, многоузловые); по энергетическим свойствам: активные (содержащие идеализированные активные элементы) и пассивные (не содержащие идеализированных активных элементов); по числу внешних выводов:двухполюсиикиимногополюсники; и др.

Классификация цепей 'по этим признакам не носит принципиального характера и используется, в основном, с целью упорядочения терминологии. Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи. Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновеннымн дифференциальными уравнениями, называются ц е п я м и с сосредоточеннымн параметрами. Цепитакоготипа используют в качестве упрощенных моделей реальных электрических цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно болыпе размеров исследуемого устройства.

При этих условиях в исследуемых уст. ройствах н их элементах удается выделить конечное число участков, в которых преобладает какой-то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или магнитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии илн преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой реальной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значения в пределах каждого из выделенных участков.

Заменяя эти участки идеализированными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конечны. Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из основных электрических эффектов сосредоточен в конечном числе пространственно локализуемых областей. Когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства или его элементов, пространственно локализовать области, в которых сосредоточены только эффекты одного типа, не удается. Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них имеют место одновременно несколько из перечисленных основных эффектов, причем значения токов в пределах выделенных участков изменяются от одного сечения к другому.

При этих условиях цепи, моделирующие реальные ", н ° н »', з устройства или их элементы, содержат м:. м ° ° м, бесконечно большое число идеализи» в» рованных элементов, параметры кото- рых имеют бесконечно малые значения. Ряс. д4о. уяьоа«сааза квас«- Процессы в таких цепях описываются оукаяя конденсатора: дифференциальными уравнениями в — ' — »"«»«»'я«" частных производных. Идеализирован- ные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, называются цепями с распределенными параметрами.

Следует подчеркнуть, что термины «цепь с распределенными параметрами» и «цепь с сосредоточенными параметрами» применимы только к идеализированным (моделиру«ощим) цепям и не должны использоваться для характеристики реальных цепей. В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый элемент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть заменены моделирующей пенью с сосредоточенными или распределенными параметрами. Например, конденсатор любого типа конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рнс.

1.40). В области частот, когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из моделирующих цепей с сосредоточенными параметрами, схе. мы которых приведены на рис. 1.11. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, но существенно больше расстояния между ними, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии элект. рического и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденсатора.

В этом случае эквивалентная схема элементарного участка конденсатора длиной йх состоит из индуктивности «.« и емкости С,, характеризующих процессы запасаиия энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивления «с« и проводимости утечки 6«, учитывающих потери энергии в конденсаторе »« "а яа (гы1 4 /рдх я~да (гд1 и+с/и и+дсс р /у+с/и) д/ Рис. 1.41.

Эквивалентные схемы элементарного участка конденсатора (рис 1.40) пряжение и = и (х, /) рассматриваемой цепи являются функциями времени 1 и координаты х. Приращения тока и напряжения на участ- ке цепи длиной с(х с(1 = — с(х; с(и = — с(х. дс ди дх дх Полагая, что параметры элементов моделирующей цепи /1„ /.о, С, и б„не зависят от токов и напряжений и выражая их через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры сг,, /.» С, и 6, /ср =- (/с,/2)с(х; Ао = (/.с/2)с(х; С, = (Сс/2)с(х; б, =- (бс/2)с(х, составим уравнения баланса токов и напряжений элементарного участ- ка цепи: Пс С, ди Сс, С ди — с'+ — ' их и + — ' с(х — + — ' с(х ~и + — с(х) ф 2 2 дС 2 ~ дх С, д С до 1 .

дс' + — с с(х — 11и 1 — с(х) + 1+ — с(х и э О; 2 дс 1 дх ) дх (1.57) — и+ 2 — 'с(х~с- — 'с(х и — — '41х — )+ 2 1 2 2 дт) +2 — с(х — ~1 — — с/х и — — с с(х — )+ и+ — с(х =О. (!.бй) Е д /. Пс С, ди 1 ди 2 дт '1 2 2 дС ) дх Чгс (рис. 1.41, а). Эквивалентная схема всего конденсатора должна состаять из бесконечно большого числа таких секций.