ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 16

е. является гармонической функцией времени той же частоты, что и внешнее воздействие: а„— +а, ! +...+ а,— +азу=А соз(ш(+ф). (2,14) от (т-! ~(т а(т- ! Следовательно, задача анализа линейной цепи с сосредоточеннымн параметрами прн гармоническом воздействии сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными козффнцнеитами, правая часть которого является гармонической функцией времени. Ограничимся пока рассмотрением установившегося режима, т. е. будем считать, что действующие в цепи источник и были подключены при ( -.—. — оо и к настоящему моменту переходные процессы в цепи полностью прекратились. Из теории дифференциальных уравнений известно, что в таком режиме уравнение (2.14) имеет единственное пе.

р иоднческое решение д (() == У соз (ш(+ ф), которое является гармонической функцией времени. Итак, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей лннейнай цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гармоническими функцнямн времени одной частоты и, следовательно, задача анализа цепи саоантся к определению начальных фаз н амплитуд (илн действующих значений) интересующих токов нли напряженна. й 2.2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Понятие о символических методах Установившиеся значения токов и напряжений линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи (2.14) при 1- оо, однако даже для относительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. На практике анализ таких цепей обычно выполняют с помощью м е т о д а к о м п л е к с н ы х а м п л и т у д, разработанного в конце прошлого века американскими инженерами Ч. П.

Штейнметцем и А. Е. Кеннели. Большой вклад в развитие и теоретическое обоснование метода комплексных амплитуд внесли профессор Петербургского политехнического института В. Ф. Миткевич и советский ученый академик АН УССР Г, Е. Пухов. Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (о р и г и н а л а м и) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символ а м и исходных функций. Методы такого типа будем называть с н ма о л и ч е с к и м н. Независимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы: 1) прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям); 2) определение изображений искомых величин путем выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями; 3) обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений к оригиналам.

В частности, при использовании логарифмического метода исходные величины на первом этапе заменяют их логарифмами. На втором этапе, выполняя необходимые действия над логарифмамн исходных величин, находят логарифмы искомых величин; операции над логарифмами оказываются проще, чем соответствующие им операции над исходными величинами (например, умножению исходных величин соответствует сложение их логарифмов, возведению исходной величины в степень и — умножение логарифма этой величины на и н т. д.). На третьем этапе осуществляют обратный переход от логарифмов непосредственно к искомым величинам.

Очевидно, что эффективность каждого из символических методов определяется трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, насколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами. 70 Комплексные числа и основные операции над ними Символический метод комплексных а мпл итуд (ко мплексный метод, иногда, просто — символический метод) основан на представлении гармонических функций времени с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исходных фуннцнй из временнбй об» ласти (области вещественного переменного !) в частотную область (область мнимого аргумента (ю).

Напомним, что к о м и л е к с н ы м ч и с л о м А называется выражение вида (2. 15) А == А'+ )А", где А' и А" — действительные числа, называемые соответственно в е щ е с та е и н о й и м н и м о й частями комплексного числа; 1' = )/ — 1 — мнимая единица. Вещественную и мнимую части комплексного числа иногда обозначают: А' = ке(А1, А' = !т(А1. Выражение (215) — зто а л ге б р а н ч е с к а я ф о р м а записи комплексного числа, )л га л" †-- †-- л л хйт ,т ! 0 л' яе /т 4" — — — -тя 1 Л1 а> Ряс.

2.3. К опредеяению понятия комплексного числа Комплексное число А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна А', а ордината — А" (рис. 2.3, а). Ось абсцисс, на которой откладывается вещественная часть комплексного числа, называется д е йс т в и т е л ь н о й ()се)! ось ординат, на которой откладывается мнимая часть, — мнимой (!щ), Каждой точке А компленсной плоскости и, следовательно, каждому комплексному числу А можно поставить в соответствие вектор А, проведенный из начала координат в точку А (рис. 2.3, б).

Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модул е м зтого числа (2. 16) Угол а, образуемый вектором А с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа: А" се= агс!й —, А' (2.17) А'=)те (А)=(А)салоп А".—.-!го[А)=(А)з!пи. (2, 18) 7! Положительное направление отсчета се — против часовой стрелки. Аргумент ком. плексного числа может иметь бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на 2лп, где л — целое число. Главное значение аргумента заключено в промежутке — и < и < я. Как видно из рис.

2.3, б, вещественная А' и мнимая А" части комплексного числа А есть проекции вектора А на действительную и мнимую оси соответственно; Подставляя соотношения (2.13) в выражение (2.15), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к т р и г о н о м е т и и ч е с. к о й. А = ( А ) соз сс-)- у ) А ( з(п а. Далее, используя формулу Эйлера; ел« =- соа с«+ ) з (п и, (2. 19) (2.20) где е — основание натурального логарифма, получаем показательную форму за- писи комплексного числа А=(А (е)'". (2.21) Комплексные числа А .=- А' + 1А" =- 1А)е н В = В' + 1В" = (В)е считаются равными, еслй попарно равны их действительные н мнимые части: А' = В', А" = В" (или, что то же самое, равны их модули )А( = )В)), а аргументы отличаются на 2пл, где л — целое число; с«4 — ан — — ~ 2пп, Два комплексных числа А =- А' + )А" н А« = А' — )А" называются с оп р я ж е н н ы м н, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком.

Точки на комплексной плоскости, изображающие сопряженные комплексные числа, симметричны относительно действительной оси (рис. 2.3,е). Модули сопряженных чисел равны, а главные значения нх аргументов отличаются только знаком; А =-1 А ( е(п; А =. ) А ) е Понятий «больше« н «меньше» для комплексных чисел не существует. Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, имея в виду, что )« =- — !. Операции сложении и вычитания удобнее выполнять, используя алгебраическую форму записи: А1В.—...(А Р)А.)-1-(В -1 (В )=-(А +В )-(7.(А"+В-); А — В=(4'+)А ) — (В'+1В ) =(А' — В')-(-) (А' — В").

Очевидно, что сумма двух сопряженных комплексных чисел А =- А'+ + 1А" и А = А' — 1А" представляет собой действительное число А+А .=24'. (2. 22) Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее проводить в показательной форме: А.В=-(А (е~ 4 ( В (е н=(А( ( В(е А(В:=) А(е 4/((В)е н)=.((А(1(В)) ее(" Аа.=-() А е ~) =1 А )" е~ (2. 23) еА=т ( А(е (ил 72 Из выражений (2.23) следует, что прн умножении вектора А = — )А(е на (ил действительное число т получается новый вектор, модуль которого в ш раз больше модули вектора А; при умножении вектора А = (А]е на вектор е и, модуль которого равен /ол /чн единице, получается новый вектор, повернутый относительно вентора А на угол против часовой стрелки; А е/Чн ]А[ /( Я"! )и) (2.24) Из (2.24) и формулы Эйлера следует также, что умножение вектора А = (А[е на вектор /ад /=/ з(п (и/2) =-е/ч/з равносильно повороту вектора А на угол и/2 против часовой стрелки; /.4=.Ае/и/з =] А / [ад+[и/2!] а умножение вектора А иа вектор (2.

25) — /=- — ! и!п (и/2) =е /и/з приводит к повороту вектора А на угол я/2 по часовой стрелке: — ! == е =! ]е А А — /и/з ! / [ А !и/з!] (2.26) — -- соз (~п) Ф / з(п (~п) = е~/" ран~и: — !.А =. Аек/ж = [А[е чисел можно производить также и в ал- Наконец, умножение вектора А на — ! посильно изменению аргумента А на Умножение и делевие комплексных гебраической форме: А.В=.[А +/А«) [В !.;В )=[А А'+!А" (А' -(-!А") (В' — /В") В' — А" В")+! (А' В" +А" В'), А' В' -~;А" В" А" В' — А' В" -!- ! В'+]В" (В'+]В") (В' — [В") ( В ]' ]В]з причем при выполнении деления учитывается, что произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное число ВВ = (В' + /В") (В'— — ]В") -- (В')з + [В") — [В]з.

б=д,+В, А г г г/ а б) в) рис, 2.4 Графическое определение суммы трех (а, б) н двух (а), а также разности двух (г) векторов уз Суммирование комплексных чисел во многих случаях бывает удобно производить графически, используя правила действий над векторами. Вектор 5, равный сумме векторов А,, А, ..., Ааь может быть построен следующим образом: из начала координат строят вектор А,, из его конца, как из начала координат, стРоЯт вектоР А,, из конца вектоРа Аз стРоЯт вектоР Аз и т.