Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2. Для всех элементов группы выполняется ассоциатив­ный закон a(bc) = (ab)c,

3. В группе существует единичный элемент lG, так что для любого элемента aG, 1a = a1=a.

4. Для любого элемента aG существует обратный эле­мент а^-1, так что

a^-1a=aa^-1=l.

Нетрудно увидеть из табл. 1.6.1, что группа 32 удовлетво­ряет всем четырем аксиомам. Группы полностью задаются своими таблицами умножения, которые имеются в любом пособии по рентгеноструктурным свойствам материалов. В международной символике пишутся только порождающие группу элементы симметрии — плоскости или оси. Порядок записи будет рассмотрен ниже, после обсуждения понятия сингонии.

Если рассматривать классы кристаллов с общими харак­терными особенностями симметрии, формами роста, симмет­рией физических свойств, их можно разделить по категориям, системам и сингониям. Определим единственное, не повто­ряющееся в кристалле направление как «особенное» или единичное. В зависимости от числа особенных направлений кристаллы разделяются на три категории:

1. Высшая категория — нет особенных направлений, есть несколько осей симметрии выше двух (куб). Свойства таких кристаллов в симметрически эквивалентных направлениях должны быть схожи, поэтому изотропность таких материа­лов достаточно высока..

2. Средняя категория — есть одно особое направление, совпадающее с единственной осью симметрии порядка 3, 4, 6. Физические свойства вдоль единичного направления рез­ко отличаются от аналогичных свойств в любом другом на­правлении.

3. Низшая категория — несколько особенных направле­ний, нет осей порядка выше чем 2. Эти кристаллы наименее симметричны и характеризуются наибольшей анизотропией свойств.

По характерным признакам симметрии и по сочетаниям осей три категории можно разделить на семь систем или нашесть сингоний. Это распределение сведено в табл. 1.6.2, а на­правления и углы даны на рис. 1.6.3.

Понятие сингоний совпадает с понятием системы для всех систем, кроме тригональной и гексагональной. Разделение на сингоний определяет выбор кристаллографической системы координат и характеризующей ее тройки базисных векторов а, b, с,, , .

Р
ис. 1.6.3. Взаимное расположение осей и углов

Как следует из табл. 1.6.2, кристаллографичес­кие оси координат всегда выбираются по осям симметрии или по нормалям к плоскостям симметрии. Если нет со­ответствующих элементов симметрии оси координат, выби­раются по ребрам кристаллического многогранника или по рядам кристаллической решетки.

Если рассматривать расположение атомов в соответству­ющих местах элементарных ячеек, характеризующих соот­ветствующий класс симметрии, то можно показать, что, исхо­дя из примитивных ячеек шести сингоний и размещая атомы только по вершинам, а затем добавляя их в центры граней или в центр ячейки, любая кристаллическая структура мо­жет быть представлена одной из 14 решеток Бравэ. (табл. 1.6.2). Элементарная ячейка в решетках Бравэ такая, что ее симметрия соответствует симметрии всей решетки, число прямых углов и равных сторон максимально, а объем ячей­ки минимален. Схема решеток Бравэ дана на рис. 1.6.4. В структуре реальных кристаллов решетки Бравэ могут быть вставлены одна в другую, т. е. в общем случае кристалл описывается несколькими решетками Бравэ. Если все атомы в кристалле образуют одну решетку Бравэ, то каждая элементарная ячейка содержит по одному атому, если же не­сколько решеток, то по одному атому от каждой решетки.

Р
ис. 1.6.4. Решетки Бравэ

Если рассматривать симметрию всего кристалла, необхо­димо к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавить еще бесконечные сим-

метрические преобразования: трансляцию, плоскость сколь­зящего отражения, винтовые оси. Таким образом, можно по­лучить 230 пространственных (Федоровских) групп симмет­рии.

Таблица 1.6.2

1.7. Тензоры

Определим тензор как величину, которая связывает меж­ду собой два вектора, причем каждый вектор характеризует определенную физическую величину. Допустим, что нам на­до установить связь между электрическим полем в кристал­ле и плотностью тока (т.е. силой тока на единицу площади поперечного сечения, перпендикулярного току). Электричес­кое поле описывается вектором Е, плотность тока — векто­ром J. В кристалле компоненты вектора J по трем, взаимно перпендикулярным осям OX₁ , ОХ₂, OX₃, которые мы обозна­чим через J₁ , J_{2 ,} и J₃, связаны с компонентами вектора Е по этим же осям так, что каждая из компонент J₁ , J_{2 ,} J₃ линей­но зависит от всех трех компонент E₁ , E_{2 ,} E₃. Это принято записывать так

J₁=₁₁E₁ + ₁₂E₂ + ₁₃E₃;

J₂=₂₁E₁ + ₂₂E₂ + ₂₃E₃; (1.7.1)

J₃=₃₁E₁ + ₃₂E₂ + ₃₃E₃;

Девять величин ₁₁ ,₁₂, ₁₃,₂₁,₂₂,₂₃,₃₁,₃₂,₃₃ назы­вают компонентами тензора электропроводности. Этот тен­зор связывает между собой векторы E и J. Все уравнения (1.7.1) можно записать

J= E, (1.7.2)

Где — величина, на которую надо умножить вектор Е, что­бы получить вектор J. Если тензор связывает между собой два вектора таким образом, то он называется тензором вто­рого ранга или второй валентности. Такими же тензорами, как тензор электропроводности, выражаются многие физи­ческие свойства (табл. 1.7.1). Подобные тензоры называются материальными тензорами.

Кроме того, существуют полевые тензоры, причем два из них особенно важны: тензор напряжений и тензор деформа­ций. Тензор напряжений связывает между собой вектор си­лы, действующей на единицу площади, и ориентацию этой элементарной площадки в напряженном теле. Тензор дефор­мации связывают смещение точки в деформированном теле с положением этой точки.

Таблица 1.7.1

Если нам известны компоненты вектора, например Р по некоторой ортогональной системе координат (OX₁,OX₂, ОХ₃), часто требуется знать, каковы компоненты того же вектора в другой системе координат (ОХ₁', ОХ₂', ОХ₃'), тоже ортого­нальной и имеющей общее начало с первой системой коор­динат. Сначала надо определить, как связаны между собой эти две системы осей. Представим эту связь в виде таблицы косинусов углов между каждой из осей новой системы и каждой из трех осей старой системы (табл. 1.7.2).

Характеристики

Список файлов учебной работы