[1] Специальные Вопросы Технологии Радиоматериалов (987496), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

А
низотропность кристаллической структуры в общем слу­чае подразумевает зависимость тензорных свойств кристал­ла—матрицы от конкретного направления в кристаллической решетке. Например, прочность кристалла NaCl на разрыв в зависимости от направления меняется в 4 раза. Однород­ность решетки означает идентичность свойств у любых двух областей, кристалла одинаковой формы и ориентации. Под самоограничением понимается способность образовывать плоскостные многогранники. Внешняя форма кристалла есть отражение его внутренней структуры. Если кристалл во вре­мя роста не встречает механических препятствий, он вырастает в виде выпуклого многогранника. Симметрия включает комплекс понятий, позволяющих из знания структуры неко­торого минимального объема вещества воспроизвести и рас­считать как строение всего кристалла, так и его свойства и различных кристаллографических направлениях. Прежде все­го остановимся на возможностях определения координат плоскости, направления и ко­ординат атома в кристалличе­ской решетке. Плоскости крис­таллической решетки образу­ют бесконечное семейство плос­костей, которые проходят через все узлы решетки. Расстояние между этими плоскостями можно выразить через перио­ды решетки и осевые углы. Введем теперь кристаллогра­фические обозначения для различных плоскостей решетки (рис. 1.6.1).

Рис. 1.6.1. Система координат X, Y,Z

Пусть некоторая плоскость Р пересекает выбранные оси X, Y и Z соответствен­но в точках А, В и С, отсекая на них отрезки А = mа, B = nb и С=рс, где а, b и с—периоды решетки по этим осям. Возь­мем числа, обратные m, n и p, приведем их к общему знаме­нателю и отбросим общий множитель. Полученные после этой операции величины называются индексами Миллера данно­го семейства плоскостей и в тексте заключаются в круглые скобки. Уравнение плоскости, отсекающей на осях отрезки А, В и С, имеет вид

X/A + Y/B + Z/C = 1 (1.6.1)

Введем величины h', k', l', определяемые как A=a/h', B=b/k' и С=C/l'. После преобразования уравнения (1.6.1) получим

h' X/a +k' Y/ b +l' Z /c=1 (1.6.2)

Если плоскость проходит через начало координат, ее ана­литическое выражение можно записать

h' X /a +k' Y/ b +l' Z /c=0 (1.6.3)

и после освобождения от дробей в выражении (1.6.3) получим

hX/a +kY/ b +l Z /c=0 (1.6.4)

где h, k, l — миллеровские индексы семейства плоскостей, к которому принадлежит рассматриваемая нами плоскость. Совокупность всех плоскостей решетки дается уравнением

hX/a +kY/ b +l Z /c=m (1.6.5)

где т принимает все целые значения от +∞ до -∞. В том случае, когда исследуемая плоскость отсекает отрезок на от­рицательном конце оси, над соответствующим индексом Мил­лера ставится черточка, например (1 1). В отечественной литературе координаты точки принято заключать в двойные квадратные скобки. Так, координаты иона Cs в объемно-кубической решетке CsCl обозначаются [[1/2; 1/2; 1/2]]. Для обозначения направления вектора в кристалле обозначают его через вектора трансляции ( ) вдоль осей X, Y и Z соответственно и равные периодам решетки вдоль этих осей

z = u ā + v + w (1.6.6)

В

таком случае направление обозначается как [uvw], при этом всегда в целых числах, не содержащих общего множи­теля. Напомним, что уравнение прямой, проходящей через начало координат, параллельно направлению [uvw] будет иметь вид

(1.6.7)

Симметрией называют свойство геометрических фигур в различных положениях приходить в совмещение с первона­чальным положением. Симметрической фигурой называется такая фигура, в которой отдельные части мысленно могут быть совмещены друг с другом посредством симметрическо­го преобразования. Симметрическим преобразованием назы­вают такое преобразование, при котором равные части фигу­ры совмещаются друг с другом. Каждому симметрическому преобразованию соответствует некоторый геометрический образ, называемый элементом симметрии. Различают эле­менты симметрии первого и второго рода. К первым относит­ся плоскость симметрии m, поворотные оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6 и центр инверсии. Ко вторым — сложные элементы симметрии: инверсионные и зеркально-поворотные оси.

Плоскостью симметрии называют плоскость зеркального отражения, осуществляющую совмещение симметрично рав­ных точек. Поворотной осью симметрии n-порядка называ­ется ось, при повороте вокруг которой на некоторый элементарный угол α (α=360/n) происходит совмещение симметрично равных точек. Порядок оси определяет, сколько раз про­изойдет совмещение симметричной фигуры с самой собой при повороте оси на 360°. Отметим, что каждой фигуре свой­ственен элемент симметрии 1 (ось симметрии 1 порядка). обратного равенства) является математической точкой пере­сечения линий, соединяющих части фигуры противоположные, параллельные, равные, но обратно направленные. В некото­рых случаях для совмещения с исходным положением необ­ходимо осуществить не только поворот фигуры на элементар­ный угол, но и отразить ее в действующей совместно к не­разделимо вспомогательной плоскости, перпендикулярной к оси, вокруг которой поворачивается фигура. Отметим, что эта вспомогательная плоскость может и не являться плос­костью симметрии данной фигуры. Такие оси называются зеркально-поворотными. Те же симметрические

преобразова­ния могут быть осуществлены и с помощью инверсионных осей. Инверсионной осью n-порядка (бывают ) называют оси, сочетающие действие поворотной оси того же порядка и действующего совместно и неразделимо с ней центра симметрии.

Зеркально-поворотные оси по конечному результату мо­гут быть заменены соответствующими инверсионными осями. Учитывая это, особенно в зарубежной литературе, чаще пользуются инверсионными осями.

Элементы симметрии допускают проведение с. ними опре­деленных математических операций (преобразований). Так, в частности «Сложение» элементов симметрии приводит к появлению равнодействующего элемента, т. е. равнодейству­ющий элемент сразу же дает результат, к которому приво­дит последовательное применение складываемых элементов. Например, последовательное отражение в двух плоскостях, пересекающихся под углом α, эквивалентно повороту вокруг линии пересечения этих плоскостей на угол 2 α в направле­нии от плоскости первого отражения к плоскости второго отражения. Справедлива и обратная теорема: каждый по­ворот вокруг оси на угол 2 α эквивалентен последовательно­му отражению в двух плоскостях, пересекающихся по этой оси под углом α. Из этой теоремы можно сделать несколько важных выводов, например, если плоскости располагаются под прямым углом, то последовательное отражение в них эквивалентно наличию оси второго порядка, а если — под углом 45°, то равнодействующим элементом будет ось четвер­того порядка.

Подробное рассмотрение взаимодействия элементов сим­метрии приводит к выводу о том, что элементы симметрии находятся не в произвольных сочетаниях друг с другом, а только в определенных и каждой геометрической фигуре со­ответствует свой набор элементов симметрии, называемый видом или группой симметрии. Применяя в любой последо­вательности один элемент этого набора к другому, мы бу­дем получать равнодействующий элемент, который также от­носится к этому набору элементов симметрии. Совокупность элементов симметрии, характеризующих данную конечную фигуру, называют точечной группой симметрии. Было уста­новлено, что существует всего 32 вида (группы) симметрии, которыми могут быть охарактеризованы кристаллы, и в со­ответствии с этим последние делятся на 32 класса симмет­рии. Рассмотрим в качестве примера группу D₃ (32), т. е. случай, когда фигура (кристалл кварца) имеет ось 3 и пер­пендикулярную к ней ось 2. Ось 3 порождает повороты 3, 3², ось 2 — поворот 2_x. Несложно показать, что З_z * 2_x приводит к тому же результату, что и операция 2и (рис. 1.6.2 для тре­угольника А). Справа записывается та операция, которая производится раньше. Действительно З_z * 2_x =2_y. Результаты всевозможных пар, последовательно проведенных умножений представлены в таблице умножения группы (табл.1.6.1).

Р
ис. 1.6.2. Сочетание оси третьего поряд­ка и трех осей второго порядка

Таким образом, множество операций симметрии для кон­кретного идеального кристаллического многогранника, т. е. преобразований, в результате которых этот многогранник совмещается сам с собой, образует класс (вид) симметрии или точечную группу симметрии кристаллов. Эти группы яв­ляются одной из реализаций математических групп.

Таблица 1.6.1

Группой в математике называют множество G элементов а, b, с, ..., удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Для каждых двух элементов группы aG, bG суще­ствует единственный элемент bG являющийся их произве­дением.

Характеристики

Список файлов учебной работы