Вопросы для подготовки к экзамену (975609), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = xe−x .5. Докажите теорему теорему о достаточном условии возрастания дифференцируемой функции на интервале.6. Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной.7. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) > 0, то в точке x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d6.t8сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 168(d6.t8)1. Сформулируйте определение неограниченной числовой последовательности.2. Сформулируйте определение наклонной асимптоты графика функции y = f (x).3.
Сформулируйте теорему о свойстве непрерывной функции, принимающей значения противоположных знаков на концах сегмента [a, b].4. Найдите все предельные точки последовательности 1; 12 ; 1; 21 ; 13 ; 1; 12 ; 31 ; 14 ; 1; 12 ; 13 ; 41 ; 15 ;1; 12 ; 13 ; 41 ; 15 ; 16 ; . . .5. Докажите теорему о достаточном условии убывания дифференцируемой функции в точке.6. Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.7.
Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0, то найдется такая окрестность точкиx0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 171(d7.t1)1. Сформулируйте определение положительного вещественного числа.(x)2. Приведите пример: 6 ∃ limx→0 f (x) и 6 ∃ limx→0 g(x), но ∃ limx→0 fg(x).3.
Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.4. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = x sin x1 .5. Сформулируйти и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке.6. Докажите теорему о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка.7. Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a; b) и ∀x1 ∈ (a; b), ∀x2 ∈ (a; b) :x1 < x¡2 график ¢функцииy =¢ f (x) на интервале (x1 ; x2 ) лежит ниже отрезка, соединяющего¡точки x1 ; f (x1 ) и x2 ; f (x2 ) .
Докажите, что график функции y = f (x) лежит выше любойкасательной к этому графику, за исключением точки касания.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(523)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-524 (524)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 172(d7.t2)1. Сформулируйте определение равных положительных вещественных чисел.¡¢2. Приведите пример: 6 ∃ limx→+∞ f (x) и 6 ∃ limx→+∞ g(x), но ∃ limx→+∞ f (x) + g(x) .3.
Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла.24. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = e−x .23sin x, докажите,5. Используя равенства sin x = x − x6 + o(x3 ), cos x = 1 − x2 + o(x2 ) и tg x = cosxx33что tg x = x + 3 + o(x ) при x → 0.6.
Докажите теорему Кантора.7. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0, то найдется такая окрестность точкиx0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 173(d7.t3)1.
Сформулируйте правило сравнения положительных вещественных чисел.¡¢2. Приведите пример: 6 ∃ limx→+0 f (x) и 6 ∃ limx→+0 g(x), но ∃ limx→+0 f (x) · g(x) .3. Сформулируйте теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке.p4. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = 3 x2 (6 − x).5. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.6. Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.7. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) = 0, f (5) (x0 ) 6= 0, то найдетсятакая окрестность точки x0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решениеx = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 174(d7.t4)1. Сформулируйте определение суммы двух положительных вещественных чисел.(x)2. Приведите пример: 6 ∃ limx→+∞ f (x) и 6 ∃ limx→+∞ g(x), но ∃ limx→+∞ fg(x).3. Сформулируйте теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке.4. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = x arctg x.5. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.¡¢n6.
Докажите, что последовательность xn = 1 + n1 монотонна.¯¯P¯x2k+1 ¯32n+27. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 3] верно неравенство ¯sin x − nk=0 (−1)k (2k+1)!.¯ < (2n+2)!1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(524)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-525 (525)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 175(d7.t5)1. Сформулируйте определение произведения двух положительных вещественных чисел.(x)2.
Приведите пример: ∃ limx→+0 f (x) и ∃ limx→+0 g(x), но 6 ∃ limx→+0 fg(x).3. Сформулируйте теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке.¢R ¡√4. Найдите ln x2 + 1 − x dx.1245. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что 1−x2 = 1+x +x +4o(x ) при x → 0.6. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Гейне", то limx→+∞ f (x) = b "по Коши".7. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) < 0, то в точке x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 176(d7.t6)1. Сформулируйте определение разности двух положительных вещественных чисел.¡¢2. Приведите пример: ∃ limx→+∞ f (x) и 6 ∃ limx→+∞ g(x), но ∃ limx→+∞ f (x) · g(x) .3. Сформулируйте теорему о свойстве непрерывной функции, принимающей значения противоположных знаков на концах сегмента [a, b].√¢R ¡4.
Найдите ln x + x2 − 1 dx.5. Докажите, что сумма бесконечно малой при x → a функции и ограниченной в окрестноститочки x = a функции является ограниченной в некоторой окрестности точки x = a функцией.6. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Коши", то limx→+∞ f (x) = b "по Гейне".7. Докажите, что если f 0 (x0 ) 6= 0, то найдется такая окрестность точки x0 , в которой уравнениеf (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562g-d7.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 177(d7.t7)1. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.2. Приведите (с обоснованием) пример иррационального вещественного числа.3. Сформулируйте теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточноезначение.R4. Найдите sin ln x dx.5. Докажите, что произведение двух ограниченных на множестве X функций является ограниченной на множестве X функцией.6. Докажите, что если limx→a f (x) = b "по Гейне", то limx→a f (x) = b "по Коши".7. Докажите, что если f 00 (x0 ) 6= 0, то найдется такая окрестность точки x0 , в которой уравнениеf (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(525)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562d (2014-2015)-457 (457)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562d-t101bсентябрь-декабрь 2014T562d, T562d-Набор вопросов 201(t101b)1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции f (x) при x → −∞.2. Сформулируйте определение точки разрыва первого рода функции f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемой функции.R4. Найдите arctg x dx.5. Запишите формулу Тейлора–Пеано для f (x) = ex , с центром в точке x0 = 0, n = 4.6. Докажите теорему об устойчивости знака непрерывной функции.(x).7. Приведите пример: 6 ∃ limx→0 f (x) и 6 ∃ limx→0 g(x), но ∃ limx→0 fg(x)Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562d-t102bсентябрь-декабрь 2014T562d, T562d-Набор вопросов 202(t102b)1. Сформулируйте определение первообразной.2. Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "limx→+∞ f (x) = b".3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
