Вопросы для подготовки к экзамену (975609), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Докажите, что функция f (x) = x равномерно непрерывна на промежутке (0; +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 141(d4.t1)1. Сформулируйте определение неограниченного множества вещественных чисел.2. Сформулируйте определение дифференциала функции в данной точке.3. Сформулируйте теорему о перестановке членов условно сходящегося числового ряда.R dx4. Найдите cos.x5. Докажите, что если limx→a f (x) = A,¡ limx→a g(x)¢ = B, и обе функции определены на соответствующих множествах, то ∃ limx→a f (x) − g(x) = A − B.6. Докажите теорему о достаточных условиях экстремума дважды дифференцируемой функции.¡¢7. Пусть x1 = 3, xn+1 = 21 xn + x4n , n > 1. Докажите, что существует limn→+∞ xn и найдитеэтот предел.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 142(d4.t2)1. Сформулируйте определение условно сходящегося числового ряда.2. Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "f (x) → b при x → −∞".3. Сформулируйте теорему о достаточном условии убывания дифференцируемой функции вточке.R e2x4. Найдите √1+ex dx.5. Сформулируйти и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке.6. Докажите, что если f (x) → +∞ при x → a "по Гейне", то f (x) → +∞ при x → a "поКоши".Pk7.
Докажите, что ∀x ∈ (− 21 , 12 ) limn→+∞ nk=1 (−1)k−1 xk = ln(1 + x).1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(516)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-517 (517)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 143(d4.t3)1.2.3.4.Сформулируйте определение функции, неограниченной сверху на заданном множестве.Сформулируйте определение предела функции в точке "по Коши".Сформулируйте теорему Кантора.R dxНайдите cos.xPk5.
Докажите, что ∀n > 1 верно равенство e−x = nk=0 (−1)k xk! + o(xn ) при x → 0.6. Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела limx→a f (x). Докажитеутверждение о достаточности условия Коши.7. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на промежутке [0, +∞) и limx→+∞ f (x) = 0,то f (x) равномерно непрерывна на указанном промежутке.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 144(d4.t4)1.
Сформулируйте "по Гейне" определение предела функции f (x) при x → a.2. Сформулируйте определение точки локального эстремума функции f (x).3. Сформулируйте теорему о необходимом условии убывания дифференцируемой функции напромежутке.R4. Найдите x ln x dx.35.
Используя равенство tg x = x + x3 + o(x3 ) и определение обратной функции, докажите, что3arctg x = x − x3 + o(x3 ) при x → 0.6. Докажите, что ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.P17. Докажите, что ∀x ∈ (− 12 , 12 ) limn→+∞ nk=0 (−1)k xk = 1+x.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 145(d4.t5)1. Сформулируйте "по Гейне" определение бесконечно большой положительной функции x →a.2. Сформулируйте определение точки разрыва функции f (x).3. Сформулируйте теорему о признаке Даламбера сходимости числового ряда в "непредельнойформе".R x dx4.
Найдите (1+x2 )2 .√5. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что 1 − x = 1 − x2 +o(x)при x → 0.6. Докажите неравенство Бернулли, (1 + x)n > 1 + nx при x > −1 и n > 1.7. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на промежутке [0, +∞) и имеет наклоннуюасимптоту, то f (x) равномерно непрерывна на указанном промежутке.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(517)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-518 (518)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 146(d4.t6)1.
Сформулируйте "по Гейне" определение: "f (x) → +∞ при x → +∞".2. Что такое неопределенный интеграл?3. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Pn4. При каких x ряд +∞n=1 x сходится (1) абсолютно, (2) условно.5. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x) дифференцируемой n раз в точке x0 функции f (x)и все его производные до n-го порядка включительно в точке x0 равны соответственно f (x0 )и f (k) (x0 ), k = 1, 2, .
. . , n.6. Докажите вторую теорему Вейерштрасса.√7. Докажите, что limn→+∞ n n = 1.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 147(d4.t7)1. Сформулируйте определение бесконечно большой последовательности.2.
Сформулируйте определение точки разрыва второго рода функции f (x).3. Сформулируйте теорему о критерии Коши предела функции при x → +∞.R dx4. Найдите √x1+x2.5. Докажите, что произведение двух бесконечно малых при x → a функций является бесконечно малой при x → a функцией.6. Пусть Pn (x) — многочлен Тейлорадифференцируемойn раз в точке x0 функции f (x).¡¢nДокажите, что f (x) = Pn (x) + o (x − x0 ) .7.
Докажите, не пользуясь правилом Лопиталя, что limn→+∞ lnnn = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 151(d5.t1)1. Сформулируйте определение неограниченного снизу множества вещественных чисел.2. Сформулируйте определение дифференцируемой функции.3. Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.4.
Найдите производную 12–го порядка функции f (x) = xe−x .5. Докажите, что если limx→a f (x) = A,¡ limx→a g(x)¢ = B, и обе функции определены на соответствующих множествах, то ∃ limx→a f (x) · g(x) = AB.6. Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела limx→+∞ f (x). Докажитеутверждение о необходимости условия Коши.Pxnx7. Докажите, что ∀x limm→+∞ mn=0 n! = e .1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(518)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-519 (519)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 152(d5.t2)1. Сформулируйте определение первообразной.2. Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "limx→+∞ f (x) = b".3. Сформулируйте теорему о необходимом условии убывания дифференцируемой функции вточке.4. Найдите производную 11–го порядка функции f (x) = x sin x.5. Докажите теорему об устойчивости знака непрерывной функции.6. Докажите, что если f (x) → +∞ при x → +∞ "по Коши", то f (x) → +∞ при x → +∞ "поГейне".P−xn xn7.
Докажите, что ∀x limm→+∞ mn=0 (−1) n! = e .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 153(d5.t3)1. Сформулируйте определение функции, неограниченной на заданном множестве.2. Сформулируйте определение предела функции в точке "по Гейне".3. Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела функции f (x) при x → a.4.
НайдитеRdx.sin xPk5. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство ln(1 + x) = nk=1 (−1)k−1 xk + o(xn ) при x → 0.6. Докажите теорему о необходимых условиях перегиба графика дважды дифференцируемойфункции.½ x+1x , если x > 0,имеет правую производную в точке7. Докажите, что функция f (x) =0, если x = 0,x = 0 и найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d5.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 154(d5.t4)1.
Сформулируйте "по Коши" определение: "Функция f (x) имеет предел при x → a".2. Сформулируйте определение точки локального максимума функции f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточном условии возрастания дифференцируемой функциина интервале.R4. Найдите ex sin x dx.32sin x, докажите,5. Используя равенства sin x = x − x6 + o(x3 ), cos x = 1 − x2 + o(x2 ) и tg x = cosx3x3что tg x = x + 3 + o(x ) при x → 0.6. Докажите теорему о формуле Тейлора с остаточным членом¯ в форме Пеано.¯£¤Pk¯¯7. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ 0; 12 верно неравенство ¯ln(1 + x) − nk=1 (−1)k−1 xk ¯ <1.(n+1)2n+11 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(519)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-520 (520)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
