Вопросы для подготовки к экзамену (975609), страница 10
Текст из файла (страница 10)
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t217bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 317(t217b)1. Докажите, что если limx→a f (x) = b "по Гейне", то limx→a f (x) = b "по Коши".2. Докажите, что limn→+∞ nn!n = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t218bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 318(t218b)1. Докажите, что если limx→a f (x) = b "по Коши", то limx→a f (x) = b "по Гейне".2.
Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке x ∈ [a; +∞), ∃ limx→+∞ f (x) = b, f (a) = b,∃c ∈ (a; +∞) : f (c) < b. Докажите, что функция f (x) достигает своей точной нижней гранина промежутке x ∈ (a; +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t219bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 319(t219b)1.
Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела limx→+∞ f (x). Докажитеутверждение о необходимости условия Коши.Pk2. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство − ln(1 − x) = nk=1 xk + o(xn ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t220bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 320(t220b)1. Докажите теорему об обобщенной формуле конечных приращений (Коши).2. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn =является бесконечно большой.01 сентября 2014Экзамен(488)bnnaпри b > 1k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-489 (489)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t31bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 321(t31b)1. Докажите, что произведение бесконечно малой при x → a функции и ограниченной вокрестности точки x = a функции является ограниченной в некоторой окрестности точкиx = a функцией.Pn x2n+12.
Докажите, что ∀x верно равенство limN →+∞ Nn=0 (−1) (2n+1)! = sin x.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t32bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 322(t32b)1. Докажите теорему Ферма (о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции).√2. Докажите, что функция f (x) = arctg 3 x равномерно непрерывна на интервале (0; +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t33bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 323(t33b)1.
Докажите, что если f 00 (x) < 0 на промежутке x ∈ (a, b), то график функции y = f (x) наэтом промежутке направлен выпуклостью вверх.n2. Докажите, что ∀b верно равенство limn→+∞ bn! = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t34bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 324(t34b)1.
Докажите теорему о производной обратной функции.Px2k+12. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство sin x = nk=0 (−1)k (2k+1)!+ o(x2n+1 ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t35bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 325(t35b)1. Докажите теорему о пределе при x → +∞ монотонной ограниченной функции.n2.
Докажите, что ∀b ∈ [−2; 2] верно равенство limn→+∞ b n·n!= 0.nМосковский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t36bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 326(t36b)1. Докажите первую теорему Вейерштрасса.¯P¯2. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 3] верно неравенство ¯e2x − nk=0¯2k xk ¯k! ¯<1000·6n+1.(n+1)!Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t37bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 327(t37b)1. Докажите, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.√2. Докажите, что функция f (x) = x равномерно непрерывна на промежутке (0; +∞).01 сентября 2014Экзамен(489)k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-490 (490)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t38bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 328(t38b)1. Докажите теорему о достаточных условиях экстремума дважды дифференцируемой функции.¡¢2. Пусть x1 = 3, xn+1 = 12 xn + x4n , n > 1. Докажите, что существует limn→+∞ xn и найдитеэтот предел.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t39bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 329(t39b)1. Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемойфункции.√2.
Докажите, что функция f (x) = 3 x равномерно непрерывна на промежутке (−∞, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t40bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 330(t40b)1. Докажите теорему о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка.P12. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство 1−x= 1 + nk=1 xk + o(xn ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t41bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 331(t41b)¡¢n1. Докажите, что последовательность xn = 1 + n1 сходится.2. Докажите, что функция f (x) = ln x не является равномерно непрерывной на промежутке(0, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t42bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 332(t42b)1.
Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции.2. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0, то найдется такая окрестность точкиx0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t43bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 333(t43b)1. Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции.2. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) > 0, то в точке x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t44bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 334(t44b)1. Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла.2. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) 6= 0, то найдется такаяокрестность точки x0 , в которой уравнение f (x) = f (x0 ) имеет единственное решение x = x0 .01 сентября 2014Экзамен(490)k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-491 (491)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t45bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 335(t45b)1. Докажите теорему о формуле Ньютона-Лейбница для определенногоинтеграла.¯¯£ 1¤Pk¯¯2. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ 0; 2 верно неравенство ¯ln(1 + x) − nk=1 (−1)k−1 xk ¯ <1.(n+1)2n+1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t46bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 336(t46b)1. Докажите теорему о формуле замены переменной для определенного интеграла.2. Докажите, что если f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) < 0, то в точке x0 функцияy = f (x) имеет строгий локальный максимум.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t47bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 337(t47b)1. Докажите, что фундаментальная последовательностьявляется ограниченной.¯¯k¯¯ −x Pnxn+12.
Докажите, что ∀n > 0, ∀x > 0 верно неравенство ¯e − k=0 (−1)k xk! ¯ < (n+1)!.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t48bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 338(t48b)1. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Гейне", то limx→+∞ f (x) = b "по Коши".½ x, если x 6= 0,2. Докажите, что функция f (x) = ln |x|имеет производную в точке x = 0 и0, если x = 0,найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t49bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 339(t49b)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
