Вопросы для подготовки к экзамену (975609), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Коши", то limx→+∞ f (x) = b "по Гейне".½ x+1x , если x > 0,2. Докажите, что функция f (x) =имеет правую производную в точке0, если x = 0,x = 0 и найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t50bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 340(t50b)1. Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемойфункции.2. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на промежутке [0, +∞) и limx→+∞ f (x) = 0,то f (x) равномерно непрерывна на указанном промежутке.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t51bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 341(t51b)(x).1. Докажите теорему о правиле Лопиталя для вычисления limx→a fg(x)2. Докажите, что ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.01 сентября 2014Экзамен(491)k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-492 (492)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t52bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 342(t52b)1. Докажите неравенство Бернулли, (1 + x)n > 1 + nx при x > −1 и n > 1.2.
Докажите, что если функция f (x) непрерывна на промежутке [0, +∞) и имеет наклоннуюасимптоту, то f (x) равномерно непрерывна на указанном промежутке.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t53bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 343(t53b)1.
Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x) дифференцируемой n раз в точке x0 функции f (x)и все его производные до n-го порядка включительно в точке x0 равны соответственно f (x0 )и f (k) (x0 ), k = 1, 2, . . . , n.√2. Докажите, что limn→+∞ n n = 1.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t54bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 344(t54b)1. Докажите теорему о производной суммы двух функций.2. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn =является бесконечно малой.ln nnαпри α > 0Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t55bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 345(t55b)1. Пусть Pn (x) — многочлен Тейлорадифференцируемойn раз в точке x0 функции f (x).¡¢nДокажите, что f (x) = Pn (x) + o (x − x0 ) .2. Докажите, не пользуясь правилом Лопиталя, что limn→+∞ lnnn = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t56bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 346(t56b)1. Докажите, что сумма бесконечно малой при x → a функции и ограниченной в окрестноститочки x = a функции является ограниченной в некоторой окрестности точки x = a функцией.2. Докажите, что если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x0 , f (x0 ) = 0, g(x0 ) = 0,0 (x )(x)0g 0 (x0 ) 6= 0, то ∃ limx→x0 fg(x)= fg0 (x.0)Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t57bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 347(t57b)1. Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела limx→+∞ f (x). Докажитеутверждение о необходимости условия( ¡ Коши.¢ x1, если x 6= 0, имеет производную в точке x = 0 иx1+x2. Докажите, что функция f (x) =0,если x = 0,найдите ее значение.01 сентября 2014Экзамен(492)k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-493 (493)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t58bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 348(t58b)1. Докажите, что если f (x) → +∞ при x → +∞ "по Коши", то f (x) → +∞ при x → +∞ "поГейне".2. Докажите, что если f 00 (x0 ) = 0, f (4) (x0 ) = 0, f (5) (x0 ) 6= 0, то в точке x0 функция y = f (x) неимеет локального экстремума.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t59bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 349(t59b)1. Докажите теорему о необходимых условиях перегиба графика дважды дифференцируемойфункции.Pk2.
Докажите, что ∀n > 1 верно равенство ln(1 + x) = nk=1 (−1)k−1 xk + o(xn ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t60bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 350(t60b)1. Докажите теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.2.
Докажите, что если функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси и ∀x, y верноравенство f (x + y) = f (x)f (y), то найдется такое число C, что f 0 (x) = Cf (x).01 сентября 2014Экзамен(493)k1s1, часть 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
