Вопросы для подготовки к экзамену (975609), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Укажите все значения γ, при которых x3 = o(xγ ) при x → +0.7. Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях существования наклоннойасимптоты графика функции f (x) при x → +∞. Докажите достаточность.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(469)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562d (2014-2015)-470 (470)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562d-t141bсентябрь-декабрь 2014T562d, T562d-Набор вопросов 241(t141b)1. Сформулируйте определение верхнего предела числовой последовательности.2. Сформулируйте определение верхней суммы (Дарбу) для определенного интеграла.3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума дважды дифференцируемойфункции.√4. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для f (x) = x + 1,x0 = 0, n = 2.5. Пусть α > β > 0. Укажите все значения γ > 0, при которых x−α + x−β = o(x−γ ) приx → +∞.6.
Укажите все значения γ, при которых xγ = o(x2 ) при x → +0.7. Докажите, что произведение двух бесконечно малых при x → a функций является бесконечно малой при x → a функцией.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562d-t142bсентябрь-декабрь 2014T562d, T562d-Набор вопросов 242(t142b)1.
Сформулируйте определение производной n—го порядка функции.2. Сформулируйте определение предельной точки последовательности, которое используетпонятие окрестности.3. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.R4. Найдите cos ln x dx.5. Найдите наклонную асимптоту графика функции f (x) = x2 sin x1 .6. Укажите все значения γ, при которых x2 = o(xγ ) при x → +0.7. Докажите теорему о производной произведения двух функций.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562d-t143bсентябрь-декабрь 2014T562d, T562d-Набор вопросов 243(t143b)1.
Что такое нижняя сумма (Дарбу) для определенного интеграла?2. Сформулируйте определение наклонной асимптоты графика функции y = f (x).3. Сформулируйте теорему о свойстве непрерывной функции, принимающей значения противоположных знаков на концах сегмента [a, b].¡¢4. Найдите наклонную асимптоту графика функции f (x) = x2 ln 1 − x1 .√5. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для f (x) = 1 − x,x0 = 0, n = 1.6.
Укажите все значения γ, при которых xγ = o(x) при x → +0.7. Докажите, что если limx→a f (x) = A,¡ limx→a g(x)¢ = B, и обе функции определены на соответствующих множествах, то ∃ limx→a f (x) + g(x) = A + B.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(470)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-486 (486)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен16.2.3. Математический анализ, Вопросы для подготовки к экзамену 1семестра 2014-2015 [4199]Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t201bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 301(t201b)1. Докажите теорему о производной обратной функции.Px2k+12.
Докажите, что ∀n > 1 верно равенство sin x = nk=0 (−1)k (2k+1)!+ o(x2n+1 ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t202bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 302(t202b)1. Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика дважды дифференцируемойфункции.√2. Докажите, что функция f (x) = 3 x равномерно непрерывна на промежутке (−∞, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t203bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 303(t203b)1. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.¯¯¯ x Pn xk ¯ 10·2n+12. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 2] верно неравенство ¯e − k=0 k! ¯ < (n+1)! .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t204bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 304(t204b)1. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x) дифференцируемой n раз в точке x0 функции f (x)и все его производные до n-го порядка включительно в точке x0 равны соответственно f (x0 )и f (k) (x0 ), k = 1, 2, . .
. , n.√2. Докажите, что последовательность xn = n n − 1 является бесконечно малой.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t205bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 305(t205b)1. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Гейне", то limx→+∞ f (x) = b "по Коши".½ 1−xx , если x > 0,2. Докажите, что функция f (x) =имеет правую производную в точке0, если x = 0,x = 0 и найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t206bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 306(t206b)1. Докажите вторуюВейерштрасса.½ 3 теорему1x cos x2 , если x 6= 0,Докажите, что ∃f 0 (x) при x 6= 0, ∃f 0 (0), 6 ∃ limx→0 f 0 (x).2. Пусть f (x) =0,если x = 0.01 сентября 2014Экзамен(486)k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-487 (487)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t207bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 307(t207b)1. Докажите теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.½|x| ln |x| при x 6= 0,2. Пусть f (x) =Найдите первообразную этой функции на всей числовой0 при x = 0.оси.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t208bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 308(t208b)1. Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемойфункции.½ −1/x2e, если x 6= 0,2. Пусть f (x) =Найдите f 0 (0).0, если x = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t209bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 309(t209b)1. Докажите теорему теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемой функции.Pk2.
Докажите, что ∀n > 0 верно утверждение ex = nk=0 xk! + o(xn ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t210bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 310(t210b)1. Докажите, что возрастающая ограниченная последовательность имеет предел.212. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что √1+x= 1 − x2 + 3x8 +o(x2 ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t211bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 311(t211b)1. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.P2. Найдите все предельные точки последовательности xn = дробная часть числа nk=1 k1 .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t212bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 312(t212b)1. Докажите теорему о формуле Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.2.
Пусть f (x) = arcsin x. Найдите f (n) (0).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t213bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 313(t213b)1. Докажите теорему о правиле Лопиталя для вычисления limx→af (x).g(x)2. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность xn =является бесконечно малой.01 сентября 2014Экзамен(487)nabnпри b > 1k1s1, часть 2Московский Государственный университетКафедра математикиT562e (2014-2015)-488 (488)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t214bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 314(t214b)1. Докажите теорему о производной сложной функции.Px2k2. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство cos x = nk=0 (−1)k (2k)!+ o(x2n ) при x → 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562e-t215bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 315(t215b)1. Докажите теорему о правиле Лопиталя для вычисления limx→af (x).g(x)2. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке x ∈ [a, +∞), ∃ limx→+∞ f (x) = b, и f (a) =b. Докажите, что функция f (x) достигает своей точной верхней грани на промежутке x ∈[a, +∞).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
анализаK1 S1 M1-4, T562e-t216bсентябрь-декабрь 2014T562e, T562e-Набор вопросов 316(t216b)1. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.2. Докажите, что если функции f (x) и g(x) дважды дифференцируемы в точке x0 , f (x0 ) =00 (x )(x)00, g(x0 ) = 0, f 0 (x0 ) = 0, g 0 (x0 ) = 0, g 00 (x0 ) 6= 0, то ∃ limx→x0 fg(x)= fg00 (x.0)Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
