Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 1 (973557), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Так например, потенциал электрического поля, создаваемого зарядами на проводящей поверхности,и температурное поле в теле, поверхность которого имеет заданнуютемпературу, описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. То обстоятельство, что многообразные физические процессы могут быть охвачены сравнительно малым количеством математическихмоделей, говорит об универсальности последних, следующей из универсальности исходных предположений об этих процессах, и являетсяодной из причин успеха математического моделирования.В огромном числе случаев при попытке построить модель какоголибо объекта либо невозможно прямо указать законы сохранения иливариационные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существова16нии подобных законов, допускающих математическую формулировку.К таким объектам относятся, например, системы с заметным вмешательством людей, в частности экономические системы.Одним из плодотворных подходов к построению моделей такогорода объектов является использование аналогий с уже изученными явлениями: методы и результаты, разработанные и накопленные приматематическом моделировании одних явлений, переносятся «по аналогии» на широкие классы совсем других процессов.

Например, известнымеханико-экономические аналогии (использование идеи «насыщения»:скорость роста со временем какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значения этой величины на разность между ее предельным и текущим значениями, использование законов сохранения,переходов с микро- на макроуровень), термодинамико-экономическиеаналогии (представления о стационарных процессах, равновесных состояниях, переход от дискретной к непрерывной модели) и др.

Применение подобных аналогий позволяет глубже понять принципиальныесвойства трудноформализуемых объектов.1.6. Иерархия моделей. Развитие науки XX века показало необходимость построения множества различных моделей для описания одного явления или объекта, создания альтернативных картин реальности.Оптимально выбираемый уровень моделирования существенно зависитот его целей: не обязательно использовать модель высокого уровня, существенно более затратную по компьютерным ресурсам, если в этом нетпрактической необходимости. Но и в противном случае построение математических моделей сразу во «всей полноте», с учетом всех факторов,существенных для его поведения, не бывает оправданным.Более результативным оказывается подход, реализующий принцип«от простого к сложному», когда после достаточно подробного изученияне очень сложной модели делается следующий шаг — отказ от одногоили нескольких упрощающих предположений, идеализирующих изучаемый объект.

При этом возникает цепочка (иерархия) все более полныхмоделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая. Путь «от простого к сложному» дает возможность поэтапно изучать все более реалистичные модели и сравниватьих свойства.Иерархия математических моделей часто строится и по противоположному принципу «от сложного к простому», «от общего к частному». В этом случае реализуется путь «сверху вниз» — из достаточно17общей и сложной модели при соответствующих упрощающих предположениях и конкретизациях рассматриваемого объекта, определяемыхпротекающими в нем процессами, его геометрией и т. д., получаетсяпоследовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюсяобласть применимости) моделей. Такой подход позволяет сразу установить некоторые общие свойства объекта, конкретизируя и дополняя ихв частных ситуациях.

Длина образующейся при этом цепочки можетбыть весьма значительной.Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Тем не менее, линейные модели, получающиеся из нелинейных при особых упрощающих предположениях(линеаризации) и справедливые лишь для описания малых измененийхарактеристик объекта, также должны быть включены в иерархию математических моделей, поскольку они просты для исследования и могутслужить первым приближением к реальности.

Например, предполагая,что толщина струны много меньше ее длины, что она имеет постояннуюлинейную плотность, амплитуда колебаний значительно меньше длиныструны и что можно пренебречь продольными смещениями и скоростями участков струны, мы приходим к линейной модели, приближенноописывающей малые поперечные движения точек струны.

Разумеется,линеаризованная модель не дает исчерпывающей картины процесса, ноиз нее можно извлечь ряд сведений, полезных для более полного исследования.Таким образом, иерархические цепочки могут содержать линейныеи нелинейные модели, стационарные и нестационарные модели, модели, отличающиеся типом используемых в них дифференциальных уравнений (уравнения гиперболического, параболического, эллиптическоготипов, а также смешанного типа), модели многомерные и одномерныеи т. д. Дополнительные вариации построенных моделей связаны с различными вариантами краевых условий и других входных данных. Припостроении и анализе любой модели всегда полезно знать ее место в общей иерархии моделей изучаемого объекта [25]. Это дает возможностьправильно оценивать область применимости и четко осознавать связис моделями других уровней, т.

е. способствует более глубокому пониманию исследуемых явлений.1.7. Исследование модели. Одним из важных моментов является исследование получившейся модели. Поскольку получающиеся модели, как правило, представляют собой сложные системы уравнений,18допускающие интегрирование (получение решения в конечном виде)только в исключительных случаях, жизненно важно развитие методових исследования. Здесь можно выделить так называемые качественные методы, составляющие огромную часть современной математики —совокупность методов, позволяющих делать те или иные заключенияо решениях, не зная точного их выражения. Сюда включаются методыисследования существования и единственности решения, его устойчивости, асимптотического поведения, анализа размерностей, групповогоанализа моделей и т. п.

Такой теоретический анализ позволяет на следующем этапе моделирования — конструировании вычислительных алгоритмов —разрабатывать качественные численные методы и заранеепрогнозировать особенности численного решения.Вместе с тем, необходимо развивать и совершенствовать аналитическую технику, искать специальные классы решений. Знание точныхрешений, хотя бы в некоторых частных случаях, позволяет выполнитьпредварительную проверку качества вычислительного алгоритма, ибобез такой проверки нельзя понять, что отражают результаты вычислительного эксперимента — реальные свойства объекта или женекоторые побочные эффекты самой вычислительной процедуры.

Использование компьютеров при поиске аналитических выражений длярешения и, вообще, при проведении аналитических вычислений существенно расширяет возможности исследования математическихмоделей. К настоящему времени созданы десятки специальных программных систем (Reduce, Maple, Mathematica и др.) для выполнениявсевозможных аналитических преобразований.Отметим, что многие явления описываются такими математическими моделями, разработка теории которых находится пока в начальнойстадии и о решении которых мало что известно.

Тем не менее, запросыпрактики заставляют решать и такие задачи.ЗАДАЧИ1.1. Для уравнения (1.8) рассмотрим задачу Коши со следующиминачальными данными при t = 0:s(0) = a > 0,ṡ(0) = 0.(1.10)При этих условиях решение (1.9) уравнения (1.8) запишется в видеs(t) = a cos ωt,19(1.11)yx0cx0θРис. 3. Схема движения подводного оползня по плоскому откосуpгде ω = k/m.

Используя закон Ньютона (1.7), построить новую математическую модель, описывающую движение вертикальной стенки(см. рис. 2) не только под воздействием упругой силы пружин (какв модели (1.8)), но и дополнительной внешней силы, равной −F0 cos ω1 tи обусловленной давлением на стенку периодических поверхностныхволн. Здесь ω1 — частота волновой силы.Исследовать решение полученной модели при тех же начальных данных (1.10). Предложить дальнейшие обобщения модели, дающие болеереалистическую картину процесса.1.2. Используя закон Ньютона (1.1) и принцип «от простого к сложному», построить иерархию математических моделей, описывающихдвижение подводного оползня по плоскому откосу (см. рис. 3).

Считать,что оползень представляет собой твердое тело известной формы и движется под действием сил тяжести и Архимеда, сил сопротивления водыи трения о дно. Выписать и исследовать аналитические решения моделей. Придумать возможные обобщения рассмотренных моделей, приводящие ко все более полному описанию явления.20§ 2. Общие требования к вычислительнымалгоритмамНа основании построенных математических моделей реального объекта выполняется следующий этап математического моделирования —создание вычислительного алгоритма, включающий в себя его разработку и анализ свойств, что составляет содержание огромного раздела современной математики — вычислительной математики [23].

Рассмотрим некоторые общие принципы конструирования и обоснованиявычислительных алгоритмов, предназначенных для использования насовременных ЭВМ.2.1. Переход к дискретной модели. Поскольку компьютер оперирует только с дискретным представлением информации, то общимдля всех численных методов является сведение математической задачик конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией (аппроксимацией) исходной задачи, т.

е. переходом от функций непрерывногоаргумента к функциям дискретного аргумента, переходом от непрерывного представления математической задачи (аналитическое, дифференциальное, интегро-дифференциальное представление) к ее дискретному аналогу. Например, если в исходной задаче фигурировалафункция u(x, y), определенная в области непрерывного изменения аргументов x и y, то в дискретной задаче будет использоваться функцияu(xj , yj ), определенная на конечном множестве точек (узлов) (xj , yj )(j = 1, . . .

Характеристики

Список файлов лекций