Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 1 (973557), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Однако чащевсего выясняются какие-либо необычные формы протекания изучаемого процесса, неожиданные режимы работы проектируемой установки,в результате чего появляется желание уточнить те или иные деталипроцесса. Тогда математическая модель модифицируется, как правило,усложняется, и начинается новый цикл вычислительного эксперимента.∗∗∗В этой главе мы увидели, что математическое моделирование реализуется в виде некоторой технологической цепочки отображений, в начале которой находится изучаемый объект, а в конце — расчет на ЭВМи анализ полученных результатов. Эффективная реализация этой цепочки в условиях многообразия изучаемых объектов, коллективов исполнителей, многообразия программ и конфигураций ЭВМ составляет предмет математической технологии в терминологии, предложеннойакадемиком Н.
Н. Яненко, или вычислительного эксперимента (по академику А. А. Самарскому).36Ответы, указания, решенияГлава 11.1. Р е ш е н и е. На основе закона Ньютона (1.7) получаем, чтоучет волнового давления приводит к замене уравнения (1.8) следующимуравнениемms̈ = −ks − F0 cos ω1 t.(1)Решение этого уравнения находится как сумма общего решения (1.9)уравнения (1.8) и частного решения уравнения (1) вида s1 (t) = γ cos ω1 t,т. е.s(t) = α sin ωt + β cos ωt + γ cos ω1 t.Подставляя это выражение в (1), находимγ=F0.m (ω12 − ω 2 )Следовательно, решение задачи (1), (1.10) дается формуло鵶F0F0s(t) = a −cos ω1 t.cos ωt +22m (ω1 − ω )m (ω12 − ω 2 )(2)Из формулы для решения (2) следует, что если частоты ω и ω1 соизмеримы (отношение ω/ω1 является рациональным числом), то функция s(t) является периодической, иначе — непериодической.
Кроме того,при приближении частоты внешней силы ω1 к частоте упругих колебаний ω амплитуда колебаний стенки неограниченно растет — возникаетявление резонанса.Используя принцип «от простого к сложному», можно построитьиерархию все более полных математических моделей, описывающихдвижение вертикальной стенки, прикрепленной пружинами к неподвижному блоку и подверженной воздействию новых внешних сил, неучтенных ранее.
Например, можно дополнительно учесть силу трениястенки о дно Fтр = kтр mg sgn ṡ, где kтр — коэффициент трения, sgn ṡ —знак скорости. Еще более полная модель получится, если принять вовнимание сопротивление воды движению стенки. Можно учесть присоединенную массу воды — движущаяся стенка вовлекает в движениенекоторую часть прилегающей к ней воды, поэтому в уравнении (1)массу этой воды необходимо добавить к массе стенки m. Модель будетболее точной, если учитывать, что коэффициент жесткости зависит от117величины деформации (k = k(s) 6= const). Еще более сложные моделиполучаются при учете обратного воздействия движушейся стенки наволновой режим прилегающей акватории, который описывается своейиерархией гидродинамических моделей течения жидкости со свободнойграницей [16, 26].
Выбор той или иной модели определяется целями исследования, требуемой детальностью описания процесса.1.2. Р е ш е н и е. Плоский откос, изображенный на рис. 3, описывается линейной функциейy = hbt (x) = −xtg θ,(3)где θ > 0 — угол наклона откоса. По откосу движется оползень,который, согласно условию задачи, представляет собой твердое телозаданной формы. Предположим, что это тело имеет конечную протяженность, известный объем V и известную плотность ρsl материала, изкоторого оно сложено.При моделировании оползня твердым телом закон его прямолинейного движения по откосу (3) задается законом движения любой из еготочек, например, законом движения точки xc (t), имеющей абсциссу xc (t)и ординату yc (t) = hbt (xc (t)), т.
е. точки, скользящей вдоль откоса. Обозначим через x0c начальную абсциссу выделенной точки: xc (0) = x0c .Пусть s — параметр, равный расстоянию, отсчитываемому от началакоординат вдоль плоского откоса. Тогда абсцисса x точки, лежащей наоткосе, и параметр s для этой точки связаны равенствомs=x.cos θ(4)Предположим, что в начальный момент времени точка xc (0) соответствует параметру s = S0 , а движущаяся точка xc (t) — параметру s = S(t). Тогда закон движения s = S(t) первоначально покоящейсяматериальной точки xc (t) вдоль откоса (3) определяется как решениеследующей задачи Коши для уравнения движения [4]:mS̈(t) = Fτ (t),S(0) = S0 ,Ṡ(0) = 0,(5)(6)где S̈ = d2 S/dt2 , Ṡ = dS/dt, m — величина, имеющая размерность массы, Fτ (t) — сила, направленная вдоль откоса и действующая в моментвремени t на движущуюся точку xc (t).118Перейдем теперь к рассмотрению иерархии математических моделейисследуемого явления.Модель М1.
Учитывается масса оползня M и сила тяжести. Такимобразом,Fτ = M g sin θm = M = ρsl V ;и задача (5), (6) принимает видM S̈(t) = M g sin θ,S(0) = S0 ,Ṡ(0) = 0,(7)где g — ускорение свободного падения. Решение задачи (7) описываетсяформулойgt2S(t) = S0 +sin θ,2из которой следует, что скорость движения оползняv(t) = Ṡ(t) = gt sin θнеограниченно растет со временем, что противоречит реальности, в которой рано или поздно оползень должен остановиться.Модель М2.
Учтем теперь присоединенную массу воды. Движущийся оползень вовлекает в движение некоторую часть прилегающейк нему воды, поэтому в уравнении (5) в качестве величины m будембрать суммарную массу оползня и присоединенную массу воды Cw ρw V ,т. е.m = M + Cw ρw V = (ρsl + Cw ρw ) V,где ρw — плотность воды, Cw — коэффициент присоединенной массы.Величина этого коэффициента зависит от формы движущегося в жидкости тела [16, 26]. В частности, если в жидкости движется шар, тоCw = 0, 5, для цилиндра — Cw = 1.С учетом сделанных предположений, задача (5), (6) примет вид(ρsl + Cw ρw ) V S̈(t) = ρsl V g sin θ,S(0) = S0 ,Ṡ(0) = 0.(8)Решение этой задачи задается формулойS(t) = S0 +γgt2·sin θ,γ + Cw 2где через γ = ρsl /ρw обозначено отношение плотности материала оползня к плотности воды, γ > 1. Поскольку γ/(γ + Cw ) < 1, то скоростьдвижения оползняγv(t) =gt sin θγ + Cw119в модели M2 стала меньше, чем в модели M1, однако и она не соответствует действительности из-за неограниченного роста при t → ∞.Таким образом, упрощающие предположения, положенные в основу модели M2, оказались недостаточными и необходимо учесть какие-то дополнительные факторы, влияющие на движение оползня.Модель М3.
Дополнительно учтем силу плавучести (силу Архимеда, равную весу вытесненной телом жидкости). Эта сила, как и силатяжести, действует в вертикальном, но противоположном направлении,а ее составляющая, касательная к плоскому откосу, равна −ρw V g sin θ.Поэтому уравнение движения (5) запишется как(ρsl + Cw ρw ) V S̈ = (ρsl − ρw ) V g sin θ.(9)Решение задачи (9), (6) дается теперь формулойS(t) = S0 +γ − 1 gt2·sin θ,γ + Cw 2а для скорости получаем выражениеv(t) =γ−1gt sin θ.γ + CwВидим, что учет силы Архимеда опять приводит к уменьшению значений скорости (по сравнению с моделью М2), однако и в этой модели скорость оползня неограниченно растет с ростом времени. Следовательнои эта модель не является приемлемой и требует дальнейшей модификации.Модель М4.
Примем теперь во внимание свойство жидких и газообразных сред оказывать сопротивление движущимся в них телам. Сила сопротивления является пассивной, т. е. она проявляется только придвижении тела: при отсутствии движения эта сила равна нулю, а длядвижущегося тела с ростом его скорости возрастает и сопротивлениесреды. Сила сопротивления направлена против направления движенияи при малых ускорениях она пропорциональна скорости движения тела, т. е. равна −µṠ, при этом коэффициент µ зависит от размеров тела,плотности среды (воды в данном случае), ее вязкости и т. д.Итак, при учете силы сопротивления уравнение движения будет отличаться от уравнения (9) наличием дополнительного члена, отвечающего за эту силу:(ρsl + Cw ρw ) V S̈ = (ρsl − ρw ) V g sin θ − µṠ.120(10)Из вида этого уравнения следует, что движение оползня не является равноускоренным (S̈ 6= const), как было в рассмотренных ранеемоделях.
Считая, что при t = 0 уравнение (10) выполняется, и учитывая начальное условие Ṡ(0) = 0, получаем следующее выражение дляначального ускоренияa0 = S̈(0) =γ−1g sin θ > 0,γ + Cw(11)т. е. ускорение при t = 0 такое же, как в модели М3. Но если в модели М3 ускорение остается равным a0 при всех t > 0, то в модели М4оно с ростом времени убывает.Продолжая анализ уравнения (10), можно сделать следующее утверждение. Если в некоторый момент времени ускорение станет равнымнулю, то скорость в этот момент примет значениеv∞ =ρw(γ − 1)V g sin θ > 0.µ(12)Пусть τ — время, за которое достигалась бы скорость v∞ , если бы оползень двигался из состояния покоя равноускоренно с постоянным ускорением a0 , т.
е.v∞ρwτ==V (γ + Cw ) > 0.(13)a0µИспользуя введенные обозначения, перепишем уравнение (10) в более компактной формеṠS̈ = a0 −(14)τи будем искать решение этого линейного уравнения в виде суммы общего решения S1 (t) = α + βe−t/τ однородного уравнения и частногорешения S2 (t) = v∞ t неоднородного, т. е.S(t) = α + βe−t/τ + v∞ t.С учетом начальных условий (6) получаем, что³´S(t) = S0 + v∞ t − τ v∞ 1 − e−t/τи³´v(t) = Ṡ(t) = v∞ 1 − e−t/τ .121(15)(16)Итак, в предыдущих моделях движение оползня было равноускоренным, из-за чего скорость неограниченно росла при t → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
