Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 1 (973557), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Теперь жедвижение является ускоренным, но с монотонно убывающим при t → ∞ускорением(17)S̈(t) = a0 e−t/τ → 0,вследствие чего величина скорости (16), приближаясь к значению v∞ ,остается ограниченной при t → ∞.Модель М5. Еще одной силой, тормозящей движение оползня, является сила трения о дноFтр = −kтр (ρsl − ρw ) V g cos θ,которая направлена вдоль откоса в сторону, обратную направлениюдвижения оползня. Здесь kтр — коэффициент трения. Как и сила сопротивления, сила трения является пассивной, поскольку ее влияние наположение оползня будет проявляться только при его движении (приṠ 6= 0).Итак, в модели М5 уравнение движения будет иметь следующий вид:(ρsl + Cw ρw ) V S̈ = (ρsl − ρw ) V g (sin θ − kтр cos θ) − µṠ.(18)Аналогами величин (11)—(13) будут теперь начальное ускорение a0 ,предельная скорость v∞ и характерное время τ , определяемые соответственно выражениямиa0 =γ−1g (sin θ − kтр cos θ) ,γ + Cw(19)ρw(γ − 1)V g (sin θ − kтр cos θ) ,(20)µρwv∞=V (γ + Cw ).(21)τ=a0µНеравенство a0 > 0 является условием начала движения первоначально покоящегося оползня, условием его сдвига из начального положения.

В предыдущих моделях это условие выполнялось всегда и оползень начинал движение при любом угле наклона подводного откоса,даже на очень пологом откосе, что не соответствует действительности.В этом смысле модель М5 более реалистическая, поскольку для нееоползень начинает движение только при выполнении условияv∞ =kтр < tg θ.122Если это условие выполнено, то оползень начнет движение с начальнымускорением a0 , ме́ньшим начального ускорения (11) модели М4.

Соответственно и предельная скорость v∞ в модели М5 получается ме́ньшей,чем в модели М4, в которой сила трения не учитывается. Характерноеже время τ в этих моделях одинаково. Одинаковыми являются и формулы для решения (15), скорости (16) и ускорения (17).Модели М6, М7, . . . . Принимая во внимание другие факторы,влияющие на движение оползня, можно продолжить иерархическуюцепочку, присоединяя к ней все более полные математические модели.Например, использованная нами формула Стокса F = −µṠ для вычисления силы сопротивления справедлива только для движений с постоянной скоростью или движений с небольшими ускорениями.

В общемслучае для вычисления силы сопротивления следует пользоваться уточненной формулой Стокса F = −µṠ α , где α — положительная постоянная, зависящая от свойств среды. Заметим, что при α 6= 1 уравнениедвижения становится нелинейным, что значительно осложняет поискего решения.В реальной ситуации склон, по которому движется оползень, не бывает плоским, поэтому необходимо учесть неровность дна, а также пространственный характер изменения его формы, т.

е. изменчивость днане только в плоскости Oxy (см. рис. 3), но и в направлении, перпендикулярном этой плоскости.Мы рассмотрели модели, в которых оползень представлялся в видематериальной точки и использовалась единственная его геометрическаяхарактеристика — объем. Следующий шаг к получению более точныхрезультатов моделирования состоит в учете пространственной формыоползня, а также в отказе от представления оползня в виде твердого тела, т.

е. в учете свойства деформируемости оползня. Например,можно моделировать движение оползневой массы течением жидкости,отличающейся от воды по плотности, вязкости и т. п., либо движением некоторой упругопластической среды [12, 13, 19]. Наиболее сложныемодели получаются при решении «связанных» задач, в которых учитывается как влияние движения оползня на течение воды с образованиемповерхностных волн, так и обратное влияние.2.1.

Р е ш е н и е. Подставив выражение (2.3) в начальные условия (2.2), найдем постоянные α и β:α=aτωp;21 − τ 2 ω 2 /4123β = a.Следовательно, для разности между приближенным (2.3) и точным (1.11)решениями имеем равенство³´τωasj − s(tj ) = psin jϕ + a cos jϕ − cos ωtj .(22)21 − τ 2 ω 2 /4Выберем шаг τ настолько малым, чтобы выполнялось неравенствоr1τ 2 ω21−> .42Тогда будет верна оценка|sj − s(tj )| ≤ aω · τ + a |cos jϕ − cos jωτ | .(23)Применяя теорему о среднем, получаем, что£¤cos jϕ − cos jωτ = − sin(θ) j(ϕ − ωτ ) ,где точка θ лежит на вещественной оси между точками jϕ и jωτ . Следовательно,|cos jϕ − cos jωτ | ≤ j |ϕ − ωτ | .(24)Используя известные из курса математического анализа неравенства0 < sin ϕ < ϕ < tg ϕ,(25)где ϕ ∈ (0, π/2), приходим к оценкеno|ϕ − ωτ | ≤ max |sin ϕ − ωτ | ; |tg ϕ − ωτ | .(26)С учетом равенствrτ 2 ω2cos ϕ = 1 −;2rsin ϕ = τ ωτ 2 ω21−;4τ 2 ω24τ 2 ω21−2τωtg ϕ =1−оценку (26) можно переписать следующим образом:rτ 2 ω2r1−τ 2 ω24|ϕ − ωτ | ≤ τ ω · max 1 − 1 −;−1=224τ ω1−2124rτ 2 ω24= τω · 2 2 − 1 .τ ω1−2Последнее равенство выполняется при малых значениях шага τ .

Крометого, при малых значениях τ верна оценкаrτ 2 ω21−2 24 −1< τ ω .2τ 2 ω21−21−Подставляя полученные оценки в неравенство (24), получаем, что|cos jϕ − cos jωτ | ≤ jT ω3 2τ 3 ω3≤τ ,22(27)где T — конечный момент времени (T = N τ ). Следовательно, оценка (23) может быть записана в следующем виде:|sj − s(tj )| ≤ aω · τ +aT ω 3 2τ .2Учитывая, что τ 2 ¿ τ , отсюда сразу получаем требуемое неравенство (2.4), которое означает сходимость приближенного решения к точному при N → ∞ (τ → 0), причем сходимость с первым порядком по τ .В курсе «Методы вычислений» будут рассмотрены иные приемы исследования сходимости приближенного решения к точному, позволяющие выполнить такое исследование гораздо проще приведенного вышедоказательства.2.2.

У к а з а н и е. Используя общее решение (2.3) уравнения (2.1),покажите, что решением дискретной задачи (2.1), (2.5) является сеточная функцияsj = a cos jϕ.Следовательно,³´sj − s(tj ) = a cos jϕ − cos ωtj .Далее воспользуйтесь доказанной оценкой (27).125.

Характеристики

Список файлов лекций