Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 1 (973557), страница 3
Текст из файла (страница 3)
п.), xi (i = 1, . . . , n) — заданные признакииндивидуальности элемента системы (например, его координаты). Причина изменения F называется воздействием.Если число элементов системы настолько велико, что признаки индивидуальности, свойства элементов системы, воздействия принимаютвсе значения из допустимых интервалов, а все искомые функции являются непрерывными, то искомая характеристика системы представляется в видеZΦ = ϕdω,(1.3)ωгде ω — произвольный выделенный объем пространства переменных xi ,(состоящий при всех t из одних и тех же признаков xi ), ϕ — плотностьраспределения величины Φ.
Воздействие F складывается из объемноговоздействияZG = g dωωна каждый элемент системы и поверхностного воздействияZΣ = σn dS,Sкоторое передается всей системе через границу S объема ω. Здесьg — плотность объемного воздействия, σn — плотность распределенияповерхностного воздействия.Следовательно, для непрерывных систем закон сохранения (1.2) запишется в видеZZZdϕdω = g dω + σn dS,(1.4)dtωωS11при этом конкретный вид законов сохранения получается после определения величин ϕ, σn и g для конкретной исследуемой проблемы.В приложениях возникает необходимость изучения классов движений, более широких по сравнению с классом непрерывных движений.Если в области определения движения существует некоторая гиперповерхность, на которой допускается скачкообразное изменение решенияи вне которой решение непрерывно, то соответствующее движение называется движением с сильным разрывом.
Величины разрывов не могутбыть произвольными, они удовлетворяют некоторым соотношениям, которые называются уравнениями сильного разрыва. Эти соотношениявыводятся из законов сохранения.1.4. Вариационные принципы. Еще один метод построения математических моделей связан с вариационными принципами.
Вариационный принцип гласит, что из всех возможных движений изучаемогообъекта в действительности реализуется только то, на котором некоторая связанная с объектом величина достигает своего экстремальногозначения.Поясним вкратце суть вариационного принципа, рассмотрев движение некоторой механической системы. При использовании вариационного принципа движение описывается при помощи так называемогоконфигурационного пространства, построенного из обобщенных координат q, обобщенных скоростей q̇ и времени t. Основными понятиямиэтой теории, в которой движение во все моменты времени полностьюопределяется набором величин q(t) и q̇(t), являются понятия функцииЛагранжа L и действия по Гамильтону S.Функция Лагранжа L = L(q(t), q̇(t)) равна разности кинетическойи потенциальной энергий, действие S определяется как функционалZt2S(q) =L dt,t1который каждой функции q(t), определенной на отрезке [t1 , t2 ] ставитв соответствие некоторое действительное число.
Согласно принципу Гамильтона на реальном движении действие должно быть минимально(вообще — экстремально), что выражается равенствомδS = 0.12(1.5)Здесь символом δ обозначена математическая операция варьирования.Более подробно равенство (1.5) может быть записано следующим образом:¯¶ ¯Zt2 µ¯dd(q + εϕ)L q + εϕ,dt¯¯= 0,(1.6)dεdt¯t1ε=0где ϕ(t) — произвольная функция, обращающаяся в нуль при t = t1и t = t2 , εϕ(t) — вариация величины q(t). Уравнение (1.6) и дает искомую модель.Приведем пример получения простейшей математической моделис помощью вариационного принципа.
В настоящее время одним изперспективных направлений развития энергетики является созданиеволновых энергетических станций, использующих механическую энергию поверхностных волн. В этом направлении ведутся интенсивныелабораторные исследования и предлагаются разнообразные аналитические методы расчета отдельных элементов станций [27]. Считаетсянесомненным, что вычислительный эксперимент на основе адекватныхматематических моделей позволит детально воспроизвести картину воздействия волн на рабочие элементы станций.Здесь мы рассмотрим простейшую модельную установку, в которойнабегающие волны воздействуют на подвижную стенку, при перемещении которой энергия волн преобразуется в механическую энергиюустройства, вырабатывающего электроэнергию. Для описания взаимодействия волн со стенкой можно перейти к задаче о волновом движениижидкости в области с подвижной вертикальной стенкой, которая прикреплена пружинами к неподвижному блоку (см.
рис. 2) и перемещениекоторой определяется волновыми нагрузками, восстанавливающей силой пружин, силами трения, сопротивления воды и другими силами.Отметим, что аналогичная модельная задача возникает при изучении поведения упругих стенок больших конструкций, подверженныхвоздействию поверхностных волн. Здесь также необходимо решать связанную задачу гидроупругости, поскольку деформации стенок зависятот волнового давления, которое, в свою очередь, зависит от упругихсвойств стенок, при этом следует учитывать нестационарность и нелинейность происходящих процессов. Подобного рода задачи возникаюти при конструировании подвижных волнозащитных стенок для нефтедобывающих морских платформ и плавучих аэродромов.Пусть положение стенки определяется горизонтальной координатой s(t), при этом координата s = 0 соответствует положению стенки13ys(t)y=η(x,t)Oxh0Рис.
2. Схема взаимодействия поверхностных волн с упруго закрепленной вертикальной стенкойпри ненагруженном состоянии пружин (см. рис. 2). Согласно законуНьютона (1.1) уравнение горизонтального перемещения стенки имеетвидms̈ = −ks + F,(1.7)где m — масса стенки, k — коэффициент жесткости пружин, восстанавливающая сила пружин −ks выделена отдельно, а суммарное действиевсех остальных сил обозначено как F .При получении математической модели вариационным методом рассмотрим простейшую ситуацию, когда на стенку действует единственная сила — сила упругости пружин (F ≡ 0).
Тогда функция Лагранжа,равная разности кинетической и потенциальной энергий, примет видL=действие —m 2 k 2ṡ − s ,22Zt2 µS(s) =t1¶m 2 k 2ṡ − s dt,22а действие на вариациях εϕ(t) величины s(t) запишется какZt2 "S(s + εϕ) =t1m2µd(s + εϕ)dt14¶2#k2− (s + εϕ) dt.2Следовательно, в нашем примере уравнение (1.6) можно записать в таком виде¯dS(s + εϕ) ¯¯0==¯dεε=0# ¯¯µ ¶2 )Zt2 " (¯¡¢ds dϕdϕ=m+ε− k sϕ + εϕ2 dt¯¯=dt dtdt¯t1ε=0Zt2 ·=mt1¸ds dϕ− ksϕ dt.dt dtПоскольку пробная функция ϕ равна нулю в моменты t1 и t2 , тос учетом формулы интегрирования по частямZt2t1ds dϕdt = −dt dtZt2t1d2 sϕ dtdt2приходим к следующей окончательной форме уравнения (1.6) для рассматриваемого примера:¸Zt2 ·d2 sm 2 + ks ϕdt = 0.dtt1Вследствие произвольности функции ϕ получаем, что равенство нулю возможно только в том случае, когда выражение в квадратных скобках равно нулю во все моменты времени t ∈ (t1 , t2 ):ms̈ = −ks,(1.8)т.
е. когда движение стенки описывается уравнением, совпадающимс уравнением (1.7) (при F ≡ 0), полученным на основе закона Ньютона.Решение уравнения (1.8)s(t) = α sin ωt + β cos ωt(1.9)pописывает гармонические колебания стенки с частотой ω = k/m, приэтом значения множителей α и β определяются из начальных данных:положения s(0) стенки в начальный момент времени и ее скорости ṡ(0).15Ниже, в задаче 1.1 предлагается получить другие, более интересныечем (1.8), модели исследуемого объекта.Отметим, что сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строитьматематические модели не только механических, но и физических, химических, биологических и иных процессов.1.5.
Метод аналогий. Математическое моделирование — это наиболее универсальная, высшая форма метода моделирования, успешноприменяемого в науке. Физическое моделирование как средство познания явлений природы и как средство конструирования было известноуже давно. Самой простой формой физического моделирования можно считать механическое моделирование, когда изучение интересующего объекта заменяется изучением его модели ме́ньшего или бо́льшегомасштаба в лабораторных установках. Например, при соблюдении геометрических и динамических критериев подобия [26] обтекание уменьшенной модели самолета в аэродинамической трубе воспроизводитс достаточной точностью картину полета самолета в атмосфере. Более сложный вид физического моделирования — аналоговое моделирование, когда устанавливается аналогия между двумя различнымифизическими процессами (например, аналогия между процессами теплопроводности и электропроводности) и процессы одной природы моделируются процессами совершенно другой физической природы.Такая аналогия имеет место и при математическом моделировании,что выражается в том, что небольшое число сравнительно простых математических моделей дает ключ к пониманию и исследованию огромного количества различных явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
