Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 1 (973557), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Внутри параграфов для формул использована двухиндексная нумерация. Ссылки на формулы из других глав даются добавлением спереди к номеру формулы номера главы. Доказательство утверждений завершается значком « ».В заключение этого краткого введения хочется выразить сердечнуюблагодарность всем нашим коллегам, общение с которыми на семинарахакадемика Николая Николаевича Яненко в 60—80 годах ХХ века постепенно привело к выстраиванию методологии метода математическогомоделирования. Концепция математического моделирования получиладальнейшее развитие в научной школе академика Юрия Ивановича Шокина, которая включена в Президентскую программу поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-6068.2010.9)и оказала существенное влияние на подбор материала настоящего пособия.Особую признательность авторы выражают безвременно ушедшему из жизни Рустяму Рафаэловичу Ахмерову, блестяще читавшемукурс «Математическое моделирование» в 90-х годах прошлого века намеханико-математическом факультете НГУ.
Предложенный им стильизложения материала, связанного с построением моделей сплошной среды, использован нами в соответствующих главах настоящего пособия,изданного в рамках реализации Программы развития НГУ.7Глава 1ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ§ 1. Построение математической модели1.1. Качественное описание явления. Одно из оснований материалистического мировоззрения составляет тезис о неисчерпаемостимира и каждой его части [36], о том, что любое явление природы неисчерпаемо в своей сложности.
Это значит, что в одном конкретном исследовании учесть специфику всех сторон явления (объекта) невозможно,поэтому при построении математической модели следует вначале датькачественное описание явления, стремясь определить и выделить факторы, наиболее существенные с точки зрения поставленной исследовательской задачи, пренебрегая факторами второстепенными, т. е.
описание, фиксирующее одно и игнорирующее многое другое, описание,оставляющее от нашего «настоящего», слишком сложного и запутанного, совсем немногое.Такое разделение на главные и второстепенные факторы выполняется на основе имеющихся знаний о реальном явлении. Однако надо иметьв виду, что из-за неполноты этих знаний после проведения всей цепочки математического моделирования, возможно, потребуется пересмотрматематической модели, иногда даже кардинальный: может оказаться,что факторы процесса, считавшиеся второстепенными, на самом делеравнозначны главным, выявятся новые факторы, доминирующие лишьв ограниченном диапазоне определяющих параметров и т.
д.1.2. Математическая модель. Далее в соответствии с выбраннымкачественным описанием объекта формируется его математическая модель — задача, в которой в математической форме отражаются основные свойства объекта. На этом этапе моделирования качественное описание объекта переходит в количественное: выбираются переменные,описывающие движение, системы отсчета и единиц измерения, выписываются системы уравнений (алгебраических, дифференциальных илиинтегро-дифференциальных), устанавливающих связи между этими переменными.
Здесь термин «движение» употребляется в широком смысле — изменение вообще, а сами объекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению: физические, биологические8или социальные явления, технологические процессы, механизмы иликонструкции.Надо иметь в виду, что само явление не зависит от выбора системыотсчета, но его описание зависит от такого выбора. Например, в механике чаще всего используются инерциальные системы отсчета, в любойиз которых материальная точка, не испытывающая каких-либо внешних воздействий, движется равномерно и прямолинейно.
Однако приисследовании сложных явлений бывает удобнее описывать их в неинерциальных системах отсчета, например, в системе координат, жестко связанной с вращающимся телом.Системы единиц измерения можно выбирать по-разному, причемсвязи между величинами, характеризующими объект (получаемые иззаконов природы или иных соображений), не должны изменяться приизменении единиц измерения.
Например, второй закон НьютонаF = ma,(1.1)где F — сила, a — ускорение, m — масса, в системе СИ записываетсяточно так же, как и в системе СГС. Важным моментом на этом этапе является применение процедуры обезразмеривания (масштабирования) величин, переход от размерных к безразмерным величинам [26],поскольку в результате масштабирования может выясниться, что поведение объекта определяется ме́ньшим числом параметров, чем предполагалось при его качественном описании.На уровне неживой материи одними из главных методов получения уравнений модели являются методы, основанные на использованиизаконов сохранения или вариационных принципов [12, 16, 18, 19, 26].Эти законы и принципы не выделяют единственного движения, поэтому нужны дополнительные принципы отбора для выделения реальногодвижения из множества мысленно допустимых.
Например, необходимапостановка граничных условий, а для нестационарных задач — еще и начальных данных. Кроме того, в результате различного рода допущенийпри описании объекта уравнения модели могут содержать произвольные параметры или функции. Эти подлежащие определению функциивходят в так называемые замыкающие соотношения модели. Например,при получении моделей, описывающих течения газа, кроме законов сохранения вещества, импульса, момента импульса, энергии необходимыеще зависимости давления, коэффициентов вязкости и теплопроводности от плотности и температуры, а также другие замыкающие соотношения. Они фиксируются с большей или меньшей точностью с помощью9физических измерений.
В качестве примера можно привести уравнениеКлапейронаp = ρRT,которое используется в качестве замыкающего соотношения в моделиидеального газа. Здесь p — давление, ρ — плотность, T — температура,R — газовая постоянная, определяемая химическим составом газа.На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесьпроцесс моделирования начинается с записи законов сохранения иливариационных принципов. Однако почти все взаимодействия в живойматерии имеют особенность, которую называют «обратной связью»:некоторые эффекты процесса возвращаются к своему источнику илик предыдущей стадии, в результате чего усиливаются или ослабляются.
Поэтому при описании биологических систем следует основыватьсяна указанных принципах отбора и системе обратных связей [3, 22].На общественном уровне организации материи возникает совершенно новое явление — трудовая деятельность. Поэтому при получениимоделей в этой трудноформализуемой области сложнейших процессов,зависящих от сознательного вмешательства самих людей, следует пользоваться терминами трудовой деятельности, экономическими, финансовыми и другими принципами отбора реальных «движений» [8, 14, 29],методом аналогий [25].1.3. Законы сохранения.
Законы сохранения массы, импульса,энергии многократно подтверждены опытами, их обоснованность не вызывает сомнений, поэтому они используются в качестве основных принципов построения моделей механики твердых или деформируемых тел.Заметим, что смысл закона сохранения не сводится целиком к запретуна изменение массы, импульса, энергии и т. п., поскольку закон сохранения представляет собой некоторое утверждение, раскрывающее возможность вполне определенного изменения количественных характеристик исследуемых свойств. Так например, для изолированной системыматериальных точек закон сохранения импульса гласит, что импульстакой системы не изменяется со временем, а для неизолированной (приналичии внешних сил, воздействий) — скорость изменения импульсаравна сумме всех действующих на систему внешних сил [4], т. е.
импульс может меняться со временем.Законы сохранения нашли применение при выводе математическихмоделей не только в механике, но и во многих других предметных обла10стях. Общая математическая формулировка закона сохранения выглядит следующим образом [3]:dΦ= F.dtЗдесь t — время,Φ=Xϕk ,(1.2)ϕk = ϕk (ϕk1 , . . . , ϕks ),kϕksϕks (t, x1 , . . . , xn )=— количественная характеристика некоторогосвойства k-го элемента системы (например, масса, кинетическая энергия, внутренняя энергия и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
