Полак__Применение_вычислительной_математики_в_химической_и_физической_кинетике (972294), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. зададим начальное условие (16а) Оператор У определен на функциях, достаточно быстро убываю- щих при [н[-+. оо. Поэтому пусть 1 (1, ', и) =— гр (тг) Р (1, г, ), 7е (т' Ф) : =гР (тт) г о (т' '") (17) причем ~р (и) ) 0 — некоторая функция, стремящаяся к нулю при [тт[ -~ сю . Для новой неизвестной г'(1, г, тт) получаем урав- нение гтр %' йР = ~ [т —" г" г" — гррр) йюг[ тт Ф (18) * Его толщина одного порядка с длиной свободного пробега частиц, почему использование методов гидродинамики, вообще говоря, некорректно.
"е Идея и реализация приводимых ниже доказательств принадлежит А. Н. Темчину. За полезное обсуждение возникавших при атом вопросов приносим глубокую благодарность Л. Р. Волевичу, А. Л. Крылову и А. Я. Темкину. 269 Уравнение Больцмана позволяет получить множество сведений (например, значения ряда кинетических коэффициентов), несмотря на то что его решение почти всегда остается неизвестным. Чрезвычайно важна возможность вывода с его помощью уравнений гидродинамики ([15, 37,38[).
При этом автоматически учитываются все процессы, играющие существенную роль в данном круге явлений, а феноменологические константы связываются с микроскопическими характеристиками. Но уравнение (2) позволяетрешать, хотя бы приближенно, и такие задачи, к которым другие известные методы просто неприменимы.
Скажем, серьезный прогресс в понимании структуры фронта ударной волны * был достигнут после того, как к атой проблеме оказалось возможным применить аппарат кинетической теории [39). Не менее значительную роль уравнение Больцмана (линеаризованное) сыграло в исследованиях распространения электромагнитных волн [40), обтекания тел сильно разреженным газом, ультразвуковых колебаний [41, 421 и т. д. с начальным условием (18а) Р (О, г, и) =. Р,(м, и). Выберем Ф (е) так, что (19) ФФ =ФФ Тогда УР = ~Я(Р'Р' — РР)йоде, (20) где Й = К Ф, причем для всех сколько-нибудь реальных молекулярных полей ядро й ивтегрируемо. Допустим сначала, что сила поля Х кг", з< 5, Х' = 0 при г ) гю Отсюда следует ~ йс[ек[п~()с = сопзь( (21) Уравнение (18) с условием (18а) можно свести к интегральному Р = ~ ~~ й(Р'Р' — РР) й0«п1,, «з+ [Ра)~ (22) Оператор [ ), в данном случае таков, что для любой функции д(1, г, и) [д (ц и, в)), = д (1 — т, т — ет, е).
Следующие свойства [ [, легко выводятся из его определения. 1. Оператор [ ), линеен. 2. Из непрерывности д (1, г, в) следует непрерывность [а(т,г, и)) . 3. Если й(1, г, и)) Ь (~, г, е), то и [д), ~ [й).. 4 ![8).! = [[а[)' Пусть С есть пространство ограниченных непрерывных функций переменных 1, г и и, изменяющихся в пределах 0 ~(1 ~~ Т, ( м, [ г [ ~( м, [ и [ ~( а метрика в нем задана обычным соотношением р (х, у) =- шах [х — у [, х, ус= С. Оператор А, вводимый как Аз = ~[)М(хх' — хх)Иоде~~, На+ 6 = Адт+ С, о Ю где 6 = [Р,)ь х Е С, действует в пространстве С, если 6 ~= С, а Й ограничено и подчинено условию (21). Действительно, для любого х ~ С функция Ж (х'х' — хх) ограничена; в соответствии ато со свойствами операторов [ )~ и интегрирования функция также ограничена и непрерывна.
Поэтому А,С с: С и, следовательно, АС с: С. Выясним, при каких ограничениях А есть оператор сжатия, для чего в качестве области определения его возьмем замкнутый шар Я (д, В) с: С и оценим величину р(Ах, Ау) = р (Азх, А,у) = = шах ~ ~ [~ М (х'х' — хх) Йоа'и] ~Ь— о ыз с — ~ [') й (у'у' — уу) йоЫи] аз ], где х, у Е= Я (д, В). Имея в виду свойстваоператоров интегрированняи [ [„получим р(Ах, Ау) (шах ~[)М([хх' — у у'[+ [хх — уу[)ИекЪ] Нз~( ~( шах ([хх' — уу' [ + [хх — уу [) шах ~ ц исаи] сЬ = Ь,в * й ~ Фз ° ы = Т,йшах([х'х' — у'у'[+ [хх — уу [). (23) Произведем преобразование ~х'у'~ (ху~ [х'х' — у'у' [+ [хх — уу[ == ПеЗ * + Эеь ([х' — у'[[х'[+ [х' — у'[ [у'[+ [х — у [[х[-[-[х — у[[у[.
(24) Следовательно, р(Ах, Ау) ~(Тр (х, у), (25) где Т = 4 Т,йВ. При любом Видостаточно малом Т,((4йВ) 'константа Липшица Е (1 и А — оператор сжатия. Он преобразует шар Я (6, В) в себя, если [[,1,,~[-- [[А,л+а[[С~[А, [, [. ~[а~[СЛТ,+-[а~[(Л, что дает условие которой мы заменим уравнения Больцмана М =— ( —,+~ — „[/е= Х~уб У;1~ — !Яг[~й~.
д, дб ~=1 (( = 1,..., п) (28) с начальными условиями Л(О, ...,) =~о,(',.е). (28а) Решение уравнения(22), дифференцируемое по 1, т и тг, представляет собой классическое, а недифференцируемое — обобщенное решение уравнения (18) с условием (18а). Совершенно аналогичная теорема может быть доказана для интегрального уравнения в форме (12) с положительным оператором; получаемое решение тогда неотрицательно. Поскольку неравенство Ь (1 может выполняться при любом Л, значение функции 7'(Т„т, тг) в момент Т, можно рассматривать как новое начальное условие и построить решение на интервале (Т„ Т,), затем (Т„ Т,) и т. д., если быть уверенным, что ни при каком г решениене растет неограниченно. Последнее пред- * Необходимость теорем такого рода',стала вполне очевидной после того, как Леви [43[ построил уравнение, не ике:ощее решений даже в пространстве обобщенных функций.
272 1а~!~<(1 — Ь) В. (26) Поскольку В произвольно, тем самым доказана следующая теорема: уравнение (22) с непрерывным ограниченным ядром М, для которого выполнено условие (21), на интервале времени (О, Т,) при любой Ре ~ С имеет решение, единственное в шаре Я(6, В) ~С. О поможет быть получено как предел последовательности (х„= Ах„,) от любого лс Е— : Я (д, гт)е. Действительно, в Условиях теоремы замкнутое подмножество банахова пространства С преобразуется в себя оператором А, являющимся на нем оператором сжатия.
Существование и единственность решения следуют тогда из принципа сжатых отображений. Утверждения зти могут быть с некоторыми изменениями распространены на систему п уг=- Х ~[)йн У;1; — Л6) ' Ь;)',[в+6;, [=г о (г' = 1...,п) К=с)ю — и). Если пренебречь рассеянием на малые углы, то а < со. Введем три числовых параметра а, у, т, ) О, где )( ) у„причем размерность т, уд пусть будет (г!, а ]а] = ]ю] з (с! '. Для времен т Е= (О, т,) решение задачи (16 — $6а) целесообразно искать в виде /(Р, г, и) = Р(С, э, ю) ехр( — ю(х — й) ~ю)'), ~,(э, и) = — Р,(т, в) ехр( — ох ~в!').
Тогда для функции Р получим уравнение ~ш+ д + ~ ~) =~К ехр( — сс(х — с) /ю Я(Р'Г' — РР) Майю и начальное условие Р (0~ т и) Рс (т~ ~) (29) (30) (30а) Такой задаче соответствует интегральное уравнение Р = ~ ехр ( — л ] и ]' (Š— т)) ~~ К ехр ( — и (х — С) / ю /з) х о к(Р'Р— РР) овИю1 Ыт+ (Р,], ехр( — а / ю/Ч). (31) Оказывается, что входящий в него оператор действует в пространстве С, а будучи определен на замкнутом шаре Я (д, Л,) радиуса $ ~с (4]ь(~)] (32) где Ь(х) = ~ехр( — и!и!з(С вЂ” т)) ДКехр( — и(х — Е) /ю /')фЫв1,,дт о ставляется правдоподобным в тех случаях, когда начальное состояние выбрано не слишком специальным образом. В самом деле, уравнение Больцмана описывает процессы, в которых знтропня системы возрастает.
Неограниченный же рост ) (~, и, и) означал бы своего рода фокусировку частиц, что в отсутствие границ и внешних полей кажется весьма мало вероятным. Отметим, наконец, что распространение изложенных результатов на случай К-+- оо при ~ю — и~ — ~ оо не встречает особых затруднений, хотя и связано с несколько более громоздкими выкладками.
Представим ядро К оператора столкновений как представляет собой оператор сжатия. Он преобразует шар Я (д, )7,) в Я (д, Л,), если (33) !!Р,1!~<(1 — Л)Л, и Л = 4Л,~~Ь(Х) ~~. Для функции Е (у) получена оценка (34) В последнем выражении У, и У, — определенные константы, зависящие от параметров а, т и т,. Допустим, что нам необходимо знать решение х с точностью, ха- рактеризуемой положительным числом Р р(х, х„) (Р.
Потребуем, чтобы выполнялось неравенство ~ Р(хо Ахо) ~(Р. Ь (36) Оно означает, что при данных Р и Ь число итераций и тем менее, чем меньше величина р (х„Ах,). Зададим функционал р на некотором (например, т-параметрическом) семействе функций М ~ ~ Я(д, В ). Наилучшее в М нулевое приближение определится иа вариационной задачи (37) р (хо, Ахо) = ш~п хо Е= М. Но с практической точки зрения проще подобрать разумное зна- чение константы (, от величины которой также зависит число итераций, необходимых для достиэкения данной точности. ж.О возможности расчета решения с по- мощьюЭВМ Доказанные теоремы поаволяют, по крайней мере принципиально,вычислить приближенное решение уравнения (16) при посредстве удобной циклической программы. Быстрота сходимости итераций при этом существенно определяется выбором нулевого приближения, о чем можно скааать следующее. Как известно, если (х ) есть последовательность вида (х„, = Ахэ), сходящаяся к точному решению х уравнения х = Ах, а Ь вЂ” константа Липшица оператора А, то р(х хз) ~(~ Ь Р(хо х1).
(33) (требующую разумной затраты машинного времени) численного решения релаксационных задач при помощи ЭВМ. Нами рассмотрена задача максвеллизации аргона. Принято, что половина частиц газа имеет в начальный момент температуру Тг = 300' К, а другая — Тз = 1200' К; и» = и« = 40»з сл«'з. Для ускорения счета потенциал молекулярного поля был выбран пропорциональным г «. Такое ограничение не является существенным; вообще говоря, могут быть использованы и другие модельные потенциалы. При расчете рассеяние на углы, меньшие 1', не принималось во внимание. Интегралы, входящие в уравнение (22), рассчитывались методом Монте-Карло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
