Полак__Применение_вычислительной_математики_в_химической_и_физической_кинетике (972294), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для нее очевидно следующее условие нормировки: * Переход от переменной р к и обусловлен исключительно соображениями несколько большей наглядности. 262 Свойства уравнения, которому удовлетворяет / (~, г, и), существенным образом зависят от характера взаимодействия частиц, а также от других факторов. Здесь Х вЂ” внешнее поле, а У/ — так называемый интеграл (соот- ветственно ) — оператор) столкновений 3~ = ~ К Ц'~' — Я с)ватт. (2а) Согласно принятым обозначениям, йо = э)п ттсЮйр; тт — полярный, а у — азимутальный углы рассеяния; / = ~(~, т', тт), ~ = =) (1, г, и) — функции распределения частиц до соударения; ) =1 (~, т', и'),)'= — ~(~, т, и') — функции распределения после него, причем скорости тт, тт и тт', тт' связаны соотношениями тт' =- то, (тт, тт, б, ~р), тт' = тоа(и, тт, й, <р).
Ядро К имеет вид К =- К (и, и, (), ~р) =- ) тт — тт ) э > О. Форму У~ можно выяснить следующим образом. Допустим, что в момент времени 1некоторая молекула находится внутри элемента объема сгтч(тт одночастичного фазового пространства вблизи его точки (г, тт). На эту молекулу падает поток частиц, имеющих ч Она состоит к том, что скорости и координаты частиц считаются некоррелироэанными /тР, т'ь гь иь ес) =) (т гт и1) ) (т гь ое).
в. Уравнение Больцмана Предположим, что силы взаимодействия между молекулами быстро спадают с расстоянием, так что имеет смысл понятие столкновения. Пусть, кроме того, среда сильно разрежена и большую часть времени частицы движутся, почти не влияя друг на друга, т. е. длительность процесса взаимодействия много меньше времени между последовательными соударениями. Будем учитывать влияние на функцию~ (~, г, тт) взаимодействия не более чем двух частиц одновременно (бинарных столкновений).
Если пренебречь влиянием внешнего поля на величину дифференциального сечения рассеяния а и принять гипотезу «молекулярного хаосаэ*, то, следуя Больцману [2), мы получим уравнение относительно у (~, т', тт) (д~+ " + д )~(' (2) произвольныс скорости и; его плотность Р равна Р = [и — и [/(г, т', и) Ни.
Число столкновений, которое за время й испытывают частицы, до встречи имеющие скорости и, и, а после нее — и", е' и находящиеся в элементе объема с[г конфигурационного пространства, равно Рсз[аЫдйэй = [и — и [/(1, т, и) сзгнбг[бйцйпЫ. Быстрота уменьшения Л числа частиц, имеющих скорости близкие к и, в данном элементе объема равна произведению количества их (/ (~, г, и)) на общее число столкновений таких молекул с любыми другими: Л = — /(г, г,и) ) [и — и[с/(с, г,и) з[пдгЮЙ[к[и.
(З) Подобным же образом определим быстроту увеличения функции / (г, т, и), происходящего под влиянием соударений молекул, обладавших до встречи скоростями и',и", а после нее э, и (и фиксирована) Л+ = )[и — и[с/(~, т, и)/(Г, и, и)з[пдд()рытье. (4) При выводе последнего равенства использованы соотношения, выполняющиеся только в случае упругих столкновений: с(э, и, д, ф) =с(п', и', д, ф), [и — и [ = [е' — и'[, Ытх[Ф = яи Ию . Поэтому ,// = Л' — Л = ~[и — и[сяпд(/ (с, т, и)/(ц ти)— + — /(~, т, и)/(г, т', и)) йййэг[и. (5) Ввиду особой важности проблемы получения кинетических уравнений разработано множество способов вывода их из уравнения Лиувилля (например, [31), или еще более общего [41, или же из так называемого М-уравнения [5]. Построен специальный диаграммный метод, позволяющий установить их вид для широкого класса частиц и условий движения [61.
Как иавестно, уравнение Больцмана справедливо, если оправдывается гипотеза «молекулярного хаоса>. В работе [71было показано, что при переходе к Х/1'-пределу, т. е. для асимптотически большой системы, у которой Х -э оо, У-~- со, Х/Г = сонат, равенство /.,(Ц э „ гз, и„ пз) == 7'(~, г,,п,) /(й, т „ ю,) выполняется в любые моменты времени 1) О, если оно выполнялось при 1 = О. В конечной системе молекулярнь1й хаос может иметь место в одни моменты времени и отсутствовать в другие, так что уравнение (2) справедливо статистически [6).
Имеет смысл напомнить, что возможность перехода к Х/Г-пределу совсем не очевидна, поскольку не известно еще, хорошо ли свойства конечной системы аппроксимируются свойствами бесконечной [9). До сих пор рассмотрению подвергался газ яз бесструктурных частиц, не обменивающийся с внешней средой ни энергией, ни массой. Между тем, с помощью системы уравнений вида д д Х; д з ~А(дз+т$д+д1Х1К(!ЛЛ)Ыт(6) г.
Общий анализ больцмановского урав- нения Конкретный вид ядра К оператора столкновений зависит от предположений о характере сил молекулярного взаимодействия. Для частиц, аппроксимированных упругими невращающимися шарами диаметра У~ — — ~[УсГ [((~ — Яйаг)т, (7) где Г = и — и, гс — орт, направленный вдоль линии центров частиц в момент удара. Столкновения молекул, между которыми действуют силы отталкивания, убывающие с расстоянием г как нг-', описываются 265 можно описать поведение смеси различных газов [10), в том числе таких, молекулы которых обладают внутренними степенями свободы, и, следовательно, построить теорию многоатомных газов [11).
Добавление к правым частям уравнения (6) членов, задающих изменение функций 7; (1, г, и;) под влиянием внешних возмущений, позволяет включить в данную схему открытые системы. Известен вид У7' и в тех случаях, когда необходимо учитывать не только двойные, но и тройные столкновения (например, при высоких плотностях [12, 13)). Наконец, существует релятивистское и квантовое обобщения уравнений Больцм ана [14).
Уравнения, подобные системе (6), применяются при рассмотрении газовых смесей, в которых происходят химические реакции [15). интегралом (8) Здесь величина р — специальным образом определенное нормиРованное прицельное расстояние. Очевидно, для а = 5 («максвелловы молекулы») интеграл (8) сильно упрощается. Теоретически наиболее полно исследовано уравнение для «псевдомаксвелловских Молекул», когда, по определению, уравнение Больцмана имеет вид (9) причем А = 4 ~ — ) * ~ РЫрс[тр = сонэ», 1т) т. е.
интегрирование по р распространяется на конечный интервал (О, ра1ах). Следует иметь ввиду, что сила отталкиванияХ г ' довольно плохо описывает реальное взаимодействие молекул, а вааимодействие «псевдомаксвелловских частиц» вообще нельая описать никаким потенциалом. Если же г ) 5, то при ~ «т — тз [ -«- оо ядро тт неограниченно растет, поэтому в ]у/[т-пределе уравнение (2) — сингулярное. Кроме того, оно всегда нелинейно, поскольку в у~ входят проиаведения неизвестных функций. В настоящее время нет никаких методов строгого решения УРавнений такой сложной природы. Неудивительно поэтому, что известно лишь одно точное решение больцмановского уравнения— Функция Максвелла. Тем не менее в ряде случаев мы внаем, что его Решение существует.
Карлеман [16] показал, что уравнение ',—,' = — ', ~~Ы [(П вЂ” ]]) [ [и (10) имеет при ~ ) 0 единственное непрерывное неотрицательное решение, обращающееся при « = 0 в заданную функцию, подчиненную определенным ограничениям. Подобные теоремы относительно уравнения для газа псевдомаксвелловских частиц доказаны в работах Уайлда [17] и Моргенштерна [18], [19]. НеодноРодный газ псевдомаксвелловских молекул изучен Грэдом [20]; он получил единственность решения «в малом»е задачи Коши. Единственность решения такой задачи показал Повзнер [21[, ~сследовавший систему нелокально взаимодействующих частиц, н Филиппов и Ильинская, рассмотревшие уравнение обтекания абазом выпуклого тела прн довольно общих граничных условиях [22]. для моментов времени достаточно близких к начальному.
что и было предпринято в работах [17 — 221. При отсутствии внеш- него поля уравнению может быть придан следующий вид: 7(о, т, и)= = ~ [оо т — н (о — 1о), и] ехр ~ — ~т[а,т — п(о — а), п]с[а~+ ь о + ~ ехр ~ — ~ т [з, т — и (1 — г), и] Иг~ Ж! т, о — и (1 — т), и] о[т, (12) причем ° ==-~КИ [т, М=='ЬКПа 7.. В работе [30] уравнение такого типа получено независимо от больцмановского. Когда по тем или иным соображениям известно, что функция распределения в любой момент времени мало отличаетсяотмаксвелловской 7оо, полагают (см., например, [24]) у [оо(1+о) где й — новая неизвестная функция. Пренебрегая квадратичным членом, для й получаем из (2) уравнение ~щ ~ аоот. (ь (13) Линейность уравнения (13) существенно облегчает поиски его решения.
Например, его можно разложить в ряд по собственным функциям линеаризованного оператора столкновений, который относится к фредгольмовскому типу. Существуют и другие способы линеариаации ([31 — ЗЗ]); исследование таких уравнений содержится в работах [34, 35!. Бхатнагар, Гросс и Крук [36] предложили модель уравнения (2), получившую название релаксационной И = (Р— 1), (14) где 1о — локальная максвелловская функция, а т — частота соударений молекул.
Решение уравнения (14) обладает многими свойствами решения (2). Вероятно, наименьшее число препятствий возникает при анализе кинетического уравнения для газа Кнудсена (Кп -~ оо), когда столкновениями можно просто пренебречь (15) Теория уравнений такого рода разработана сравнительно полно. е. О б одном методе решения уравнений Б о л ь ц м а н а *е Исследуем более подробно асимптотически большую замкнутую систему одинаковых частиц массы яз, не подверженную действию внешнего поля. Уравнение Больцмана для нее имеет вид Й/ = ~ —, + и — ) / = ~КД'/' — 77)с[юг[и (16) Будем решать задачу Коши, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
