Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Линия тока в стационарном потоке совпадает с траекторией частиц. В нестационарном потоке линии тока в разные моменты времени проходят через разные частицы жидкости и не совпадают с их траекториями. В самом деле, в момент г частица в точке А потока (рис, 160) имеет скороеть о, и отрезок линии тока, ей соответствующий, 1, а частица, которая сменит первую в точке А, приобретает в ней иную скорость и, и отрезок линии тока 2, ей соответствующий,не совпадет с отрезком 1. Следовательно, если первая частица покинет точку А в направлении 1, то вторая покинет ее в направлении 2, т. е.
по другой линии тока и т. д. На рисунке 161 изображены линии тока и траектории нескольких частиц воздуха, построенные по данным метеорологических наблюдений в зоне Ла-Манша. Как видно из рисунка 26! Рис. !62. Прибор для демонстрации линий тока в стационарном потоке жидкости. б Рис. )64, Стационарный поток жид кости, обтекающий тело (по фотографии).
262 траектории частиц и линии то- Рис. )6З. Линии ка в стациока, вследствие нестационарного карпом потоке жидкости характера поля скоростей раз- (но фотографии). личаются весьма сильно. Линии тока в стационарном потоке можно сделать видимыми, Для этого в плоском сосуде укрепляется колодочка с тонкимитрубочками (рнс. !62). В сосуде тонким слоем течет вода, в которую из трубочек медленно поступает краска (нигрозин). Струи краски, двигаясь вместе с жидкостью, очерчивают траектории частиц, которые в случае стационарного течения совпадают с линиями тока.
На рисунке 163 изображены линии тока для нескольких случаев стационарного течения. Линии тока как для стационарного, так и нестационарного течений можно получить, фотографируя окрашенные частицы в — = жидкости фотоаппаратом, дви— — жушимся вместе с жидкостью (рис. 164, а).
Если фотографирование производить неподвижным аппаратом, то на фотогра- „,,Р,. -: .*: =„ .,~; . ' фии получим траектории частиц ф(ц . Р, ц (рис. 164, б). Сравнивая эти фотографии, видим сушественное различие между теми и другими линиями в зоне, где благодаря нарушению течения внесенным телом поток приобретает нестационарный характер. Представим себе в жидкости трубку, боковая поверхность ко. торой составлена из прилегаюших друг к другу ли- 3» ний тока(рис.
165). Если --- --.Р-.--. Ц частицы жидкост~, заключенные внутри этой поверхности, останутся внутри нее во все время движения. Таким образом, поверх- Р>к. 165. Трубка така ность, образованная линиями тока в жидкости, представляет собой как бы непроницаемую трубку. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, пронизывающими замкнутый контур, называется трубкой тока. Размеры н положения контура выбираются такими, чтобы в его пределах скорость течения можно было считать постоянной и направленной по нормали к контуру. Очевидно, всякое движение жидкости, происходящее без разрывов оплошности (без пузырьков и «пустот»), должно удовлетворять закону сохранения массы. Масса Лт жидкости, прошедшей за время бг через какое-либо поперечное сечение трубки тока о, равна: Ьт =- (гОВ г>1, где о — скорость частиц, постоянная в данном сечении, Р— плотность жидкости в том же сечении.
При стационарном потоке за один и тот же интервал времени бг через два разных сечения трубки тока 5> и За должны проходить одинаковые массы жидкости. В противном случае массажидкости, заключенной в объеме трубки между выбранными сечениями, изменялась бы, и течение перестало быть стационарным. Поэтому для стационарного течения: Рго>Я> = Рао«3«. (13.4) Для капельных жидкостей и для газов, когда сжимаемость последних роли не играет, можно считать плотность постоянной.
Тогда уравнение (13.4) запишется в виде: сА = "гса нли оЯ = сопз(. (13,6) Произведение величинги скорости течения несжимае.мой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для даннои трубки тока (теорема неразрывности). Из соотношения (13.5) следует: О, 5~ о, 5, (13.7) Там, где сечение трубки тока больше, скорость частиц жидкости меньше, и наоборот. Мы можем весь поток представить себе состоящим из трубок тока с одинаковымзначениемпроизведения о5. Если мы проведем в каждой трубке осевую линию тока, то там, где скорости течения потока больше и трубки тока уже, осевь1е линии тока сгущаются, где скорости меньше — они расходятся.
Таким образом, изменение густоты линий тока характеризует изменение величины скорости течения. Для того чтобы иметь право считать скорость течения жидкости постоянной в данном сечении трубки тока, мы строили их на контурах достаточно малой площади. Но если течение в потоке таково, что скорости во всех точках данного поперечного сечения потока мало отличаются друг от друга или условия задачи позволяют рассматривать только средние скорости для каждого сечения, то можно весь поток считать за одну трубку тока и относить полученные выше зависимости ко всему потоку в целом.
Так поступают обычно в гидравлике. 4 4. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ Рассмотрим участок трубки тока, ограниченный двумя поперечными сечениями АВ н СВ, площади которых соответственно равны В, и В, (рис. 166). Площади сечений возьмем достаточно ма- лыми, чтобы скорости чад' стиц и давления в пределах каждого из сечений можно было считать постоянными. Перемещаясь отсечения 8мвт8. "ег АВ к сечению СР, жид-ф кость переходит в сужен- ную часть трубки и, как следует из уравнения неразрывности, движется ускоренно. Значит, на Рис. 1бб, 1( выводу теоремы Бернулли.
Жидкость, находящуюся В данный момент в суженной части трубки, действует со стороны жидкости, находящейся в более широкой ее части, некоторая сила, которая может возникнуть только вследствие разности давлений в различных сечениях трубки. Сила направлена в сторону узкой части трубки, следовательно, в местах сужений давление меньше, чем в местах расширений. Установим связь между давлением и скоростью жидкости в раз- ных сечениях трубки, ограничиваясь рассмотрением идеальной жидкости (не учитывая вязкость и сжимаемость жидкости), что позволит нам считать работу внутренних сил в жидкости равной нулю.
Трение между жидкостью и стенками сосуда будем считать отсутствующим (это позволит нам выбрать трубку в произвольном месте потока); движение — вполне установившимся (стационарным, при этом масса и энергия идеальной жидкости, заполняющей некоторый объем трубки тока, остаются постоянными во все время движения); линии тока слабо искривленными (что позволит пренебречь центростремительным ускорением частиц жидкости и связанным с ним изменением давления в поперечном сечении трубки тока). К жидкости, заключенной в рассматриваемом объеме, можно применить второй закон динамики и написать для нее уравнение движения. Но так как в идеальной жидкости нет рассеяния механической энергии, то результат проще получить, применяя закон сохранения энергии.
В соответствии со сказанным в главе Х11, 5 4, покоящаяся жидкость массой т обладает потенциальной энергией: (13.8) У = пгпз+ гпй т Если жидкость движется со скоростью о, то она обладает еше кинетической энергией, и полное значение энергии будет: Р, то~ Е = глаз+ гпй' — + —, 2 В выражении (13.9) давление р отлично от давления р„входящего в формулу (13.8)„так как жидкость могла приобрести кинетическую энергию только за счет преобразования потенциальной энергии.
При соблюдении первых трех из перечисленных выше ограничений энергия жидкости, заключенной в выделенном объеме, остается неизменной. Следовательно, энергия йЕ, жидкости массы Лто втекаюшей в объем за время бГ через сечение Зо должна быть равна энергии ЛЕ, жидкости массы Лт„вытекающей за то же время через сечение Ям Если плотность жидкости р, то 3 с аГэз йЕ =РЕпФИ+РЕоФа — "+ т 2 Приравнивая правые части этих равенств и деля их на РЕгод ~1 = РЕз"з й1 = йшд = биге = ~гп 2бв получим: 2 2 Р, "1 Р, г,+ — + — =.2+ — +-- 2г т 2в (13Н0) или, учитывая, что 7 = рд: 22'1 г"г Рй 1+ Р1+ 2 Рйг2+ Р2+ (!3,!!) Так как сечения 31 и Б2 взяты произвольно, то вообще для любого сечения данной трубки тока: рц2 — + гкг+ р = сопИ, 2 (13.! 2) 266 Это уравнение, полученное Д.
Бернулли (1738 г.), связывает изменение давления в стационарном потоке идеальной жидкости с изменением скорости течения и геометрической высоты. Сравнивая выражения (13,10) и (12.12), видим, что закон Бернулли представляет собой закон постоянства полной удельной энергии частиц движущейся идеальной жидкости при стационарном течении. Формулы (13,11) и (13.12) выражают тот же закон сохраР22 пения энергии для единицы объема жидкости: — — кинетическая 2 энергия единицы объема жидкости, ранг — его потенциальная энергия в поле силы тяжести, р — работа силы давления прн подъеме единицы объема на единицу высоты. В выражении (13.10) все члены имеют размерность длины: г, и г2 — геометрические высоты, — и — — пьезометрические выР1 Р2 т 22 соты и — — скоростной, или динамический, напор, 2л Таким образом, в теореме Бернулли отражены два физических факта: 1) сумма потенциальной энергии и кинетической энергии на всем протяжении данной трубки тока — величина постоянная; 2) сумма трех всчсогпг пьеэометрической, геометрической и скоростной — остается постоянной в каждом сечении трубки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
