Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 9
Текст из файла (страница 9)
„о"' — компоненты вектора и Для определе- ния собствеииык значений получаем алгебраическое урав- нение д!-й степени (1! ! (ао — рЬ„) = О, (2!) Для задачи (20) справедливы свойства, аналогичные свойствам обычной задачи иа собственные значения, а именно: существуют т! ортонормированнык в смысле скалярного произведения (х, у), собственнык вектороз (и!, гн,),.=-б„„, Ь, т=1, 2, ..., %, (22) которым соответствуээт собственные значения (23) 0<у,~...<рт, По аналогии с и. 3 имеем х .= ~ е! т!„е!, ==- (х, к!,) в, !=! к а-! (24) Гправедливы операторные неравенства р,В =А ~рзВ, (23) стза ).,Е =.А —:),,Е и (Ы.,)Е=.:А '=:-'(!Я,)Е зкзивалептиы. 4. Обобщенная задача на собственные значения.
1!усть задан самосоиряжеиный положительный оператор В, Введем новое скалярное произведение (х, у)е = (Вх, у) н иорз!у )ул, = У(Ву, у), 1!ростраиство В ео скалярным произведением (х, у)„называется эие!!лет!! !если.и пространство.ч и обозначаетси П,. Рассмотрим оообщеппу!о за;!зчу иа собственные згщчепня, состоящую в отыскании иетривиальнык решений и уравнения 46 Гл. !. Рлзпостные уг.»внвнпя причем рл — норма оператора А в Ва. Ото значит, что 1А х)~, =- 1А))а1Ы)в. 3амечанпе. Перавепства ;,В«Л «7»В, (26) 7»«)г! -7», Ь=1, 2, ..., »У, (27) эквивалентны. В самом деле, разложпи пропзвольный вектор х.-= ~~ с„а»„найдем (А — 7В) х:.= ьз сь(р»,— 7) Впа !». -! !»=! и скалярное пропзведепне ((Л вЂ” уВ),т, х) .— ~~ с», (р», — у) (Вою гь) -=: х.» (р», — 7) сь, /» !»=-! где 7 — одно пз чисел 7, нлп 7», Полагая х =- п», найдем ИЛ вЂ” 7В)о„г,) = р» — 7.
Пусть 7 — 7» и выли»ляско ус!»овне Л -7,В; тогда р„- 7». Перш» и обратное утверждение. Аналогично проводятся рассугкдеппя прн 7 = 7». 5. Линейные пространства сеточных функций. Разностные операторы. 11 дальнейшем мы будем рассматривать фупкцпв, заданные »га сетке с Пелочпс;»епныпп узла мп: а»„=(0 »=О, 1, ..., М. Если па отрезке 0 «х -- ) ввести узлы х,—.-!)», Ь = 1/Ь! (»=О, 1, ..., »т'), то получим равномерную сетку с шагом Ь как совокупность узлов х,= »Ь с целочисленными пндексаин: »о, = — (х, = »7!.
! = О, 1, „»»'; )», = 1/»!."), Перевод от одной сеткп к другой очовпдсп а мы часто не будем делать различия мс!кду пптш, Обозначим через 11,;„=(уь !'=О, 1, ..., % пространство сеточных фупьцпй, аадаппык па сетке ы,;, через 11л»~ = (у», ! = О, 1, ..., Х; у,= О, у; = 0) — кодпространство сеточных фупкцнп, заданпык па ы., п обращал»- шихся в нуль в гранин»ыт узлах сетки !»»ь: у»=у =О. а Функция пз 1), » будем обозначать уП) =!)„ Рассмотрим примеры простейших разностных операторов. Для оператора правой равности .1 имеем »Ьр» у,, — р„(=0, 1, ..., Ь! — 1; $ с плзпостчилп лл лвшсиия ~ лп оплел плвпьп' областью определения является 11ли о областью зиачоний — пространство 1)л.
— (у с — О, 1,..., Л' — 1/ размерности /у. Для оператора левой разности т имеем ~у;=//,— у, о /=1, 2, ..., Л/; область определения есть 1)из о область значений — пространство Й т = — (у, ( =- 1, 2,, Х) 11з формулы Л у;, = Л( Ъ//,—, ) = й( ~7 у,) = )/... — 2//, + у~, и за1иппем ее в матричном виде: А У == Ф, (29) где Ф = (/, + а,ро /„.. „ /; ., /; —, + Ьи,р,) — известный, У = (у„уи, у,, у,;,) — неизвестные векторы размерности Т вЂ” 1, .4 — квадратная треядиатональная матрица размера (Х вЂ” 1) Х (.Ъ вЂ” '1): /й ...
0 — с, Ь, ... 0 и з''' — с и п„ 0 ... 0 и, Сравнивая (28) и (29), видим, что можно написать Лу = — срь 1 = '1, 2, ..., Лс — 1, Лу, -с,у,+Ь,уь с(,=/,+а,р„ Луи Луь (р, /ь ('= 2, 3, ..., /У вЂ” 2, (28') Луи-, а,,у„-, — сл-,ул-„~рл —, /и-~+ Ь вЂ”,р,. видно, что оператор второй разности определен Лля сеточиыл фуияций у, при /= 1, 2, ..., Л вЂ” 1, т. е. отображает ()... в пространстве 1);, = (у„( = 1, 2, ..., /т' — 1).
:)тим же свойством обладает разиостоый оператор Л: Лу,.= Ь;у;, — с;у, + а,у,, = = ЬЛ(ру ) — (Ь; — а )(т7у ) — (г, — а, — Ь )у„ / =-. 1., 2, ..., Л/ — 1, т. е. Лу, е: Йи о если у, ~ Йи,, плп, в сокращенной запн- О„, с)к 1'ассмотрим разиостную краевую задачу. Лу, = — /„ / — — 1, 2, ...., Т вЂ” 1, у.
=- р„у, =- р, (28) гл. 1. Рлзностпык !'гхвннкия 4е 1'азностный оператор Л <пображает 1?а-< в Йх !. Нетрудно заметить, что Лу,=Лу,. Вместо (28') получим о Лу,= — <р<, <=1, 2,, У вЂ” 1. Введем теперь оператор Л, соответствукпцпй матрице (29), полагая о Лу,= — Лу,= — Луч ! 1, 2, ..., % — 1, Тогда вместо рааностной краевой задачи (28) получим операторное уравнение Ау =<р, где Л: 1?х — Йх-«. р~ Й;,, т, е.
оператор А действует пз Й;, в Й,, Очезп;<но, что А — лннейпый оператор. Заметны, что можно также считать (имея в воду, что Ау = — Лу), что А отображает 1?;,, в Йх, В пространстве Н = Й,, можно ввести скалярное произведение л-! 1 'Ч (у, г) = —. ~ у;г! -'=! и норму 1у" = У(у, у). Если рассматриваются вторая (х, х< 1) или третья (х,чь0, х, за 0) краевые задачи (см. (!) з 3). то матрица А есть квадратная матраца размера (%+ 1) Х(?Р+1) и оператор А определяетсл следующим образоы: Ау; — Лу<=-(Ь,у<.« — с<у<л-ау, <), <=1, 2,, Х вЂ” 1, 1у< (к<у< у<), Аух (у! к<ух — <).
В зтоы случае оператор Л отображает пространство сеточных функций Н Йх., в себя: А: Н вЂ” Н. В дальнейшем мы будем рассыатривать первую краевую задачу для разностного уравнения второго порядка; в этом случае, каъ было покааано выше, Н Й; <. 6, Разностные формулы Грина. Рассмотрим разностлый оператор Х,: Е,У, Ь,У„,— с,р,+ацл и 1-1...„М вЂ” 1. (30) Если Ь,~ а„„то соответствуюшая матрица не является $1 РЛЗНОСТНЫР УРАВНЕНИЯ КЛК ОПЕРЛТОРНЫЕ 49 симметричной. Он» симметрична только в случае Ь! аоо 1=1, 2, ..., Х вЂ” 1.
(31) Учитывая зто условие, перепишем Еу; в следующем виде: ДУ; У!~1 — У! у д= в ь чу,. ут.= — = —, (33) Ь Ь у,„; = у-с„(0— уьь1 д (ту!) Разделим выражение (32) на )1* н получим разностный оператор Лу! = (ау-,)„, ! — о1,у!, 1 !(! = —, (с! — а; — а; ..1), !' =- 1..., У вЂ” 1. (34) В з 1 была получена Формула суммирования по частям и-1 л ~ у,йг! = — ~д„г!7у! — ' (уг)к — (уг),, (35) Пользуясь обозначениями (33), перепишем ее в виде К вЂ” 1 к Х у г,! й = — Х г у;.„й+ (уг)л — (уг)а (36) ! !! 1=1 К-1 И-1 И-1 !' Ду так как ~' у!йг; Д у!~ —,' ~Ь.
~' уи',!Ь. ф ! 9 ' 1=з Для дальнейшего изложения нам удобнее в левой части (36) вести суммирование от ! — 1 до !-У вЂ” 1; зто Еу1= а;.,у, ! — гу, +а у,, = а,,(уо., — у,) — и,(у! — у,,) — (с, — а, — ам,)у! а,е,!!у!„! — а!т!у, — (с; — а; — и,л,)у, Л(и,ту,) — (с; — а,— а,+,)уь (32) Разобьем отрезок (О, 1! точками х, на Ю равных частей, положим у(х,) = у; = уП) н введем обозначения, которыми будем в дальнейшем всюду пользоваться: ! й= —,, а!=!21,1=0,(,...,Л', х =О, хл=1, гп.
!. Рхзностггыв тгхвпн!пи! 50 п)и!водит к Формуле н — ! н ~~~д у»гун»Ь = — ~~~ г»у-»Ь+ (уо)н — у,и!. (37) »-! »=! Подставим сюда г; = а;г-„,; получим н — ! и ~ у;(аг-),Ь = — — ~ а;у;,,г- »1» ', (ауг-) . — уо(аг-),. 1 — ! »=-! (38) Вто — первая разностная форггуага 1')тна.
Поменяем в пей местамп у! н га н ~ г; (ау-,) „»Ь = — ~~~~ а г-„,у-, . Ьг + (ау-г) т г, (ау-,), =.! »-! (38') Вычитая Г38') нз (38), получаем вторую рагностнуго форму.!у 1'рина н-! и — ! ~ у; (аг,-)„,Ь = ~~д г; (ау„-)„:Ь+ ах(уг;, — гуа)ч— г=! г=-! — (у, (аг-), — г, (ау„-,),). (39) Если выполнены условия (40) Р о ° т. е, у у, г =гы Пяа н то в правов части равенства (39) два последних слагаемых обращаются в нуль и и — г, х-! у»(аг„-) г1г = ~. гг(ау-,)а Ь.
(4() для разностного оператора а / а а а о Лу» (ау„)„< — »1»у», для всех у аи ()н+!. (43) н-! а о Вычитая из обеих частей тождества (41) сумму ~г»1»у»г»1»! ! ! о получаем вторую фарг»ул)» Грина для у, = !и (гая г! ° о ' ! о Х у»Лг»Ь — а~ г»Лу»Ь (42) ! ! ! ! 3 с. РЛЗНОСРИЫГ.
УРЛЗНКППЯ КЛК ОПЕРЛТОРНЫГ Ч( Пусть Н = П,, — пространство сеточных функций у„ ЗадаННЫХ Прн 1=1, 2, ..., 11' — 1, СО СКапярНЫМ ПрОИЗВЕ- деиием Л -1 (у, ) - 'Х уп ус с — 1 п нормой [(у.". = 1(у, у) Введем опоратор Р1: Лу= — Ау, у~», (44) Тогда вторую формулу Грина можно записать в виде (у, Лз) = (Ау, 1). (43) ')та формула выражает свойство самосопряжеииостп опео о рзтора Л: А* =А и, следовательно, Л* = Л. При в = уев о жс)аос первая формула Грина (38) дает: и-1 л -- ~с у; ([ау-„),,)г -= ~ а,(11);,.) lг) О о — 1 с=- 1 ри усФО, а; О (48) о (так как уо = у; =- О, то равенство пулю возможно только прп у, = 0 П = 1, ..
о 11' — 1)). Рс штываи определение оператора Л, найдем л К -1 (АУ у) — - лг а, [у-1)л)г+ ~ сосу",й)0, а;- О, с)1= О. -'. 1 с=1 (47) Таким образом. ревностный огссрзтор Л, определенный формулам~ [43), (441), является самосопряжеппым и положительным: А = Ло ) О, если а, О, с)1~0, 1=1, 2, ..., Дс- 1, сго-)0. (48) 7. Условие самосопрягкенностн разногтного оператора второго порядка. Мы уоедплись в том, что условие (31) достаточно для самосопря кеипосгп )сзспссг тпого оператора (30) в пространстве Н Рао,.
Покажем, что условие [31) необходимо для самосопрнжеиностп 7,. Представим гл. !. гхзностнын ! ! !вннннн бо2 в виде суммы: ~у,=у„у,+!.оу„ Ь,у! «,,(унн — у,) — «!(у, — у; —,) — (с, — а, — Ь,)ун ! оу!= (Ь; — «! !)у! .!. Оператор Г.!у! = )!тАун Лу; = (ау-,,), ! — !1!ун как было показано в предыдущем пункте, является еамосопряженным в пространстве !! =От„плн !! Йн, со скалярным я-! произведением (у, г) =- ~ у,г;Ь. Поэтому можно наппеаттн к-! 1 (Ь; — «;,,) (у:+,г; — у;и„,)!!. о о с Отсюда видно, что (уу, в) = (у, !'.е), т, е. !'. = 1« только яря условии к ! ~, (Ь, — и,,) (у;з,г; — у;г;,) 6:= Рь (Ф) 1=-! И си:!у произвольности у, и к; мож!и! ваять у; --6,; ! „ ' 'О !; =-- 6 д„.
где („— любой !Ьикенронанны!1 узел (со = 1,2,... .. „й — 1), 6н!, — символ 1(рсн!евера. Тогда получим у; з,г; — у;гьы =- ба!а и условие (49) дает Ь;„== «;„, !. Теч самым необходимость условия (31) доказана. Следует отметить, что уравнение ! у! '!! (50) можно привести к виду (,>1) У:У, - 6(А,ПУ,) — (),У, = -1:н где à — самосопрян!енньй оператор. В самом деле, умножпм обе части уравнения (боО) па р; чь бл Гу, рса,у!-, — р,с,у,+ Ь,р,у„,= — 1!;!! н потребуем, чтобы для полученного уравнения выпол- в !. глэносгныь углаиенпя клк Опег.гтогнык пялось условие (31), т.
е. 63|,=(р|!); ! =а„!)|,.|! = Л!, Л,. Отсюда получаем и;. ! =- — ~ р; = р, Ц 6л|ил|, и урав";~ ! 'Л=! некие (51), где Л, = а!рь 6)! р,(г; — а, — Ь,), Е! р|(,. 8. Собственные значения разностного оператора второго порядка. Рассмотрим разпостпук! задачу па собственные значения: (ау-) — |(|у! -, 666 == О, ! -1,2,...,Х вЂ” 1, у,-=.
ук =0„ (52) нли Лу=йу. уш(),. „где А определяется равенством (44), Оператор Л самосопряя|еп и полол|нтелеп, поэтому к нему отпосптсн все сказанное в п. 4. Для простейшего случая а, 1, Н, 0 собственные вначепия н собственные векторы можно найти в явном виде. Итак, требуется найти нетривиальные решения однородного уравнения с однородными краевымп условиями р-„а + 6|6 —.-. О, |:-: 1,2, ..., Х вЂ” 1, ИЛ' = 1, у„= О, ул = О, |6~0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
