Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(!0) условно с,, , .== 0 зьепеаленгно условию с„ + Зг1„6„ - 0 и уравпепшо с,„., = с, + г<,Ь,. Разпостпое уравнение (9) с условнямп (10) решается методом прогонки. 61ояггго ввести понятие снлайна порядка яг как функции, которая является иолшюмом степени т на каждом пз отрезков сетки н во всех внутренних узлах сетки удовлетворяет условиям непрерывности функции и производных до порядка т — 1 включительно. Обычно для интерполяции используются случаи т = 3 (рассмотренный выше кубический снлайн) и т = 1 (линейный снлайн, соответствующий аппроксимации графика функций у(,г) ломаной, проходящей через точки (х„у,)), Подставив теперь выражения для 6„6,.„п с1, в первую формулу (8), после несложных преобразований поггучаем ;шя определения с; разностное уравнение второго порядка <э,, г ьг нь! г †.= 1, 2...,, и — 1, (О) % ь иптнгшспппьи н п1пнлпжкппт члнкцпн 6; 5, Применение интерполяции, Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями, Укалкель некоторые пз этвх задач.
Обработка физического зкспер~мепта — построение приближенных формул для характерных величин по таблнчным данным, полученным зкспернчентально. Построение приближенных формул по данным вычислительного зкспернмевта. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы возмолшо более простой структуры.
Субтабулирование, т. е. сгущение таблиц; применнется в тех случаях, когда непосредственное вычисленпо функций трудно нли когда имеется мало зкспериментальпых данных. В машину вводится небольшая таблица, а нужные прн расчетах значения функции находятся но мере необходимости по иптерполяцпонной формуле. Интерполяция применяется также в задаче обрптпозо интерполирования: задана таблица у, у(х~); найти х~ как функцию от уь Примером обратного интерполирования льожет служить задача о нахожденвп корнев уравнения.
Пптерполяцпонпые формулы используются также прп вычислении интегралов, прп написании разностиых аппроксимаций для дифференциальных уравнений на осяове интегральных тождеств. й)ательатпческое обеспечение любой ПВМ содержит стандартные програмльы интерполирования. 6. Среднеквадратичнан аппроксимация. До сих пор мы рассматривалв построение пптерноляцпоппых полнномов у(х), совпадающих со значениями исходной функции )(х) на некотором множестве узлов па сетке ин у(х,) =/(х,), х,~ьо, Функция у(х) приближает (аппрокспмпрует) функцию )(х) ва интервале сетки. Пусть Ил, Ы вЂ” пространство вещественных функций со скалярным произведением ь () 'т) ) .) ( ) 'р (х) ' а п нормой !)!,',ел - 3тФ /).
53 гл, 1! интегполяция и числгнное ннтвггнговлнпе Рассмотрим общую задачу об аппроксимацнп функ- ции /(х) функциями Ем заменяя требование у, = /; усло- вием минимума нормы: )(/ — у|)г., нлп малости нормы: г'/ — у ~~ге(е, где е > Π— заданная точность. Отыскание (и((/ — у(с, есть задача о нахождении наияучигего среднеквадратичного приблихсения, В каче- стве у(х) возьмем обоби(енный полипом я у (х) -.— ~г се~)» (х), е-в где (гр„(х)) — семейство ортонормпрованных на (а, Ы функций (1, у==т, (е».
гг„) =- дь„„дм =- ~ с,— произвольные коэффициенты. Тогда задача нахождения наилучшего среднеквадратичного приближения сводится к отысканию минимума функции и+ 1 переменных с,, с,, с„; Я ппп '., / (х) — ~~~~ се~уз (т) ~ —.=. р (ге, с„..., с„). о,) я=.о Вычислим среднеквадрати нное уклонение Ц вЂ” уР = Ц~Р— 2(/, у) + (у~~'. Подставляя сюда выра>кения и я (/ у) = ч' ся (/, <ря) = ~~ сг/ю /я = (/, ~рь) я=о ь-з (у)'=,е'.) сю получим "/ — у(е — ~'/(е+ Х «» — /)' — Х /я Отсюда видно, что минимум погрешности достигается прк се=/,, т, е, ва функции у (х) =- у. (и) =- Х М (х) я-е з е нптегполяцпя н пгнвлнженпе Фупкцпгг оз В этом случае Ну — Ч (х)Ил=1))Н' — ~ Рьх (11) ь=а Такпьл образом, наилучшее среднеквадратичное прнблпженне существует и едпнствеппо.
Опо приводит к задаче о вычисления интегралов для определения г, („(),лра). Волн функции (~ра) образуют колпую ортонормпрованную систему, то выполняется равенство 1)врсеваяя— Стеклова ь ~~э, )ьт =- ) 1ь(х) Нх = ))1. а Сравнивая (11) с (12), находпм И вЂ” уГ= Х lь ь=а ал т. е. 1) — у„~(- 0 при и; наилучшее среднеквадратичное приближение сходится к 1(х) и возможна аппроксимация с любой точностью; Ц вЂ” у.1< е, если и ~Л'(е) (и достаточно велико). (12) 3 а м е ч а н и е. Все рассуькденпя сохраняют силу, если скалярное произведение берется с весом р(х) ) О: ь (1, ~р) =- ~ 1 (т) <г (х) р (х) Их. а Возможны и другие критерии аппроксимации, когда уклонение ( — у мппимпзпруется в другой норме, например, в норме пространства С (равномерное нриблихгение), При наилучшем равномерном приближении мы отыскиваем функцпю у(х), на которой достигается пни гпах )1(х) — у(х)!.
ааааа Однако пока не найдено метода нахождения за конечное число действнй козффнцпентов наилучшего равномерного приближения для функции, ааданной па отрезке (а, й). Возможны н другие постановки задач апвроксимацви — на дискретном множестве, на совокупности отрезков и др. Изучаются также методы нелинейной аппрокснмацпп, напрпмер, при помощи рациональных функций.
Это оказывается аффективным при обработке экспериментов. 5!! Гл и нсгтегполицпя и '5пс'5!5пяог нлтгггигоихппе $ 2. т1цслекпое интегрпроваипе 1. Постэвовка задачи. Простейппсе квакратуриые формулы. Задача иссленнпго интегрирования состоит в нахождении приближенного зпачеппя интеграла ,1 ()) -=: ~ ) (.т) сйг, а где ((х) — задаппая фупкция. Па отрезке [сс, й) вводится сетка со =.(хл х„.= а < х, - ... < х, < х„, « ... хн 6) и в качестве приближенного зпачепия интеграла рассматривается число Хх У) — -- Х е 5'(х) (2) где )(х,) — зиачепыя функции )(х) в уг.спх х =-хь с! — весовые гзнохсигели (веса), зависал(пе только от уалов, ко пе зависящие от выбора 5(х).
Формула (2) Называется ввадрптурной с))орлусой. Задача численного иитегрировапия при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов (х,) и таких весов (г,), чтобы погреисноггь ввпдрагурнои у)ориу.сы н Ь В()] = хи е!) (х,) — ) )(х)псх = Ун (5'1 — У (!') '=-о а ) (х) с(х, и каждый пз которых сводится к стапдартиому пптегралу по отрезку единичной длпиы: ! (2) г помощью аамекы х =- а + (5т — сх) г, 5(х) )(а+ (р — сс)в) ~(в), (4) (б) была мисспмальпой для функций из заданного класса (величина И/) зависит от гладкости 1(х)). Прп построении каадратурпой формулы обычно представлясот интеграл (1) в виде суммы интегралов вида $ а численное ггнтегенеовлнкг так что ~ /(х)агх=- х~1(з)г)з= хЬ(Д, х р — сг (черту сверху над 1(з) будем опускать).
Будем считать, что аг — равномерная сетка. Тогда маятно написать -ЧЛ= Х |ь 1 г аи 1 — г' (х) г(х = 1г ) / (х; г + )ге) 0з. а ! — г Есин гр = 2й — четное число, то 'а уИ=--1 ум *, аа~ г Уп г —.= ) 1(х)ггх== 2/г)1(хг~ г-',-2гге)~Ь., а г рассмотрим простейппге квадратурные формулы: формула прямоуео.гьника (шаблон содеряодт одпп узел): —.(, Р—.1, . =-.
ДУ) =-У' —.'; 1 г11 'а 2' грорву,ггг трапеуии (два узла): 1 1 Ра= з~ Рг= а1 за=О1 ггг = 1г 81 == 11 Л(У) = —,(У(О) + У(1)); и т. д. Таким образом, задача сводится к иостроениго квздратурной формулы дзя интеграла (3) по единичному отрезку. Выберем на отрезке О.-з -1 узлы О==:з,(з, (... ... < з„а:. 1 (игаблои квадратурной формулы) п поставим интегралу (3) в соответствие формулу и ЛУ) = ~л М(за). а=-а 72 гл. и. ннтегполяцня и численное интвггиговлнии формула Симпсона (трп узла): 1 4 "'= Ло Ро = Ро= ио Ро= е~ во= 0~ 1 г,=- — во= 1, 2' ЛЕ= Ц((0)+ЧЯ+ У(1)) о=о формулу Симпсона: Хи[1[= ~)~~И(х;) й = зь (1о+ 41о+ 2/о+ 4/о -Р г=-'о +2Ь- -Р4)н-~-[-Ь) прн Х =- 2(о (0) 2. Построение квадратурных формул. В силу сказанного выше положение достаточно веста для стандартного интеграла (3), которому ставится в соответствие нвадратурная формула 1 т ~ 1(о) по зз Ро/(зо) (10) Й- — о В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим сначала случай, когда узлы заданы н требуется найти веса квадратурной формулы (Ро). Мы будем пользоваться требованием: формула (10) должна быть точноа для любого полпиома Р,(г) степени г =.ш: Л[Р,) =В[Р„), .= т. (11) и другие. Па практике, кан правило, применяются формулы с небольшим числом узлов шаблона. Напишем теперь соответствующие формулы для интеграла (1) на равномерной сетке (х;=1Ы с шагом й.
Учитывая замену (4) и (5), получим: формулу прямоугольнина; я-1 1 ух [1[ =.= ~~ Ц(хг~ьпо), хоопо = х, -',— —,Й; (7) ~=о формулу трапеций: Ух[1[= ~~с,)(х,)Ь, со=сх= —,, с;=-1, о=-1,,...,Л вЂ” 1, $ 3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 73 Для того чтобы полипом степени г удовлетворлл (11), достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной дчя любого одночлепа з' степени о (о = О, 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
