Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 13
Текст из файла (страница 13)
..., Г), Учитывая, что /(з') =1/(о+1), получаем из (11) т + 1 уравнений р.+р, р" -':-р )элзз + р1з~ " ° ° °, /Ьлз.л Л, л,, л Рлзл 4 Р1з~ л . ° ° 4 )злами — 1 (о, 1)~ р,з,", + р,з, + ° ° ° т Р~з"' =- 1'(т + 1) Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля, ес:ш нет совпадающих узлов, з,( 3,. ( Так, полагая т=2, з,=О, з, 1/2, з,=1, имеем систему р,+р,+р, 1, р,/2+р,=1/2, р,/4+р,=1/3, решением которой являются веса формулы Симпсона: р, =р. 1/6, р,=4/6. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной н для всех полиыомов третьей степени: Р,(з) = 1+ а,(з — 1/2) + а,(з — 1/2)'+ и,(з — 1/2)', так как она точна для 1(з) =(з — 1/2)'.
В самом деле Л((з — з)~=- с(( — л) +4 О+(з))=О, фз — — )1= )(з — — )~й=О. Формулы прямоугольника и трапеции точны для ли- нейной функции, т. е. для полинома первой степени, е чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве Р„(з) можно выбрать ин- терполяционный полипом Лагранжа лл Р.() = Х (з"'()/(з), з-л где )з~ ~ (з) — интерполяцяонный коэффициент Лагранжа, г ", числннное нгггггвпвовагшн :)та формула иоькет быть доказана нндукцпей по и. Для и = О опа верна: в У(г) -- )(О)+Л,(г), Л,(г) = ~1'(г)сМ. о Допустим, что опа верна для и.
Интегрированием по ча- стям получаем гоотпоп|енне -(г О уо>1(!)Ж= н) (г — О ~( ~ О ( ~ + ( (г — г) ~>>, ь > ( ) ~1 г о = ('... у'"'п(0)+~(,'„л"1), у'"'м(0а, (14) г которое п доказывает формулу (13) для и+ 1. 1)водя функцию (с ггн( пра $) О, (О прн г~(О, (13) запишем формулу для остаточного ч:шна Л„., в виде: 1 Л„, (г) .- ~ К„(г — () )'""и(!)й. о (! 0) 4. Формула цан погрешности квадратуриой формулы. Перейдем к выводу формулы для погрешности квадратурной формулы Л()) =Л(У) — 7(/) в классе Со'~>' функции, имекнцпх (н+. 1)-ю непрерывную производную па отрезке О - г - 1: /(г) се С'"'о (О, 1). Тогда верна формула (13), нлп » 1(г) — -- Р, (г) -1- Л„е, (г)> Р„(г) — ~ — ' ~ю (0).
(18) »- о Иа предыдущего (см, п. 2) ясно, что для полииома Р„(г) степепп и формула (10) является точной в двух случаятл прп я<т+1 и„если т четно и формула тз гл. и. пнтяРполнцня и чисченное ннтег!ч!Ровхняг симметрична; прп и ~ т = я, во всех других случанх. з!1! будем пока предполагать, что Л[Р„) =1[Ро), т, е. и ~ я,.
(10) Обратимся теперь к разности К(1) н подставим 1=- =-Ро+В„о, в (17). Учитывая (16) н (19), получим Л(1) =- Л [1[ — 1.[([ =в =- (Л [Р 1 — ) [Ро[) -Р (Л [Лоо1) — 1 Фо.!.1~) —.-- м ! — 1 [Ло 1) 1 [Ко 1) -= ~у Ро ~ Ко (оо !) ) (() Й! 1 ! — ~ ) Ко (а — !))'о ' "(!) Й оЬ= о о 1[ ~о 1 =1[и „.о.!.— ! — (о.< — оотг'"Оо>о. о=о о Пользуясь выражением (15) для К,,(з — !), находим о (! ! оь1 Ко (г — !) О!З =- ~ ' 1Ь = В результате формула для погрешности принимает внд Л()) = ~Р„„(!)1О'м(!) ((, о где Ро+, (!) = ~, роК„(зо — 1) —, (21) П--1)" ' (а+ !)! о=о Отсюда следует оценка для погрешности [К(1) [ ~ М„„с„,, (22) при [/'о О(!)[ ~ М„.„, где М о,) 0 — постоянная, и при Сльо — — 1 [ РоО-1(!) [й. о Если К„„,(!) не меняет знака на отрезке О~а -1, то в 9 ".
чпсленнок пптгггнговлние 79 Иэ (24) видно, что формула прямоугольника имеет четвертый порядок точности: бг()) =-О(6'), если функ- ция ((х) удовлетворяет условию )'(а) =1'(6). )'.сля из- вестны 1'(а) и 1(6), то можно положить )(х) ~р(х)+ + ах + рхз, где ц,(х) удовлетворяет условию гр'(а) = ср (6), если выбрать сз = 1,1 '(.) — а 1' (Ь) Я (Ь) — 1' (з) Тогда Ь вЂ” а ' 2(Ь вЂ” а) ь ь ) 1 (х) с)х = ) ср (х) с)х -,'- с, з з с = ! и (6 — аг) + 1.
р (Ьз — аз). Интеграл от с((х) вычисляется по формуле прямоуголь- ника с точностью 0(Ь'). 2) Формула трапеция: т = 1, рз = р, = 1/2, г,=О, г,=1, Л(7) = —,„1(((0) 6 /(1)), 1 Функция г'з (О = —, 1 (1 — 1) ) 0 анакопостоянна, поэто- му верна оценка г)л (/) = ~,, )'" Д*) (6 — а), с* ~ (а. 6), т. е, коэффициент при Ь- в выражении для погрешности формулы трапеции в 2 раза больше, чем для формулы прямоугольника. Повторяя рассуждения, аналогичные проведенным выше. убеждаемся в том, что верна формула дз(/) — — — 2язЬ '',-аз6' при /я С'"', п ~ 4, где пз определяется согласно ("1), аз = Г)(! ), 3) Форм ула ('ззтз псов а: т =2, гз =.
0; г, =1/2, гз =- 1, р, рз = 1!2, р, = УО, д ()) - —,, ( ((О) + 1) ( —,, ) + )' «) ). Так как ф~рмула Спмгзсопа точна для полпнома третьей степени. то и = 1. и иы нычпсляем: Л ()) == ( lг [!) 1' (1) ги, г ~з(1) =-; ( ъз(0 1) оз() 1)) ' йз ( —., — 1)— яо гл. ье интеРполчция и численное ннтегРиРОВАньте Отсюда находим Г, (ь) = =,, (2гз — Зг'), т ( —,,; Р;(г) =- —., (2(1 — г)з — 3(1 — ь)4), 1> —,, г 4 (ь) > О для всех г 4= =(О, 1), и значит, Г, (1) ььь —.— — „ 4 так что верна формула Ьз(/) = яо ~ (ь)), 4) ен (О 1) 40 4'Рь! Рх(4 - Х,ьт '-',' "' — —,'„( Ь(44~— 4- 4 ~~ — 1 Ь вЂ” а ьу сз ьвь $ ен(а,Ь), где У = 24„Ь = 1/У, Если )(х) ьп С'"' (л ) 6).
то можно получить разложение вида Рх ф = а,Ь4+ а,Ь', и, = 0(1), и, = — ~ ь' (х) ььх =- — — (ь'" (1) — ь'"' (0)). 4 6. Повышение порядка точности. Метод Рунге. Для квадратурных формул (по аналогии с предыдущим) можно получить асимптотическое разложение вида П Ц) -1л(1) — 3Ц) -а,Ь'+ а,)ь'+ а4Ь'+,. „ если 1(х) — достаточно гладкая функция. Прн атом а444~ ЗиаЧИтЕЛЬНО МЕНЬШЕ ~аь| (Ь 2, 4), ПОЗтОМу ПОВЫ- пение порядка точности квадратурной формулы весьма важно. Переходя к интегралам по х и учптывая, что к=.2)ьь 7т (д) —.- (2Ь)4у" $,), получим Е . числгнног.
пнтгп ировлниг. 8! Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шал, гани Ь, и Ь, соответственно и найдем выраязения Х (г( = л, =Ул,й и У (Д=Укл(11,7л,Л',=Ь,Л',=Ь вЂ” а. Потре- буем, чтобы погрешность для их линейной комбинации: Р ()) = аР (1) + (1 — а) Р (!') была величиной более высокого порядка по сравнению с лъ лл Р и Р Если для Р" =Рн имеет место формула вида Р" = 1"((1 — 1(/1 = а„Ь»+ а,Ь'+..., д ) р, „дл, Р =(а~ й+(1 — а)У лй) — ~(11 получим -л л лл лл Рл(!) = ар(аЬР + (1 — а) ЙР) + а,(аЬ~+ (1 — а) Ь.',) + ...
Выберем параметр а иа условия аЬ» + (1 — а) Ь', == О: а =- ЬР/(Й»л — Ь,"). Тогда имеем Р" (~) = аз (аЬ', + (1 — а) М) + ... = 0 (Ьч), Ь = !пал (Ь„Ь ), причем аЬ( -(- П вЂ” а) Ьл ( О. Так. если р = 2, а = 4, то Р (/) =- — алЬ,Йл '; ... — - 0(Ь~). Таким образом, прове- дя вычисления на двух сетках с зпагалш Ь, и Й.
геЬ„мы л, повысили порядок точности на 2 (на а — р) для У =- аУ + +(1 — а)У '. ы За!летим, что комбинируя формулу трапеции Ут»л»(11 и прямоугольника У~',р„н(!1 с шагом 2Ь, мы получим фор- мулу Симпсона Хс»„» с шагом Ь: лл лл ~с»мп (Л = » астра» (Л + 1»рлн У1 '=" =- — „, (/л + 4(, -1- 21л +... + 2~ля, + 41»л, + /лл), где Ь = (Й вЂ” а)/(2Ы. й(етод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неиавестен порядок главного члена погрешности (процесс Эйткени). 11редположим, что для погрешности имеет яй гл и. Питегполяцпя н численнов интегР!!Ровхниа место представление Х)"(/) агйа+ п,Ь'+..., !/ > р. так что )ь(/) )(/.) ) у ) Проведем вычпслеипя па трех сетках: Ь, Ь, Ь = рЬ, Ьэ =р'Ь (О ( р(1).
Определим сначала р. Прп этом пренебрегаем членом 0(ЬЧ. Образуем отношение /~! (/) )а' (/) !!", — Ьв 1 ре /1 ~г '=,'(,,' 1/)=,а-Ь„= р ( — р) =М п найдем р ж (п А )п —. 1 Б"(/) = 0(Ь'). 11онечпо, все эти рассуясдення име!от смысл прп соответствующей гладкости функции /(х). 7. Другие квадратурные формулы. Без нарушеяия общности можно считать у И вЂ” 1 /(х),г.
О (о",) Мы рассматривалп до спх пор квадратурпые формулы с заданными узламп (.г„): Ух (/) —..- ~~ сх / (х!). (2б) А=-о Зтн формулы точны для всех поликанов степени %. Гслп считать неизвестными не только с„по и узлы хп то х!он!- но требовать, чтобы квадратурная формула (26) была точной для всех полиномов степени 2Ь! — 1. Такая формула называется форврлой Гаусса. Требуя, чтобы для одночлепов 1. х, г-, ..., х', ..., л' формула была точной. Зная прпближе!шое значение р, можно методом Рунге, изложенным выше, повысить порядок точности.
Для зтоь. го образуем комбинацию Х = оУ +(1 — о) Х и выберем о так, чтобы оЬв! + (1 — о) Ь!,' = (о + (1 — о) р") Ь" =- О, т. е. о р"/(р" — 1) = 1/(1 — А). Тогда для погрешности ))" =У' — / получаем ь 3. численное интеГРНРОВлние л 1 1 х ' 1 зп 1-1 Ул[х ] = . С1,хд = ] х 11х т 1-1 1! О е о т -= 0,1, ...,2Х вЂ” 1, получим для узлов Ї весов 211!ос 2 уравнений с„+ с, ';-... + сл 1, г„х„с с,х, ( ... '- слхл =- 112, и, л! ! сах!! .'; с!т, '- ... + Слх!С == 1'(ьч + 1), с хе .-'; с,г!' -,.'-... —:; Сл.тт! — 1 (У -;- 1). !Л 11, ХЛЕ1, !Л 1.1 Общее число неизвестных равно 2Ю+ 2, т, е.
11'+ 1 неиз- вестных узлов и )т'+ 1 весовых мноееителей, Число уран- неппй также равно 2111+ 2. Можно доказать, что напи- санная система уравиеш!й имеет решение, Приведем простейшую формулу Гаусса при У 2: Ул (.1) - —,„' 1(..) . —,"-„1(~,); — '„' !(~1), где х.= ! ! ' ..
! ! Формулы Гаусса дшот хорошу1о точность прп Небольшом числе узлов. Гще одним примером является евадратурпая формула Чебышева, в которой .выбираются наилучшие узлы в предположении, что все веса равны. В етом случае т УЛ.У) == —,,«~ 1(11) А-1 Требуя, чтобы формула была точной для 1(х) =-х, х".. ..., х', получим 1Л! уравнешш для определения х„х„, ..., хх: ю -,'-1' Зти уравнения имеют решения при т 1, 2, ..., 7, 9, а при т 8 и вт> 10 не имеют вещественных норнен. Зд гл и. интввполяцня н числкннок инткгшшовэппа 1!рп ш = 3 формула т1ебышева имеет впд ' з~У~ ~ — —,, Ъг 2)+ У(,—., ) -'- у~ —., + —,)г 2)~. й 2) Подыптегральпая функция имеет экспоненцпальный характер: )(х) = се, т.
е. функция 1п)(х) линейка. Представим )(х) в виде /(х) =ехр(1п ((х)), проиктерполнруем 1п)(х) линейно па отрезке (х~-„х); )п1(х) = ' !п~;, + ' !пав, Д'~ Х4-1 и затем проинтегрируем по х от х;, до х,. Эта формула оказывается полеаной па практике. 3) Если !'(х) является быстро осциллирующей функцией. так что ее можно ааписать в виде )(х)= у(х) соз ых, где частота ы те 1 велика, то нрп вычислении интеграла можно воспользоваться следующим приемом. Сначала проинтегрируем по частям: ) (х) г(х =- ~ у (х) соз юх г(х- ю-1 =- — у з!и юх ы — — у (х) з!и ых Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
