Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(53) Перепишем уравнение (53) е вя;|е у;, — 2сов ау!+ у;, = О, 2сов а = 2 — )Лг!. (54) Об!нее решение этого уравнения имеет впд у, = г, сов |и + с, в(п (и. (55) Требуем выполнения краевых условии: у„= г, =- О, д,- г,в|п |!'а=О. Так как ищется нетривиальное решение. то с|выл н в1п 3!!а О, т. е. Ха = я!я (л! =0,1,2, ), а а„, тл/6' тяИ. Нз соотпо|пе|п|я 2сов и = 2 — 66! наводим ййв =- 2 (1 — сов а) = 4 в(ив —. а 2 ' (56) 4, лтв Х .== л!!! = —., Лпг —, Л Этому значению )„„соответствует собственная функция. у (1)=св1пля|гь с~О, и, (И, ( О, 1, 2, „6', (57) определеннан с точностью до произвольного постоянного гл, !. Рдзкостпые 1'Рлвнвпяя множителя. Нетрудш> заметить, что у, (1) .= с »!и лдтх, = с»!н л! = О, 1 =. О, 1, 2, у, ь,(!) = с е>и л(Х+ 1)х, = с з!и (л)Ух, + лх) = =- с»он лх! со»л1= ( — 1)у1(!), у;„„„1О) ( — 1)!у„,(!), ьч = 1, 2...., Х вЂ” 1, Следовательно, линейно пезависпмы лишь функции у„,(!) при и ~Ж.
Таким образом, найдено нетривиальное решенне (собственные функцнн у.,(1), соответствующие собственным значениям Х ). Выберем мпононтель с так, чтобы норма функцнб у.,(1) была равна единице: 1у„(1)1 =с1»(п люх!1 = 1, с)О. Для этого надо вычислить М вЂ” 1 л ))з)ил>лх>,'1 =- ~, Ьз!нелтха = —,. х Ь (1 — со» 2льчхз). 1==1 !х! Обозначая я = 2лглЬ п заменяя =- Ве е!"", найдем ж — ! л — 1 Ь соз 2лтхь = Вс ~~„Ье!аь .— Ь Ве 1=1 1-.. 1 соз 2лл>х! = сое яу Г'е — еехх == — Ь, ,>о Л-1 '1 (Л 1) Ь 1 Ът )»Ро лглхз 1 — — Ь сое '>лл>х 2 1-1 дь 2 ' 1»ш лтх!', = 1 !' у '1; следовательно, с =- )'2, Такнм образом, функция у„,(!) = )'2 зш ля>х; (58) Задача (88) является частным случаем задачи (8) с оператором Ау (1) = — у-„.„(!), Этот оператор, очевидно, нормирована к единице.
Собственные фупкцнп у,(д и у„,(!), соответствующие равным собственным значениям Х, и Ь.„ортогональны в смысле скалярного пронзведеппя Л-1 (У, Р) == ~ У!Р,)1. 2=-1 а ь пепи!тип млкспыуыл саыосо1ци!жсп п поло!ни<слеп, так как к — ! Поэтому все сказанное в п. 3 остается в спло п в дапиом случае. (:обствекиые эиачепия )., возрастают с ростом г, так ла яа как а!и —, в<в!и —., (г+ 1)(1 при гг-.Ж. !1апмекьа ., ла тисе собственное акачеппе равно ) =- —,е!Пт —,.
Пап! =- па болыпее собствеипое авачеиие равно )<т ! — —, сове "~ <<г ла ' , . ! л па ! Па так как <Оп — ', (Х вЂ” 1) = эпп( — , '— — ",,' ! .— соэ — ',, ./ мп 1 '<г Переписав )., в виде )., — л-~ — '. !,$=л)</2(п/4 п учитывая, что г!П$/с убывает и имеет минимум ирч 2 =и/1!. получасы )<! >(( при )« '1/2. Для ),т ! пчеем оценку )„-, ( '!/)<! и, следовательно, 1( <)., ( б</)1'-', У = 1, 2, ..., <Ъ' — 1. 5. Принцип максимума для рааио<тпь<к уравнений !. Принцип максимума и его следствия.
Для раэкостпык уравпекий второго порядка с положптельиымп коэффициентами Ьу< а,у, , — с,у, + (<.у, „ = — <, !'=1,2, ...,Л вЂ” 1,у„=-р„уг=рг, (1) а,>0. Ь<>О, с!>а,+)1,, 1=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, (2) имеет ыесто следующий принцип ыаксичуча.
Теорема 1 (принцип л!аксимума). Г!усть рпзностный оператор 1, определен !рор!<</.<ани ('(), (2). Если для <Г<уннции у, заданной на сетке <! и отличной от постоянной при ! = ! < <у — 1, вь!полнепо условие /у< > 0 (Г,у< с 0) при всех (=- 1, 2, ..., ГУ вЂ” 1, то эта функция не <возкет приникать наьмцольшего полоясите<!ьного (и<и<пеньи<его отрицательного) значения во внутренних уэ.!ах сетки. Дока аа тельство. Пусть Гу! > О () = 1.
2, ..., )(< — 1). Предположим, что теорема неверна п у! в ие- ьй гл, 1 Рхзностныг ГРлннгнпя котором внутреннем .узле (=-тч, 1» тв» Х вЂ” 1, достигает нанболыцсго положительного значения у; == шах у,-:= Ф Ос;,л' Мь ) О, Так как у, Ф сопз(, то найдется внутренний узел (ь ((„моткет совпадать с тв), в котором У;„= У, = т)т, ) О, а в одном из соседних узлов, например, в узле 1=(„— 1, выполняется строгое неравенствоу;,-т < у;„. Запишем выражение для Еу, в виде 1.у~ = Ь~(у,ч~ — у;)— — а,(у, — У;,) — (с, — и, — Ь;)уь В узле т = 0 имеем ьутз = Ь', ',у;+г — у',) — ать (у~ь — у',-т)— — (с;, — а;, — Ь;,) ут„» О, что противоречит предположению Еу, > О для всех ! = 1, 2, ..., тт' — 1, в том числе для (= т',, Первое утверждение теоремы доказашт.
Второе утверждение доказывается аналогично (достаточно заменить у; на — у, н воспользоваться только что доказанным утверждением). Следствие 1. Если выполнены ус.товия (2), 1,У, ~ 0 П='1, 2, ..., Ж вЂ” 1), !т>0, у ~0, то У~О П= = О, 1, .... 1ч'). Если 1У,~О, уь~О, у, ~0. то у,»0 И=О, 1, .... Д). Доказательство.
Пусть 1У, < И и у, » О хотя бы в одном внутреннем узле 1== т„;тогда у, достигает наименьшего отрнцателыюго значении во внутреннем узле, что невозможно в силу принципа максимума. С лед ст вне 2. Если ср, ~ О, р< ~ О, рт ~ О, то ретт~ение задачи (!) — (2) неотрицательно. у, ~ 0 (( = О, 1,..., Л), Сл едс,тв не 3. Если. выполнены условия (2), то задача 1,У, О, ( 1,2, ...,)У вЂ” 1, У„=О, У,=О (3) имеет только тривиальное ртииение и задача (!), (2) однозначно разрештьтта при .твоих т('ь р„р,. Доказательство, Предполагая, что решение у; вадачн (3) отлично от нулн хотя бы в одной точке т — — („„ мы приходим к противоречию с нршщипом максимума: если у, »0(у; »О),то у, достигает положительного наибольшего (отрицательного наименьшего) апачепня в некоторой внутренней точке 1= („, что невозможно. Следовательно, у, = О. Те ор е м а 2 (теоре.на сравнения).
Пусть у, — решение задачи (!), (2), у, — решение зидачи Хут — трц 1 1 2,...,Х вЂ” 1, у, р„уч=-р„ 6 ь пгинцип ылксиытмв и выло.)мены условия (Ч:) - (ь (р !-р, !р !-))е. Тогда елрпведлива оценка (у,! ~уь дг)я нсех ) = О, 1, ..., Х Доказательство. В силу следствия 2 имеем у)Э «О. Для разности у; — у, и суммы у;+ у, получаем уравнение вида (1) с праными частями )р, — гр,«О, р, — р, «О, р,— ре«О к )р,+)р,«О, р,+!)~«О, р.+р «О соответственно. Тзк как )р, ~-<р, = О н ))„~ р «О Ъ= 1, 2), то в силу следстння 2 у< — д, «О, у, + у, «О, откуда следует — у, < у, ( дь )у,! < д„ что и требоналось доказать. Функцпю д; называют иожорпнтой для решения знлачя (1), (2). 2. Оценка решения краевой задачи, Решение краевоп задачи (1), (2) представим в виде суммы у; = — У1' -)- у' ()) (е) где у; — решение неоднородного уравнения с однород- (1) ными краевыми условиями: 1лд — )рь )=1, 2...,, ))) — 1, у, дь О, (4) а У) — решение однородного уравнения с неоднородны<е) ми краевыми условиями: Ьу;=О, )=1, 2, ..., Х вЂ” 1, д„=))1, уь-И).
(5) Докамеем, что для у; спранедлина оценка ) -... [и гпах ) у'; ! ( )па х (! р„(, ! !), !). (6) ве)гл 11уи)ь у, — решение задачи Ьу, - О, ( = 1, 2, ..., Ю вЂ” 1, у д. = р Р =))ах(!Р~! (Р~!) си! Тогда по теореме сравнения !У, )- )У,!, а в силу принципа максимума )пах (у,! ~)ц так как у,«О может доев)ел стнгать наибольшего положительного значения тотьма на границе, т. е.
при ) =О пли ) ))). Нетрудно доказать, что нелпчниа шах (у;! является егьзт кормой. 1(орму принято обозначать спмнолом ))уре. Таким образом,мыполучилиоценку 1у"')!, "шах (!р,(, !р,!), гч. 1. Разиостнык углвнсння Т е о р е м а 3, Пусть выполнены условия (а,! > О, )Ь,! > О, (7, = (е,! — (а;! — )Ь,! > О, ( = 1, 2, ..., Д( — 1. (7) Тогда для решения задачи (4) справедлива оуенна )!у!'<!! р'д(! (8) Доказательство.
Для доказательства псреш(шом (4) в видо г у, = а у,, + Ь у,, + (О. ( 1') Пусть !у,! достигаот наибольшего значения /у(р)>0 при (=('„(0<(р<(р), так что)у,)а /у,„! ирп любом ( = О, 1, ..., Х Тогда пз (4 ) и(ш ( = (, слс;(уст )с,„!!у,р!=!а;,у„„,+б,„у,, (-';(рч)~<)а, )!у...!+ +!Ь.! . !- !ЧП.!<(!"„!+!Ь„!))у'.!+!'!.! ! (г, (!ер ! !а,„! — !б, !) !у,„!(!((.,р!, !у,„!( — ( — ! . 'о Тем самым опенка (8) доказана. Замечание. Если условие д,=е,— а,— Ь,> О пли (7, =- )с,,' —,'а,! —,'б,! > 0 ие выполнено, например, д; = с, — а, — Ь, > О, а, > О, Ь, > О, ( = 1, 2..., ("г' — 1, (9) т, е.
(7, мо(кет в некоторых узлах обращаться в нуль, то теоремой 3 пользоваться нельзя. 1) атом случае для оценки решения у; задачи (4) можно поступать так. Представим у, и виде суммы у, = и,+ (е» где (а, — решение задачи р 7 (и, = Ь,(швм — ир,) — а (иь — иб,) = — (ы ( = 1, 2, ..., (г( — 1 (гр = юр = О, (10) Тогда и, определяется из условий Ли, = Ьр(и„.( — и ) — а,(и, — и,,) — И,и, = — д,и „ 1, 2, ..., ('г' — 1, и, - ив = О.
(11) В атом можно убедиться, складывая почленно уравнения (10) н (11). Функцию и(, можно оценить непосредствеи- 1 5, пгпнцип чхкспигмх ио (см. гд. 1Ч, 1 3), иаиисав со в явном виде, а для оценки и, иаи понадобится Теорема 4 Для рв~иеиил задачи (11) лри условиях (9) справедлива оценка 1иИ =, 1ий(,. (12) Д о к а з а т е д ь с т в о. Если д, — = О, то в силу следствия 3 и,=. 0 л оценка (12) выполнена. Пусть И;Ф 0 хотя бы з одной точке. Построим мажораиту г, как решение задачи Ы,= — о),'га(, (=-1, 2, ..., Ж вЂ” 1, го=ух=-О.
Пусть й,~О достигает наибольшего значения прн 1 = й; тогда г;„;, — «,,е-. О, и;о в и;, ,)О и из (4) следует "'о' о ач о'о ("'во-~ "'о) + а'о ("о " о-о) + о(~„' о '= 'о ~ 'о!' Гели А,)0, то~:,„~(ж,,(, и мы сразу получаем оценку (12), так как (г; ! ( ге Если д;„=.. О, то уравнение (11) принимает впд — Ь,„(г; ь, — и|о) й- и, (г;о — г;,,) .= О. и из него следует,что со„~ — ио, =.г;,.Так как й,Фсопз(,то существует такая точка 1 = (о в которой ио:.= г;, а в со'о' седкей точке, например ! — (, -~- 1, г;,„, < и;;, тогда здесь о)й ~ О, п мы получим рассмотренный выше случай: г;, =-. 1',г)й(/ и>~„((), '~а(о.
3. Оценка ре>пения разиоетиого уравнения при по. мощи формул прогонки. Для случая, когда (и=. а,оо т. е. когда оператор йу, является самосопряжеяпым, можно оценить решение задачи (4) прп помощи формул правой прогонки. Уравнение (4) иам удобно записать в форме Лу' = (ау-); — о('у' = — В (-:1, ..., У вЂ” 1, у,=О, у, =-О, а,)О, о(; О. Перепишем его в обычном виде: а,у;,— с,у~+а„,уоы — — — Ь'орь у, ух=О, с, а„+а,.„+!~Ма а;)О, (=1, 2,, Х вЂ” 1, по Гл. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
