Mоделирование процессов и систем в Matlab (966709), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если комплексную амплитуду (5.9) представить в экспоненциальной форме Х'( )= — " ' 2 (5.11) то величина а будет представлять собой амплитуду гармонической составляю- щей с частотой ~„= лтг, а тр„— начальную фазу этой гармоники, имеющей фор- му косинусоиды, то есть исходййи процесс можно также записать в виде (5.12) который, собственно, и называют рядом Фурье. Для действительных процессов справедливы следуюшие соотношения: КеХ( — и) = ГсеХ(т); 1твХ( — п2) = -1шХ(нт), (5.13) то есть действительная часть спектра является чептной фунтсцией частоты, а мни- мая часть спектра — нечетлной функцией частлоты. Разложения (5.12) и (5.8) позволяют рассматривать совокупность комплексных амплитуд (5.9) как изображение периодического процесс» в частотной области. Основы спектрального и статистического анализа В основе спектрального анализа лежит теория Фурье о возможности разложения любого периодического процесса с периодом Т = 2фто = 1/~ (где от — круговая частота периодического процесса, ау — его частота в герцах) в бесконечный счетный ряд отдельных гармонических составляющих.
Напомним некоторые положения теории спектрального анализа. Прежде всего, любой периодический процесс с периодом Т может быть представлен в виде комплексного ряда Фурье: х(Г)=,~„,Х (т)е~~ "~~~ = 'т Х (ш)ен 1В2 Урок Б ° Цифровая обработка сигналов Желание распространить такой подход на произвольные процессы, в том числе и непериодические, привело к введению понятия Фуроа-изображения в соответствии со следующим выражением: ХЦ) = ]х(г)е ~~~~~~ггг.
(5,14) Этот интеграл несмотря на его внешнее сходство с выражением (5.9) для комплексных коэффициентов ряда Фурье довольно сушественно отличается от них. Во-первых, если физическая размерность комплексной амплитуды совпадает с размерностью самой физической величины х(г), то размерность Фурье-изображения равна размерности хф, умноженной на размерность времени. Во-вторых, интеграл (5.14) существует (является сходящимся к конечной величине) только для двухсторонне затухаклцих процессов (то есть таких, которые стремятся к нулю как при г -++го, так и при г — + о). Отсюда следует, что его нельзя применять к так называемым стационарным колебаниям.
Обратное преобразование Фурье-изображения в исходный процесс х(г) в этом случае определяется интегралом (5.15) который представляет собой некоторый аналог комплексного ряда Фурье (5.1). Указанное серьезное противоречие несколько сглаживается при численных расчетах, так как в этом случае можно иметь дело только с процессами ограниченной длительности, причем сам процесс в определенном диапазоне времени должен быть задан своими значениями в ограниченном числе точек.
В этом случае интегрирование заменяется суммированием, и вместо вычисления интеграла (5.14) ограничиваются вычислением суммы (5.16) Тут, по сравнению с интегралом (5.14), осушествлены такие замены: О непрерывный интеграл приближенно заменен ограниченной суммой площадей прямоугольников, одна из сторон которых равна дискрету времени Лй с которым представлены значения процесса, а вторая — текущему значению процесса в соответствуюШий момент времени; О непрерывное время г заменено дискретными его значениями (эг- 1)И, где т— номер точки от начала процесса; О непрерывная частота ~ заменена дискретными ее значениями (и — 1)ф; где и— номер значения частоты, а дискрет частоты Ьг = ЦТ, где Т вЂ” промежуток времени, на котором задан процесс; О дифференциал ай заменен ограниченным приращением времени Лб Спекзэалькый и с)а)истический анализ п)»оцессоа Если обозначить дискрет времени ЬГ через Тз, ввести обозначения х(ш) = х((т- 1)ЬГ], Х(й) =Х[(й-1)ЬД а также учесть то, что число и точек, в которых задан процесс, рюшо Т Т 1 ЬГ Т, Ь.йс (5.17) то соотношение (5.15) можно представить в более удобной форме: а) Х(я) =Т,2 х(т)е (5.18) Как было отмечено в разделе «Векторная фильтрация и спектральный а)»ализа урока 1 (формулы (1.2) и (1.3)), процедуры МАТ1.АВ г)г и ) ггс осуществлякгг вычисления в соответствии с формулами: л -).
-(»и-!)(ьз) у(я) =.,~ х(ш)е (5.19) 1 " ) „'("'"))(а ') . а» х(т)»~~у(Д)е л на ) соответственно. Сравнивая формулы (5.18) и (5.19), можно сделать вывод, что процедура»» ( находит дискретное Фурье-изображение заданного дискретного во времени процесса х(Г), деленное на дискрет времени; у(я) = — - --. Х(я) (5.21) Тз Осуществляя аналогичную операцию дискретизации соотношения (5.9) для ком- плексной амплитуды Х (я) получим Тз л -) -.(а-))(и-ц 1 п -) (а-)ниц) (ь) . з» ь» К (7()=--ч~» х(т)с " =- 2 х(т)е " =-У---, (5.22) Т н н Из этого следует, что комплексный спектр разложения стационарного процесса равен деленному на число измерений результату примснсния процедуры»»" ( к за.
данному вектору измеренного процесса. Если же принять во внимание, что для болыпинства стационарных колебательных процессов именно частотный, амплитудный и фазовый дпею(рь) незавнсят отллнтелыгостк Т.нодкретщ)й ) и скретл;времени-2,, то надо также сделать вывод, что для спектрально)о Зйатппза стацио)»арпыж црц)(ассов дамба)аде целесообразно применять йроцййуру.(11„и затем возвращаемьш ею результат делить на число точек измерений. Перейдем к определению спектральной плотности мощности (СПМ), или, сокращенно, просто спектральной плотности (СП). Это понятие определяется как 184 Урок б ° Цифровая обработка сигналов Фурье-изображение корреляционной функции Ягг( с) и применяется в основном для двух одновременно протекающих стационарных процессов х!(Г) и хг(г).
Вза- имная корреляционная функция (ВКФ) двух таких процессов определяется со- отношением: г!г Кгг(т) = 1пп — )хг(г)хг(г+ т)й, (5.23) г-н Т .-и г То есть ВКФ является средним во времени значением п оизве ения пе вой функции на сдвийутую относительно нее на время задержки с вторую функцию. Итак, взаимная спектральная плотность (ВСП) двух стационарных процессов может быть определена так: 5гг(/) = ~йгг(т)е !~ ~! с(т.
(5.24) При числовых расчетах, когда оба процесса х! (г) и хг(г) заданы на определенном ограниченном промежутке времени Т своими значениями в некоторых и точках, разделенных дискретом времени Т„формулу (5.23) можно трансформировать в такую: 1 Ягг(1) = --~' хг(т)хг(т+1 — 1), 1= 1,2, ..., и/2, (5.25) -1, или в несколько более простое соотношение 2 л!г )с!г(1) = — ) хг(т)хг(т+1-1), 1= 1,2.", и/2, и и=! (5.26) а вместо формулы (5.24) использовать н/г -! ~'!г-г><!-с> 5!г(к)=Т, 1,'Л!г(1)е ", Й =1,2, ..., и/2.
1=! (5.27) Лиг(Й) =. Т,< — уг(Й)~ у!(Й), а = 1, 2, ..., и/2, 12 '!и (5.28) где черта сверху означает комплексное сопряжение соответствующей величины. С учетом формул (5.21) и (5.22) выражение (5.28) можно представить также в виде 5!г(й) Хг (/!)Х! (!1). (5.29) Из этого следует, что ВСП двух процессов при любом значении частоты равна произведению значения комплексного спектра второго процесса на комплексно- сопряженное значение Фурье-изображения первого процесса на той же частоте. Формулы (5.21), (5.22) и (5.28) являются основой для вычислений в системе МАТ?.АВ соответственно Фурье-изображения процесса, его комплексного спектра и ВСП двух процессов. Если теперь подставить (5.26) в формулу (5.27) и изменить в ней порядок сумми- ровапия, то можно прийти к такому соотношению между ВСП и результатами преобразований процедурой ! ! 'с заданных измеренных значений процессов: Спеитрвльный и статистический анализ процессов 185 Использование процедуры гй Чтобы применить процедуру ТТЬ для преобразования процесса, представленного во временной области, в его представление в частотной области, нужно, как было отмечено в разделе «Векторная фильтрация и спектральный анализ) урока 1, сделать следующее: О по заданному значению дискрета времени Тз рассчитать величину Гвах диапазона частот (в герцах) по формуле Г(лзх=1/Тз( ) О по заданной длительности указанного процесса Т рассчитать дискрет частоты ((Т по формуле б/=1/гТ; ) О по полученным данным сформировать вектор значений частот, в которых будет вычислено Фурье-изображение; последнее проще (но не правильнее) сделать таким образом /1=0: й': Гл(ах, В результате применения процедуры ТГЬ будет получено представление процесса в частотной области.
Обратная процедура, ) ТТЬ, если ее применить к результатам первого преобразования, позволяет восстановить исходный процесс во временной области. Однако процедура ТГЬ не дает непосредственно Фурье-)ззображсння процессд,, Для *6 я»* Фур - Бр~»,'у д * р кие операции: О к результатам действия процедуры ТТЬ применить процедуру ТТ( зЬ) ГЬ,'которая меняет местами первую и вторую половины полученного вектора; О перестроить вектор частот по алгоритму Г=-Глвх/2;0Т:ниах/2,', Фурье-изображение прямоугольного импульса Сформируем процесс, состоящий из одиночного прямоугольного импульса. Заддадим дискрет времени Тз-0. 01, длительность процесса Т=100, амплитуду импульса А=0, 75 и его ширину и=0.5: Результат показан на рис.
5.23. Тз 0.01: Т - 100; А = 0.75; и - 0.5: С = 0 : Тя ; Т; у " А«сестра)я(г.и); р1оыт(1:100), у(1:100)), дг(0, яео(0св.'Гал05тае',12) (1'ь1е('Процесс из одиночного лряиоугольнога иипульса'): х1аЬе1('зреия (с)'): у1аЬе)('У(С)') Применим к вектору у процедуру ТТЬ и построим график зависимости модуля результата от частоты. При этом графики в частотной области удобнее выводить с помощью процедуры зЬед( (рис.
5.24): Х - Я/С(у): От - 1/Т; рвах" 1/Тя; Т - 0; дт: Еивх: а - еЬя(х); ятеи(т.а) . 0гза. яег(йса, ' Голс51 ге' . 12), С((1е('Модуль ЕГТ-преобразования гряиоугольлого иилульсв'); х(зЬе1('Частота (Гц)'): у1аЬе1('Модуль') 186 Урок Б ° Цифровая обработка сигналов Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
