Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Снизу полученной кривой получится двойная нгтриховка. Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры К и Т» должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей К и Т».
Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если 151 КРИТКРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА приравнять нулю свободный член, а„= О, что дает условие К = О. Это условие выполняется на осн ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при аь = О, что дает условие Т» = О. Это условие выполняется на оси абсцисс. Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Тт получена окончательно.
Для лзобых значений К и Ту можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемая зтими значениями параметров, в область устойчивости. в 6.5. Критерий устойчивости Найквиста В главе 5 было введено понятие передаточной ' функции рааомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в вида л<р> ь р.+ьр +...+ь (6.28) О(р) ар"+ р" '+" +ъ причем степень числителя не может быть вылив степени анаменателя, ж(п. При подстановке р=гю получается частотнаа передаточная функиия разомкнутой систелиа Ьр(1ю) = — () =А(а) е"мш=ТТ(ю)+ур(ю).
Оа ) (6.29) Частотная передаточная функция рааомкнутой системы представляет собой комплексное число. На основании рассмотренных в главе 4 частотных характеристик смысл ее можно объясвить следующим образом (рис. 6ЛЗ). Представим себе систему регулирования в разомкнутом состоянии в виде некоторого авена с передаточной функцией И"(р). Если на вход атого звена Ряс. баб. Ряс.
б.14. подавать сигнал ошибки в виде гармонических колебаний х == Хм„з1п юь с амплитудой Х,„и частотой ю, то в установившемся режиме на выходе регулируемая величина будет изменяться также по гармоническому закону у = ища, з(п (вь + $) с амплитудой У „„ той х1е частотой ю и фазовым сдвигом ф Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величина А (а) = Хораз а аргумент — сдвиг фаз ф Если изменять частоту входного воздействия от — со до + сю и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место зтих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис.
6.14). Ветвь атой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, является зеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. 152 кгиткгии устойчпвости На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например оь, ем юа и т. д.
Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые нокааывают направление возрастания частоты ю (рис. 6.14). В реальных системах всегда удовлетворяется условие т ( и. Поэтому при частоте, стремящейся к бесконечности, модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и точка с частотой ю — ~ со попадает в начало координат. Сформулируем достаточные и необходимые требования к амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы, при выполнении которых система автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой.
Ограничим вначале задачу и будем рассматривать только такие передаточные функции (6.28), которые соответствуют статическим системам. Это Рнс. 6.15. значит, что знаменатель (6.28) не будет иметь в качестве множителя опера- тор р. Кроме того, будем пока рассматривать только устойчивые в разомкну- том состоянии системы. Это значит, что полюсы выражения (6.28), т. е. корни уравнения срр" +су" ~+...
+с„-,русл =О, (6.36) лежат в левой полуплоскости. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию И'~ (р) — 1-~- И' (р) (6.31) где числитель )) (Р) — ' сер + п~р" ~ +... + а„у + аа представляет собой характеристический полипом системы. Сделаем подстановку р = )ю и найдем комплекс (6.32) И', (ую) =— .0 0ы) =ЕВ )' (6.33) Будем теперь изменять частоту от — оо до + оо и изобразим получившуюся амплитудно-фазовую характеристику И'~ Цю) на комплексной плоскости (рис. 6 15, а). Рассмотрим результирующий угол поворота вектора И', ()ю) прн иамененни частоты от — оо до + ос. Этот угол представляет собой изменение аргумента (6.33), который по правилу деления комплексных чисел равен рааностн аргументов числителя ф~ и анаменателя фа.
(53 $ ел) КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИАЙКВИСТА Числитель (6.33) представляет собой характеристический комплекс. Если все корни характеристического уравнения лежат в леной полуплоскости, то при изменении частоты от — оо до + оо «ргумеят Э ()в) язмеяится яа величину ф = пп, где и — степень характеристического полииома. При построеяии кривой Михайлова реаультирующий угол поворота был равен ф, = и —, яо там частота изменялась от 0 до +ос. Знаменатель (6.33) представляет собой комплекс той я<е степеии и, причем по предположению все корни (6.30) лежат в левой полуплоскости.
а) Рис. зяб. Поэтому результирующий угол поворота вектора ч ()в) при измеяеиии частоты от — оо до +ос будет равен фз =- пп. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворота вектора И', (1в) будет равен нулю: ф = ф1 — фз = О.
Зто озиачает, что для устойчивой в замкнутом состоянии системы годограф вектора И', ()в) не должен охеатмеать начала координат (рис. 6 15, а). Частотная передаточная фуккция И' ()'в) отличается отвспомогательяой функции И~) ()в) па единицу. Поэтому можно строить амплитудно-фааовую характеристику разомкнутой системы по выражеиию (6.29), что проще. Но в этом случае амплитудяо-фазовая характеристика',не должна охеатыеать точку с координатами ( — 1, )0). Зто является достаточным и необходимым условием того, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии (рис.
6.15, б). При определении устойчивости достаточно построить амплитудяо-фазовую характеристику только для положительных частот, так как ее ветвь, соответствующая отрицательным частотам, может быть легко получена зеркальвым отображением отлосителько оси вещественных. На рис, 6.$6, а изображен случай так кззываемой абсолютно устойчиеой системы. Зтот термин озпачает, что система остается устойчивой при любом уменьшепии коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы может быть представлека в виде И;( ) )сП+д~-~р-1-".+пор ) ~+с„,р+...-~с„р 161 кгнтгвпн устоичявостл 1гл, В Нетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления К приводит к уменьшению модуля (6.29), а это в случае, изображенном на рис.'6.16, а, не может привести к охвату годографом точки ( — 1, 70).
На рис. 6.16, б изображен случай так называемой условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, так и уменьшение общего коэффициента усиления К мехмет привести к охвату годографом точки ( — 1, 10), что будет соответствовать неустойчивости системы в аамкнутом состоянии. На рис. 6.16, в изобраяген случай, когда система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку ( — 1, 10), имеет место равенство Иг(1ю) = — 1 + )О, что может быть записано в виде 1 + И' ()ю) = О. Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, которое обращается в нуль нри подстановке р = ую.
Таким образом, чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения. 8 На рис. 6.16, г изображен случай неустойчивой системы. х Обратимся теперь к передаточной функции разом- 3 кнутой системы, соответствующей астатизму первого ,Ь порядка. В этом случае передаточная функция может Ю быть изображена в виде Ит г ~о (1+ )) я+...
+ 2)е Ф") х Р(1-~-С„-,Р+... +Сел" ~) Будем предполагать, что все корни знаменателя передаточной функции (кроме нулевого корня р = 0) 3 лежат в левой полуплоскости, т. е. в разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой. Лмплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке ю =- О. В этой точке модуль Л (0) -~- сю, а фаза делает скачок на 180'. Для получения определенности в ходе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отяести нулевой корень знаменателя передаточной функции И'(р) либо к левой, либо к правой полуплоскости корней (рис. 6.3). Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя И' (р) будут расположены в левой полуплоскости. Для выполнения сказанного поступают следующим образом.
При изменении частоты от — оо до +со происходит движение на плоскости корней вдоль оси мнимых снизу вверх (рис. 6.17). В начале координат расположен нулевой корень. Обойдем этот корень по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева.
При движении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная р меняется по закону р .= Рей, где р -~ 0 представляет собой радиус полуокружности, а р — аргумент, меняющийся от — —, до + — '. При этом передаточная функция И'(р) 2 ' 2 ' может быть представлена в виде )У (р) — е — Е-)Ч = ДЕЯ-Э1, Р Р где Л -~- оо, а аргумент ( — ~р) меняется в пределах от + — ' до — — ', 2 2 ' 155 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАИКВИСТА в 6,5) Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной П я) плоскости пв часовой стрелке на угол, равный я (от — до — — ), что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
