Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование. Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (6.9) в виде произведения аэ (р — рс) (р — рз)...

(р — р„) = О, где р„..., р„— корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что а, ) О. Зто всегда можно выполнить умнолсением уравнения на пикус единицу. В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. рс —: — ас, рз = — аз и т. д. При этом получим пз (р + ас) (р аэ) ° ° ° (р + а„) = О. Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины а, )О, аз )О и т. д., нельзя получить отрицательных величин.

Прн наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например р, з =- — а ~ 1(1, результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь внд (р + а — 1()) (р + а + 1()) =- (р + а)' + ()з, Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положителысости Всех коэффициентов характеристического уравнения. Пмея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков.

В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения. 5 6.2. Критерий устойчивости Гурвнца Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Зта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью. Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения аадачи, использование его в практике является неудобным.

Поатому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сфор- 110 Бгпткгнп устойчивости [гл. 6 мулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин. Ниже критерий)Гурвипа приводится без доказательства. Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов: в[.

'[[з аь.: .. 0 0 аэ аз( а , ... 0 0 0 а! аэ ... О 0 (6.11) 0 а аз .0 0 [ 0 0 0 ... а„, 0 О 0 О ... а„, аа![ Эта таблица составляется следующим образом. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а! до а„. Кая'дая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше пуля пли больше и, на месте его пишется нуль. Критерий устойчивости сводится к тому, что при аэ )0 должны быть больше нуля всо и определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составля[отся по следу[ощему правилу (см. (6.11)): йо —.— а, ~ О, (6.12) (6.13) а, аз а,~ оэ лз лз( ) О, (6.14) Лз О а! а.,! Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом: Л„= а Л„! >О. (6.15) Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию а„) О, т. е.

к положительности свободного члена характеристического уравнения. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: Л„= О, при полоягительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается па два условия: а„= 0 и Л, ! =- О. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическан граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

о о.ш кгпткг>>й устойчивости Гхгвицо / Раскрывая оп>ределители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Турвица, можно получить в ниде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков. 1. Уравнение первого порядка аор + а, = О. Для этого уравнения критерий Гурвица дает ао ~0.

Л> — — а, )О, т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. 2. Уравнение второго порядка аор' !- а,р + аз --- О. Для этого уравнения критерий Гурвица требует ао )О, Л, ==а, О. Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: аэ '- О.

Таким образом,и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. 3. Уравнение третьего порядка а,р' + а,р' + азр + ао = О. Для этого уравнения получаем условия ао )О, Л> =а> )О, а> аз Л.:=-~ ~=-а,а,з — аоа,)0. ~ ао аз! Третий (последний) определитель Ло дает условие ао ) О.

Условие Лз )0 при ао ) О, а, ~ 0 и ао '-~ 0 монгет выполняться только при аз ~ О. Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами: а>аз ) аоао. 4. Уравнение четвертого порядка аэро + а>ро + ахро + аар + ао - — — О.

Е1а основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия а, (а,аз — аоа,) — а,а', ->О. 5. Уравнение пятого порядка а,р'+ а,ро+ а,р'+ а,р'+ а,р+ ао = О.

[ел. з $42 Вриткш1П устойчивости Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия: аеаз — азаз ) О, (аеаз — аваг) (аза, — а,аз) — (аеав — аоаг) ~0. Как видно, уже для уравнопия пятой степени условия устойчивости по критерию Гурзица получаются достаточно громоздкими.

Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого ф гтг еег порядка. 6Ю СУ7 Р Я Существенным недостатком крите- рня Гурвица является такнее то, что ае-г,У аг для уравнений высоких порядков в > лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. егг е7г 7, е7г «г При этом в случае неустойчивой системы Рр е,р) критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. А~ ~е е иг Ото обстоятельство привело к поискам ееегр других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике. Рзс.

6.4. Для илл1острацин применения кри- терия Гурвица рассмотрим притер на опроделепке устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы: где и = с, — сз — ошибка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя: ° е з(Р) =- и„ и, 1+ттР ' где 7е,— коэффициент усиления и Тг — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д): где Йг ~ ~ — коэффициент передачи двигателя по скорости, а 7м-злектро- рвд . в.еез механическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением: Ц 4 (Р) йе' сд Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна пронзведе.

143 КРИТБРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА 6.33 нию передаточных функций отдельных звеньев: К И (р) И '(р) '(р) '(р) '(р) РИ+ттр) (1-сг„р) ' Г 1 Ч где К=.к,кгкзк, ~ — 1 — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи. ! еек .( Характеристическое уравнение: 1 + И' (р) =- О. После подстановки И'(р) получаем Т„р' + (Т + Т ) р' + р + К = О. В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок.

Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К ) О, что будет при правильном .огласовании направлении вращения двигателя со знаком рассогласования. Дополнительное условие а,аз '->ага„накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов (ае =- ТТТ,, ае — — - Тт + Т,„аз = — 1 и а, = К) к неравенству 1 К( — + —, т т которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Характеристики

Список файлов книги