Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так, например, для кривой, показанной на рис. 6.9 и соответствующей и =. 3, результирующий угол поворота Отсюда имеем — — = 3 — — 1я в 2 и число корней в правой полуплоскости 1 =- Наличие границы устойчивости всех трех по кривой Михайлова следующим образом. В случае границы устойчивости первого ствует свободный член характеристического Михайлова идет из начала координат (рис.
6.10„а). При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, т. е. характеристический полинам, обращаетсн в нуль при подстановке Р =- 11еа: 2. типов может быть определено типа (нулевой корень) отсутполинома а„ = 0 и кривая В ()ю~) —. Х (1о~) + (У (о)~) =- О, (6.24) откуда вытекают два равенства: (Р 2г У(100) =О. ,С1 У и Это значит, что точна 1о =- 1с, на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис. 6.10, б). Рнс.
630. При этом величина ас есть частота незатухающих колебаний системы. Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рнс. 6.10, в. При этом коэффициент а, характеристического полинома (6.16) будет проходить через пулевое значение, меняя знак плюс па минус. Необходимо помнить, что все остальные корпи характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.
Графически зто вырая1ается в том, что в первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова Около начала координат (рис. 6.10), а в третьем случае при малом аа -1 О кривая Михайлова должна удовлетворять критерию устойчивости. Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной в предыдущем параграфе следящей системы (рис, 6.4). Из полученного характеристического уравнения определяем характеристический полипом .О (р) =- Г Т„р' + (Г„+ Г ) р' + р + Х 148 КРИТЕРИИ УСТОНЧИВОСТИ [гл. о и характеристический комплекс ту ()[о) = — К + [Оэ — ю (Ту + Тл) — )и ТуТИ. Вещественная и мнимая части: Х (ю) =.
К вЂ” юз (Ту + Тя), У (оз) = ю — юзТУТ, . Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.11. Найдем условие устойчивости из требования чередования корней О =-. озз ( озз ~ юз. Корень озз находится из уравнения Х (ю) = О: К Отсюда имеем первое условие устойчивости: К О. Корень вз находится из уравнения У(оз) ==О: 1 з'= Рас. 6.11. вие озз ( озз, получаем Подставляя эти значения в требуемое условторое условие устойчивости системы 1 К( — + —, т, т„ ' которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица. $ 6А. Построение областей устойчивости. 1Э-разбиение При расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров ка устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т.
е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построепие областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров, Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров.
Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, у[ея<ащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Ксли устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, ленгащих в этой области. Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости.
Для границы устойчивости первого типа это будет равенство а„=- О. Для границы устойчивости третьего типа — равенство ао == О. Для получении условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости. Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица.
В этом случае колебательной границе ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ. П-РАЗБИЕНИЕ 149 з влу устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: Л„, =- О. Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова, Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: В (уа) =- О, т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат. Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулированин А и В входят линейно в характеристический комплекс.
Тогда для граяицы устойчивости колебательного типа уравнение АУ (ув, А, В) == О распадается на два уравнения: Х(а, А, В) =О, ( У(в, А, В) ==О. / (6.26) Здесь величина в дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту гармонических колебаний системы. Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется УУ-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых В-разбиения, соответствующая границе устойчивости.
Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых АУ-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения а, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.26): дх дХ дА дУУ дУ дУ дл дУУ (6.27) Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа.
При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр  — по осн ординат вверх. В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для атой системы было получено характеристическое уравнение т,тк р* + (т, +т„)зр + р + К = О. Р (уа) =' К + уа — в' (Т +Та) — уа'Ттт . Уравнения, определяющие границу устойчивости, Х =- К вЂ” в' (Т, + Т„) =- О, у = ., азт,т„= о. Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Тн является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Т..
Характеристический комплекс кРитеРии устойчивости [»л. а Решая их совместно относительно параметров К и Т, получим 1 Т = — „ тмм К вЂ” — —, + ТмО)а. 1 Тм Задаваясь затем различными значениями о1 в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров Таблица 6Л Рис. 6.12. и составить табл. 6А, одинаковую для положительных и отрицательных частот. По полученным данным строим кривую В-разбиения (рис. 6А2), Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами К = — при ю = 0 и Т» = 0 тм при ю -+ со. Длн нанесения штриховки найдем знак определителя (6 27). Необходимые для этого частные производные будут при А =- К и В =- Т»1 дХ дХ вЂ” =- 1, — = — о1а, дК ' д», дУ ду — =- Π— = — 1о'Т дК ' дТ» Определитель получается равным 1 — 1оа и о137 Π— о1аТ Для отрицательных частот, т.
е. при изменении частоты в пределах от — оо до О, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от — ао до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой. Для положительных частот, т. е. Ири изменении частоты в пределах от 0 до + со, полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до + оо) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
