Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Сделаем теперь два замечания, касающихся использования для определения устойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы. 3 а м е ч а н и е 1. В случае мпогоконтурной системы регулирования размыкание ее для получения передаточной функции разомкнутой системы Рсгс. 6.24. можно делать, вообще говоря, в произвольном месте. Рассмотрим, например, систему, структурная схема которой изображена на рис.
6.21. Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как вход, а точку Ь как выход, получаем передаточную функцисо разомкнутой системы )сг )сг / ) г )„, 1 )сг)сгьг ьс)" гьгр 1--т Р 1+а,+тгр р " Ч р(1+тср)(1-, Ьг+т р) Разомкнем теперь ту же систему не на входе первого звена, а в цепи обратной связи второго звена (точка с соответствует входу, а точка с)— выходу).
Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае )сг 1-,- т,р Ог)— )сгр (1 ( тгр) асс з, 1 )сг ) Р(1+тгр)(1+тгр)+)сг)сг)сг+)сг)сг)ссР ~ 1,-тр1-;-тр ~ р + ' Передаточные функции Ис(р) и И" (р) получились различными. Однако им соответствует одно и то же характеристическое уравнение замкнутой системы 1 + И'(р) = 1 + И" (р) = О, которое имеет вид тгт,Р+ (т, + т, + ) гтг) р'+ (1 + й;+ йгйгйг) р + йгйгйз = О. Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы в произвольной точке, в которой выполняется условие детектирования.
Однако передаточные функции Ис(р) и И" (р) имеют различие. Только передаточная функция И' (р) связывает между собой изображения регулируемой величиныги ошибки, и только она связана с передаточной функцией замкнутой системы Ф (р) известным соотношением (5.26): И'(р) =- —. У (р) Ф (Р) Х(р) 1 — Ф(р) ' 161 УСТОИЧИВОСТЬ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 З.Е) Передаточную функцию при размыкании па входе первого авена в дальнейшем будем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь в виду при рассмотрении методов определения качества регулирования и синтеза систем регулирования. 3 а и е ч а н н е 2. При определении устойчивости в используемой передаточной функции разомкнутой системы можно перемещать члены знаменателя в числитель и наоборот, аа исключением старшего члена знаменателя. Так, например, если имеется передаточная функция Ь,р+Ь, (р) =- сер -т.
21р -~" с2р+ сз то для расчета устойчивости она может быть заменена функцией 21рв+(Ьс+св) р+Ь1+се И: (р)= В справедливости атого нетрудно убедиться на основании того, что характеристическое уравнение замкнутой системы 1 + Ис (р) =- 1 + И'(р) = = 0 сохраняет при этом свой вид: с,р*+ с,р'+ (Ьа + се) р + Ь, + с = О. й 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам Ц (1+21Р) И (р) = —," „'='„ Ц (~+тср) 2=-1 При подстановке р =-ув получаем Ц ~lг,- мвт; Ь(са) =-2019 —" Ц )2'~+вере 1-.= 1 (6.34) Фаза (аргумент) частотной передаточной функции и е ф(а2) = — г 90'+ ~ агссяюТг — Я агс16юТ1.
2-1 1-1 Н В. А. Весекерскяа. Е. П. Попав (6.35) Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазозую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы. Построение л.а.х. производится по выражению ь (ю) = 20 1я А (ю) = 201я 1 и2 (ую) 1, где А (а2) — модуль частотной передаточной функции рааомкнутой системы (6.29).
Построение л.ф.х. производится по значению ф (ю) частотной иередаточной функции (6.29). Для построения л.а.х. н л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10. Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду 162 КРИТИРИИ УСТОЙЧИВОСТИ [гд. « На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетке (рис. 6,25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах еи сел ряс.
6.25. 1 1 в, = — и в, = †. Для определенности построения возьмем передаточнукг т, ' т,' функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде к, (1,-т,Р) Р(1+тгР) (1+т»Р)» ' которой соответствует выра, кение для модуля в логарифмических единицах (6.36) Ь(в) =20)я — ' '»л1+ г»»т, '(1 [- м»тгз) Примем, что выполняется условие Т~ ) Тз ) Т». Тогда для сопрягающих частот (рис. 6.25) будет выполнено условие вг ( в» ( в». Построение аси»штотической л.а.х.
начинается с области низких частот Если частота меньше первой сопрягающей частоты: в ( вы то выражение (6.36) приобретает вид В (в) ж 20 [д — ", К„ которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая через точку А с координатами в = — 1 сек ', Ь (в) = 20 1я К, и через точку В с координатами в = К„Т (в) = О. Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В).
Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (6.34), то необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственно необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вверх.
В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, в точке С вЂ” на 163 УСТОИЧИВОСТЪ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 6 6Ю 20 дб/дек вверх и в точке П вЂ” на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек. Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной аснмптоты, который должен быть равен г.20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами 66 =- 1 сек ' и Ь (ю) = 20!я К, или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью нуля децибел), которая имеет координаты ю = у' К„и А.
(66) =.= О. Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид ф (66) =- — 90' — агсГя юТ, +агсгд ю Т, — 2 агой юТз ——— = — 90 +ф, +ф,+2ф,. (6.3Т) Каждый из углов ф„, фз, фа представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость ф, = — агсгд 66Т6 (см. рис. 6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45'.
При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37). Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34). Коли числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выра6кекиях (6.34) и (6.35) появятся члены, имеющие соответственно вид 24Та ')/(1 — 666Т6)6 + 4~6Т6666 и агой ~~6 .
В этом случае для построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содерябится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) поясно записать [[ ~/Ь~ эгг и-г — з (/(4 мэТ6)6 + 4~~ Т66Р [[ (Г 4-Р АУТ( Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис.
4 18. Аналогичным образоэг строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18. В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение л.а.х. и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до +со. Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива илн нейтральна.
Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка. Как следует из рис. 6.16, 6.18 и 6.19, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения ф = — 180' только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать — 180' четное число раз (два, четыре и т. д.). П6 КРИТРРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Это позволяет легко определить устойчивость по виду л.а.х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
