Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой. й 6.3. Критерий устойчивости Михайлова Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), которая представляет собой характеристический полинам: Р(р) =аер" +а,р" '+... +а„,р+а„. (6.16) Подставим в этот полинам чисто мнимое значение р = )ю, где ео представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения.
При этом получим характеристический комплекс ее (!ео) = Х (оз) + ))е (го) =- Э (ео) епмео, (6.17) где вещественная часть будет содержать четные степени ан Х (ео) =- а„— а„гео'+..., (6.18) а мнимая — нечетные степени ая у (ео) = а -ею — а -зеоз + (6.19) Функции .0 (ео) и ф (ю) представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.
Характеристический полинам (6И6) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение у)ази или аргумента ф (ю) при изменении ео от О до оо равно и — ", где и — степень полинома1) (р). Следовательно, система регулирования будет устойчивой. Если полное приращение аргу- и мента ф (ю) окажется меньше и —, то система неустойчива. Докажем зто. Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты ю, то величина Р ()ео) изобразится на комплексной плоскости в виде точки кентггии устойчивости !г.к В с координатами Х и У или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом коордп|шт. Если же значение частоты а менять нопрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлово (рис. 6.5).
~г Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты ю и по х формулам (6.18) и (6.19) вычисляются в а ~ю;-0 Х (ю) и У (ю). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая. Выясним связь между видом крисе~ вой Михайлова н знаками веществен- ных корней характеристического уравРкс 65 пения. Для этого определим, чему должен равняться угол поворота ф вектора В (рм) при изменении ю от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полипом в виде произведоння сомножителей )Э (р) == ио (р — р,) (р — р2) ..
(р — р„), (6.20) где ры..., р„— коран характеристического уравнения. Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде: 1) ()ю) = аа ()ю — р,) (1'ю — рз)... ()ю — р„). (6.21) Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, .0 ()ю) представляет собой произведение п комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются.
Поэтому у результирующий угол поворота век. тора В ()ю) при изменении ю от нуля до бесконечности будет равен о) б) сумме углов поворота отдельных сомножителей (6.21): ф -= ф1 + Фз + .. + ф . (6 22) Определим каждое слагаемое о го= (6.22) в отдельности. гк- со~ 1. Пусть какой-либо корень, Рвс. 6.6. например р„является вещественным и отрицательным, т. е. р, = — аы где а~ ~О. Сомножитель в выражении (6.21), определяемый этим корнем, будет тогда иметь вид (и, + )ю). Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении ю от нуля до бесконечности (рис.
6.6, а). При ю = 0 вещественная часть Х .==- аы а мнимая У =-= О. Этому соответствует точка А, лежащая на оси вещественных. При ю:гь 0 вектор будет изменяться тан, что его вещественная часть будет по-прежнему равна а, а мнимая часть У: — — ю (точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки. Результирующий угол поворота вектора ф, =- + —. 2 ' КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА е 6.31 2.
Пусть теперь корень р1 является вещественным и положительным, т. е. р, =- + а„причем а1 е О. Тогда сомножитель в (6.21), определяемый этим корнем, будет иметь вид ( — м1 + )ео). Аналогичные построения (рис. 6.6, б) показывают, что~результирующий угол поворота будет е(11 = = — — — .
Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке. 3. Пусть два корня, например рз и р„представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, т. е. рз,е —— = — а -1- 7р. Сомножнтели в выражении (6.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид (а — )р + )ее) (а + у(1 + )а).
При ее =- О начальные положения двух векторов определяются точками Ае н Аз (рнс. 6.7, а). Первый вектор повернут относительно оси вещественных по часовой стрелке на угол у = агс Фд — а, второй вектор — на тот же В Рис. 6.7. угол против часовой стрелки.
При увеличении ео от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху з бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых. РезУльтиРУюдий Угол повоРота пеРвого вектоРа е(1з = — + У. РезУль- 2 тиРУюЩий Угол повоРота втоРого вектоРа е(1е = — — У. ВектоР, соответ- 2 ствую1ций произведению (и — )'р + Рм) (а + Я + 7'ео), повернется на угол Ф~+ер =2 2. 4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т. е. Ре, = + а -1- 7Р. ПРоводЯ постРоениЯ, аналогичные пРеДыДУЩим (рис. 6.7, б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомнолеителей, будет ф, + е(ее = — 2 2 . Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь 1 корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были ати корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная — 1 — '.
Всем же остальным и — 1 корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (и — 1) — . В результате общий угол поворота вектора А) ()ее) при изменении ю от нуля до бесконечности, согласно формуле (6.22), будет ф --= (~ — 1) —, — 1 — =- — — 1я. (6.23) 10 В, А. Бесекерскиа, Е. П. Покое (кь з КРИТКРШ! УСТОЙЧИВОСТИ Этим выра!пением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова н знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. В 1936 году Л. В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка.
Для устойчивости системы и-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор П (1е!), описывающий кривую Михайлова, при изменении !е от пуля до бесконечности имел угол поворота !Р =- и —, 2 ' Эта формулировка непосродственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т. е. должно быть ! -= О. Ото!ода определяется требуемый результирующий угол поворота вектора. Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность Рис.
6.8. Ркс. 6.9. в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения и (рис. 6.8). Число квадрантов, большее чем и, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора () ()!е) оказывается меньшим чем и — (рис. 6.9). 2 Сказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде.
Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно и квадрантов. Поэтому корни уравнений Х (е!) = = 0 и У (!е) = 0 должны чередоваться. Так как кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на оси вещественных (рнс. 6.8), где мнимая часть обращается в пуль: У (!э!) =-- У (0) =- О, то при постепенном увеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначала вещественная часть: Х (!ем' = О, затем мнимая: У (!ез) = — О, затем опять вещественная: Х (!е!) = 0 и т. д., причем 0 = — !е! ( !ез ( !ез е!! (...
( !е!! По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы. Для нахождения искомого числа ! должна использоваться зависимость (6.23).
Если известны результирующий угол поворота вектора !(! ( и — и степень характеристического уравнения и, 2 то в уравнении (6.23) неизвестным будет только й При подсчете результирующего угла поворота ф следует иметь в виду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконеч- 147 КР11ТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА 1 6.31 ности параллельно оси Х и при нечетной степени — параллельно оси У. Это видно из выражений (6.18) и (6.19), так как при четной степени наивысп1ая степень с1 будет стоять в выражении Х, а при нечетной — в выражении У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
