Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Так как в решении характеристического уравнения содержится и корней, то переходная составляющая может быть записана в виде где ры..., р„— корни характеристического уравнения, С,,..., ф— постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.5). 11остоянные интегрирования определяются также и видом правой его части.
Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой. так и правой частямп исходного М>С эРм рис. еть дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.5) и окределяетсн только характерястическим уравнением (6.9).
Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассгготрим эти случаи. 1. В е щ е с т в е н н ы й к о р е н ь. Пусть один из корней, например рм является вещественным. Если он отрицательныи (р, =- — а~), то слагаемое, определяемое этим корнем в (6.10), будет представлять собой экспоненту С,е ш'. Очевидно, что при г — оо этот член будет затухать. При р, = -'; п, получится пе затухающий, а расходящийся процесс (рис.
6.2, а). 2. К о м п л е к с н ы е к о р н и. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корин, например р~ и рю будут иметь вид р,,з =- -- а -~- )(). В этом случае слагаемые, % ви) ПОНЯТИЕ ОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ 137 определяемые этими корнями в уравнении (6.8), могут быть >тродставлены в виде С>а-1" 1>>>к+ С,е 1" ж>'=: Ле "'а>п (р>-';- >)). где А и >)> — новые постоянные интегрирования. Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня р представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а а — показатель затухания, определяющий затухание огиба>ощей к кривой переходного процесса (рис. 6,2, б). При положительной вещественной части Р>,з =-. + а -+ )Р колебаниЯ бУДУт не затУха>ощими, а расходящимися (рис.
6.2, а). 3. Чисто мнимые корни. В этом случае р, =. + 1() и рз =- — ф. Слагаемое, определяемое этими корнями в (6.10), будет представлять собой незатухающие колебания, т. е. колебания с постоянной амплитудой: С>е>З>+ С>а->В> = А а>п (рГ+ ф). Такой процесс изобрая'ен на рис.
6.2, г. Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если >хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.
е. Система окажется неустойчивой. Корни характеристического уравнения можяо представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. 6.3). Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, аа которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом Область устойчивости.
Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая эра»и>1а устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: 1) пулевого корня; 2) пары чисто мнимых корней; 3) бесконечного корня. Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.
В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие рь — — О. Это означает, что в характеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный члеп а„— — О. Дифференциальное уравнение (6.5) В этом случае может быть записано в виде (аор" ' + а,р"-' +... + а„>) ру (1) =- (Ьар + ° . ° + (>я) й (>) и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения регули- 136 кгиткгии устойчивости <гл « руемой величины мон<ет принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.
На граница устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 6.2, г). Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости з правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое Сае»< в выражении (6 10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а, == О.
Граница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко, и в дальнейшем будут рассматриваться практически только первый и второй типы границы устойчивости. Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеарпзации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми.
Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова. 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.
2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с полон<ительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой. 3. 11ри наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда дан<е качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Опираясь в своих линейных расчетах на ати теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т. е.
в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается от прямой С<О (см. рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Во-вторых, все это относится только к описанному выше способу линсаризации уравнений — разлоя<енню нолинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу л инва ризации. К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностял< релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, «вторая метода» Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17.
Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устой шеости. 139 КРитВРий устончиВОсти ГРРВицА % зл] Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
