Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В соответствии с этим можно сформулировать другое понятие добротности по моменту, как отношение момента нагрузки на оси управляемого объекта к установившейся ошибке. При движении с постоянной скоростью рдс = ЙГ =- сопз1 и М =- Мо —— =- сова( из (5.132) получается установившаяся ошибка бс = — + —. ()Г М, с — К (5.135) Здесь можно ввести понятие добротности по скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей системы и воаникающей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения). И данном случае она равна общему коэффициенту усиления по разомкнутой цепи: Кнвв — —.К при Мо:=-О.
()1 'с со Из (5.132) можно, в частности, получить установившуюся ошибку в неподвижном положении при ЮГ (1) =- сопз1 и М (1) =- Мо =- сопз(. Для этого необходимо в (5.175) положить р — -О: ГЛАВА 6 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 3 6 1. Понятие об устойчивости систем регулирования ,й Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллюстрируется рис. 6.1, а, на котором изображен шар, лежащий в некотором углублении. При всяком отклонении его от положения равновесия он будет стремиться возвратиться к нему точно (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия (при на.тичии сил трения), Такое положение шара будет устойчивым.
"г На рис. 6.1, б изображен другой случай, Аг А, ~г когда положение шара оказывается неустой1 ! чивым. Рис. 6.1, в соответствует случаю без- а) различного положения равновесия. Можно ввести понятия о невозмущен~ом состоянии равновесия, соответствующем точке Аз на рнс. 6.1, а, и возмущенном состоянии равновесия (точка А,). После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А, или А,. Условие устойчивости здесь можно сформулировать так: система называется устойчивой, если из ! возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, Рис. 6А.
окружающую невозмущенное состояние равновесия. Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами х, (г), х, (г), ..., х„(1). Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат: хм (г), хг„(г),..., х„з (Е). Аналогично случа|о равновесия положения заданное движение можно назвать яевогмуи1еняым 'движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: х1 (г) ~ хю (г), хг (г) ~~ хгз (г) и т. д. Это двихгенне будет воамзщенным.
Заданное певозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних снл, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область: ~ х~ (г)— — хм (г) ~ ~ е~ (1 = 1, 2,..., я). Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в 161 К1'ИТВРНН УСТОЙЧИВОСТИ 1гз.
о форме Коши — ' —,' =-Рг(х„..., х„) (1 =1, 2, ..., п). (6.1) Если пРи Г = 1о заДаны начальные значениЯ х;о (! = 1, 2,..., п), то решение может быть представлено в виде хг = хг (х,о, ..., х„о), где г =- 1, 2,..., п. Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами х'„ х",, ..., х"„. Введем также отклонения координат Лх; = хг — т! (г = 1,..., п), характеризующие отклонения процесса от установившегося.
Систему уравнений (6.1) перепишем для отклонений: ЗДХ1 ' =-)г (Лх„Лх,„..., Лх„), где 11 — некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные регоения Лх',:.--- 0 соответствуют невозмущенному движению, так как при этом хг = х',. Начальные значения отклонений Лх,о носят название возмущений. Решение системы (6.2) для некоторых начальных отклонений Лх; = = Лх; (Лхго,..., Лх„о, 1) представляет собой возмущенное движение.
Л. М. Ляпунов [821 дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение (при Лх,' =-. О) называется устойчивым по отношению к переменным хк если при всяком заданном положительном числе А', как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число й' (А') пгак, что для всех возмущений Лхго, удовлетворяющих условию (6.3) 21 )гогЛхм <Хо, 1-О возмущенное оеижение (6.2) будет для времени г> Т удовлетворять неравенству ~~ р!Лхг (Ао. (6 А) 1=О Здесь ра — некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравнивания физических размерностей величин Лхг.
Геометрическая интерпретация этого условии заключается в следующем. В пространстве координат ргЛхг построим две сферы с радиусами й и А. Система будет устойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку ЛХ (Лхго,..., Лх„о) из пределов сферы Х, возмущенное движение будет таково, что, начиная с некоторого времени т ) Т, изображающая точка 111 (Лх„..., Лх„) будет в пределах сферы А. Если с течением времени изображающая точка стремится к началу координат, т. е. 11шЛхг ==0 (1=-1, 2,..., п), г то система асимптотически устойчива.
Несколько другое изложение атой теоремы будет дано нинге в З 16А. 11ерейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованных систем регулирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у (О при наличии управляющего воздействия у ф и при равенстве 135 в вл1 ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ нулю возмущающих воздействий: (а„р" + в,р" ~+... + п,,р+ ав) у (В) =-- =(Ь„р +Ь,р '+...+Ь ич+Ь )у(В). (6.5) цпг гп-1г гг ав — „+а,- „, + ..+а„,— +и„у=О.
(6.7) Общее решение ищется в виде у, (г) = уев„(г) = Сс". Дифференцируя это выражение и раз и подставляя в (6.7), получаем после сокращения на общий множитель Сев' авб" + а16" ' -г .. + а„,б + а„=- О. (6.8) Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим.
Корни его бы..., б„будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (6.8) полностью совпадает с левой частью (6.5). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (6.5) нулю: авр" + айэ" т +... + а,р + а„= О.
(6.9) Коэффициенты ав,..., а„и Ь„..., Ь представляют собой постоянные а величины, а оператор р =— ви Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (6.5) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени 7' (В).
Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (6.5). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным, записать лн исходное дифференциальное уравнение для управляющего илн возмущавощего воздействия. Уравнение (6.5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования х (О. При этом левая часть уравнения (6.5) полностью сохраняет свой вид.
Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (6.5) с правой частью и общего решения уравнения (6.5) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю: у (в) = учасгн (г) + уовш (В). (6.6) В случае уч„,„(Г) =- сопев это будет установившееся значение. Первое слагаемое (6.6) называют также вынужденным решением у, (г), а второе слагаемое — переходной составляющей у (г). Тогда формула (6.6) может быть записана в виде у(в) = у,(в) + у,(О.
Система будет называться устойчивой, если с течением времени при — оо переходная составляющая будет стремиться к нулю: у„(г) — ь О. Найдем эту составляющую из (6.5). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части 166 кгиткгпн устоичивости Однако здесь буква р = б означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
