Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 36
Текст из файла (страница 36)
На рис. 6.18 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы с астатиамом первого порядка. Характеристика начинается в начале координат при в) -~- — оо и затем уходит в бесконечность при со — ~ 0 (верхняя ветвь). Далее характеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы вектор Н/ ()э) повернулся по часовой стрелке на угол и. Нижняя ветвь характеристики соответствует изменению частоты от 0 до +со. Нетрудно видеть, что характеристика не охватывает точку ( — 1, 10), и система в замкнутом состоянии будет устойчивой.
Амплитудно-фазовые характеристики для условно устойчивой системы, для случая колебательной границы устойчивости и случая неустойчивой ,Р \ / Рис. 6Л9. Рис. 6.18. системы будут похожими на изображенные на рис. 6.16, б, в и г кривые, за тем исключепЬем, что при е) -+- 0 характеристика будет уходить в бесконечность в соответствии с нижней ветвью характеристики, изображенной на рис. 6.18. Аналогичными рассуждениями можно показать, что для системы с астатизмом второго порядка, имеющей передаточную функцию вида д/( ~ Ас (1+оп-)Р+,, + ВСР)~ Рз (1 + с„гР+... + ссР =в) ' при обходе двойного нулевого корня в начале координат (см. рис.
6.17) передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена вектором бесконечно большой длины, поворачивающимся по часовой стрелке на угол 2я. На рис. 6.19 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка. Так же как и ранее, здесь мо)кпо получить условную устойчивость (рис.
6.19), колебательную границу устойчивости, если характеристика пройдет через точку ( — 1, 10), и неустойчивость, если характеристик» будет охватывать точку ( — 1, )О). Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка достаточно построить только одну ветвь амплитудно-фазовой характеристики, соответствующую кгиткРви устойчивости бл з положительным частотам, которая должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса.
При этом для устойчивой в замкнутом состоянии системы зта ветвь вместе с частью окружности, ааключениой между поло~кительной полуосью вещественных и амплитудно-фазовой характеристикой, соответствующей положительным частотам, не должна охватывать точку ( — 1, )О) в соответствии с рис. 6.20, Из рис. 6.20 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при степени астатизма г 2. При большей степени астатизма может быть получена только условная устойчивость.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит Рвс. 0.20. корни, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе. Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя причинами. Во-первых, зто может быть следствием наличия неустойчивых звеньев, подобных рассмотренным в 3 4,8. Во-вторых, зто может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительными нли отрицательными обратными связями (см., например, рис. 5.5). Наличие неустойчивости системы в разомкнутом состоянии не означает, что система будет неустойчивой в замкнутом состоянии.
Она может быть как устойчивой, так н пеустойчивой. Однако формулировка критерия устойчивости Найквиста при атом несколько меняется. Пусть знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (6.28) содержит 1 корней в правой полуплоскости и и — 1 корней — в левой. Тогда при изменении частоты от — со до +со для устойчивой в замкнутом состоянии системы результирующий угол поворота годографа вектора И'()ю) относительно точки ( — 1, 10) должен составить Ф =- Ф, — фз = пя — ((и — 1) н — (п) = 1.2л, т. е. амплитудно-фазовая характеристика должна охватить точку ( — 1, 10) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточной функции разомкнутой системы.
При етом необходимо, чтобы при изменении частоты от — со до +со конец вектора И'(1ю) поворачивался вокруг точки ( — 1, 10) на угол 1 2я против часовой стрелки. Нетрудно видеть, 157 КРИТБ РИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА ч е.з) что формулировка критерия Найквиста для случая, когда 1 = О, вытекает отсюда как частный случай. Таким образом, при использовании критерия Найквиста, вообще говоря, необходимо убедиться в том, имеются ли в анаменателе передаточной функции разомкнутой системы корни, лежащие в правой полуплоскости, и сколько имеется таких корней.
Если в системе имеются местные обратные связи, например, такого типа, как это изобрая|ено на рис. 5.7, то необходимо убедиться в том, что по цепи местной обратной связи не нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости по цепи местной обратной связи может быть сделана посредством использования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством кри- ?т терпя Найквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем построения для этой цели амплитудно-фазовой характеристики. В случае, если для местной обратной связи будет х получено указание на ее неустойчивость, необходимо йе определить число корней, лежащих в правой полуплоскости.
х Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием Ркс, 6,21. некоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имезощихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.
Знаменатель передаточной функцйи разомкнутой системы (6.28) может иметь чисто мнимые корни. Пусть, например, имеется один нулевой корень р, == О, пара мнимых корней рь з =- ~ )р, а все остальные корни знаменателя ~) (р) лежат в левой полуплоскости (рис. 6.21). Передаточную функцию разомкнутой системы в этом случае можно представить в виде д (,1 ~(Р) ))(Р) М'е(Р) О (Р) (Рз+))з) О, („) Рз+))з Для устранения неопределенности при изменении частоты от — оо до -)-со можно использовать изложенный выше прием и отнести три корня, лежащих на мнимой оси, к левой полуплоскости, обойдя их справа по полу- окружностям бесконечно малого радиуса, В этом случае на частотах ю =- 0 и ю =- ~ р модуль )т' (ув) будет стремиться к бесконечности, а аргумент И" (р) при прохождении этих частот должен претерпевать приращение — 180', т. е.
разрывы а. ф. х. должны дополняться полуокружностью бесконечного радиуса в направлении по часовой стрелке. Это изображено на рис. 6.22. На рис. 6.22, а показана а. ф. х. разомкнутой системы, устойчивой в замкнутом состоянии. А. ф. х. построена только для положительных частот. При частоте в -~ )) а. ф. х. уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой, составляющей с осью вещественных угол, равный агя И'р ()()). 158 квитвгии гстоичивости [гл. Ь Далее а.
ф. х. дополнена полуокружностью бесконечного радиуса, и при ге ) р ояа возвращается на бесконечности вдоль той же асимптоты. Дальнейший ход а. ф. х. является обычным. Из рис. 6.22, а видно, что а. ф. х. разомкнутой системы не охватывает точку ( — 1,10). В данном случае зто долягно соответствовать устойчивой замкнутой системе. На рис.
6.22„б изображен другой случай, когда расположение а. ф. х. таково, что в замкнутом состоянии система оказывается неустойчивой, так как а. ф. х. охватывает точку ( — 1, 10). Достоинством критерия Найквиста является возможность использования для определения устойчивости смитах экспериментально частотных характеристик. Это оказывается особенно ценным в том случае, когда ввиду Рис.
6.22. сложности исследуемой системы трудно получить исходные дифференциальные уравнения всей системы илн ее отдельных блоков. Большое практическое преимущество критерия Найквиста заключается также в том, что он может применятьсн при использовании логарифмических частотных характеристик, которые во многих случаях могут строиться почти без вычислительной работы. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.
В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, изображенную на рис. 6.4. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы )р (р)--- Р(1 г РгР)(~ Ртмг) ' Нетрудно видеть, что все корки знаменателя, кроме одного нулевого корпя, лежат в левой полуплоскости. Поэтолгу в устойчивой системеамплитудно-фазовая характеристика не должна охватывать точку ( — 1, 10). Частотная передаточная функция И/ )ы —.—, К 1м (1 т- )мгг) И + ~о>гм) Модуль ее К и фаза лг (Гг -г тм) гр (ге) = — 90л — згсгд юТ вЂ” агсьд е>Т„=- — 90' — агс18— м 1 глвт„т кРитеРий устойчивости КАЙКВистА Задаваясь различвыми значениями частоты от 0 до +ос, можно вычислить модуль и фазу. По модулю и фазе легко строится вектор И' ()в) либо вычисляются предварительно вещественная и мнимая части частотной передаточной функции У (в) = А (в) соз ф (в), У (в) = А (в) в|п ф (в).
Ввиду достаточно простого выражения для частотной передаточной функции в данном примере можно легко найти У (в) и У (в), разлагая непосредственно комплекс И' ()в) на вещественную и мнимую части: к(т +т„) ~ (в) (1+вет*) И+ыт„) ' к» вЂ” т т ) '(в) = —. (1+...)(1'+".е „) Результаты расчетов сводятся в табл. 6.2. Таблица 6.2 Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики в случае устойчивой замкнутой системы изображен на рис.
6.23. Поскольку исходная передаточная функция имеет простой вид, задача получевия устойчивости в рассматриваемой системе может быть решена в общем виде. Из рис. 6.23 следует, что для получения устойчивости точка пересечения амплитудно-фазовой характеристики о о с осью вещественных (точка а) должна лежать в= дд правее точки ( — 1, )О). Это условие можно запи- ! сать следующим образом: А (в,)~1.
Найдем частоту в точке а. Это можно сде- КК+тд) лать, взяв одно из условий д' (в) = 0 или ' (ог о' ф (в) =- — 180', откуда получаем 1 е)д = )~тт т„ Рве. 6.23. Подстановка атой частоты в записанное выше неравенства дает д 1 д у' г' У или, после преобразовавия, К с.'— + —. 1 1 т, т„ ' 160 крг1терсги устойчивости (гсь э Таким образом, получено условие, совпадающее с найденным ранее условием, вытекающим из критериев Гурвица и Михайлова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
