algebra (956977)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÓÐÑÓ"ÀËÃÅÁÐÀ"Ïðåäìåòîì àëãåáðû áûëî ñíà÷àëà ðåøåíèå óðàâíåíèé. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ óìåëè ðåøàòü åùå â Äðåâíåé Ãðåöèè, íî ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé ñòàë èçâåñòåí òîëüêî â XVI âåêå. Ñàì òåðìèí "àëãåáðà" ïîÿâèëñÿ âòðàêòàòå àëü-Õîðåçìè (IX âåê).

Ïîä îïåðàöèåé "àëü-äæåáð" ïîíèìàëàñü îïåðàöèÿ ïåðåíåñåíèÿ ÷ëåíà óðàâíåíèÿ â äðóãóþ ñ îáðàòíûì çíàêîì. Ýòîò òåðìèí è ïðåâðàòèëñÿ âïîñëåäñòâèè â íàçâàíèå íàóêè.Áåçóñïåøíûå ïîïûòêè ðåøåíèÿ â îáùåì âèäå óðàâíåíèé áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé ïðèâåëè ê ïîíèìàíèþ òîãî, ÷òî ñëåäóåò èçó÷àòü íå ñàìè óðàâíåíèÿ, à ñâÿçàííûå ñ íèìè àáñòðàêòíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû ãðóïïû. Ýòè àëãåáðàè÷åñêèåñòðóêòóðû íàøëè âïîñëåäñòâèè ñâîå ïðèëîæåíèå â ðàçëè÷íûõðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè è ôèçèêè. Î íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ ïðèëîæåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè, ê êîìáèíàòîðèêå, ðå÷ü áóäåò èäòè íèæå. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå àëãåáðû øëî ïî ïóòè èçó÷åíèÿ ýòèõè äðóãèõ ñòðóêòóð, òàêèõ, êàê êîëüöà, ïîëÿ è ò.

ä. Îíè òàêæåíàõîäÿò ñâîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð, â âåñüìà àêòóàëüíîé òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, ñâÿçàííîé ñ ïðîáëåìàìè çàùèòûèíôîðìàöèè â êîìïüþòåðíûõ ñèñòåìàõ. Íåçàâèñèìî îò ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ðàçâèâàþòñÿ è óæå âåñüìà îòâëå÷åííûåðàçäåëû ñîâðåìåííîé àëãåáðû. Îäíó èç òàêèõ òåîðèé åå àâòîðíàçûâàåò "àáñòðàêòíàÿ ÷åïóõà", ïðè÷åì ýòîò òåðìèí â ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ âïîëíå ñåðüåçíî. Ìû ýòèìè âîïðîñàìè, ðàçóìååòñÿ, â äàííîì êóðñå çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.1ÃËÀÂÀ I. ÃÐÓÏÏÛ0.

Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ, ïîëåçíûå â äàëüíåéøåì.0.1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿÌû ñ÷èòàåì èçâåñòíûìè ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà,äåéñòâèé íàä ïîäìíîæåñòâàìè äàííîãî ìíîæåñòâà è ò. ä. ×èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà X áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç|X|. Ñ÷èòàåòñÿ òàêæå èçâåñòíûì ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ è ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà îòîáðàæåíèé. Íàïîìíèì âñåæå òåðìèíîëîãèþ. Ïóñòü X è Y ìíîæåñòâà. Îòîáðàæåíèåf : X → Y íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì "íà", èëè ñþðúåêòâíûì,åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà y ∈ Y íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x ∈ X ,÷òî f (x) = y . Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíûì, åñëè èçóñëîâèÿ f (x) = f (x0 ) ñëåäóåò, ÷òî x = x0 .

Îòîáðàæåíèå, êîòîðîåîäíîâðåìåííî ñþðúåêòèâíî è èíúåêòèâíî, íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíûì. Îòîáðàæåíèå f : X → X , çàäàííîå ôîðìóëîé f (x) = x,íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì è áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç idX .Âîîáùå, îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâà â ñåáÿ íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè ýòîãî ìíîæåñòâà.Ïóñòü g : Y → Z åùå îäíî îòîáðàæåíèå. Êîìïîçèöèåéîòîáðàæåíèé f è g íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå g ◦ f , çàäàííîå ôîðìóëîé (g ◦ f )(x) = g(f (x)) (x ∈ X).

Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèéîáëàäàåò ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).Îòîáðàæåíèå g : Y → X íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ f , åñëè f ◦ g = idY , g ◦ f = idX . Êàê õîðîøî èçâåñòíî,îòîáðàæåíèå îáëàäàåò îáðàòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíîáèåêòèâíî.0.2. Ïåðåñòàíîâêè è ïîäñòàíîâêèÏîíÿòèå ïåðåñòàíîâêè è ïîäñòàíîâêè ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì.Èçâåñòíûì òàêæå ñ÷èòàåòñÿ ïîíÿòèå ÷åòíîñòè ïîäñòàíîâêè èòåîðåìà î òîì, ÷òî ëþáàÿ ïîäñòàíîâêà ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé.2 ìíîæåñòâå ïîäñòàíîâîê ìíîæåñòâà {1, 2, ..., n} îïðåäåëåíàîïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ, êàê êîìïîçèöèÿ ïðåîáðàçîâàíèé. Íàïðèìåð,µ ¶µ ¶ µ ¶123 123123στ ==.231 132213 ñàìîì äåëå, (στ )(1) = σ(τ (1)) = σ(1) = 2 è ò.

ä.ÇÀÄÀ×À 0.1. Âû÷èñëèòå ïîäñòàíîâêó τ σ .Öèêëîì äëèíû k íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïîäñòàíîâêà, çàïèñûâàåìàÿ â âèäå σ = (i1 , i2 , ..., ik ), ÷òî σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , ...,σ(ik ) = i1 .  ÷àñòíîñòè, òðàíñïîçèöèÿ öèêë äëèíû 2. Äâàöèêëà íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè îíè íå ñîäåðæàò îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ.Êàê ëåãêî ïîíÿòü, ëþáóþ ïîäñòàíîâêó ìîæíî ðàçëîæèòü âïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. Íàïðèìåð,¶µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10= (1257)(689)(3)(4)(10) = (1257)(689).2 5 3 4 7 8 1 9 6 100.3. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿÁèíàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî R ⊆ X × X . Òîò ôàêò, ÷òî ýëåìåíòû x èy íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè R, ò.

å. (x, y) ∈ R, áóäåì çàïèñûâàòü ââèäå xRy .Ñðåäè âñåâîçìîæíûõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé âûäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå, îáëàäàþùèå ñïåöèàëüíûìè ñâîéñòâàìè.Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè xRx äëÿâñåõ x.Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè xRy ⇐⇒yRx.Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëèèç xRy è yRx ñëåäóåò x = y .Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç xRyè yRz ñëåäóåò xRz .Ðåôëåêñèâíîå, ñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ x ∼ y .Ïðèìåðàìè îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ñëóæàò: îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÷èñåë; îòíîøåíèå ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ; îòíîøåíèåïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ è ò.

ä.3ÏÐÈÌÅÐ 0.1. Íàçîâåì äâà ÷èñëà m, k ∈ Z ñðàâíèìûìè ïîìîäóëþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n è çàïèøåìm ≡ k(mod n),åñëè èõ ðàçíîñòü m−k äåëèòñÿ íà n. Ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî,÷òî ýòî îòíîøåíèå åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. ¤Ïóñòü â ìíîæåñòâå X ââåäåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.Ïîäìíîæåñòâî[x] = {y ∈ X | y ∼ x}ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, ýêâèâàëåíòíûõ äàííîìó, íàçûâàåòñÿêëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèì x. Ëþáîé ýëåìåíò y ∈[x] íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî êëàññà.ÒÅÎÐÅÌÀ 0.1. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïîîòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå X åñòü ðàçáèåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà.

Îáðàòíî, åñëè çàäàíî ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X íà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà, òîýòè ïîäìíîæåñòâà áóäóò êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ïî íåêîòîðîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè íà X .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Òàê êàê x ∈ [x], òî X åñòü îáúåäèíåíèå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïîêàæåì, ÷òî äâà êëàññà ëèáî íåïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü z ∈ [x] ∩ [y].Òîãäà x ∼ z, z ∼ y . Ââèäó òðàíçèòèâíîñòè èìååì x ∼ y . Ïóñòüòåïåðü t ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç [x].

Òîãäà t ∼ x, à òàêêàê x ∼ y , òî t ∼ y . Çíà÷èò, t ∼ y , ò. å. t ∈ [y] è [x] ⊆ [y].Àíàëîãè÷íî, [y] ⊆ [x] è [x] = [y].Îáðàòíî, ïóñòü ïîäìíîæåñòâà Cα (α ∈ A) îáðàçóþò ðàçáèåíèåìíîæåñòâà X . Ïîëîæèì x ∼ y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x èy ëåæàò â îäíîì êëàññå Cα . Ïîëó÷åííîå îòíîøåíèå, êàê ëåãêîâèäåòü, ðåôëåêñèâíî, òðàíçèòèâíî è ñèììåòðè÷íî, ò. å. ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèàâàëåíòíîñòè.

ßñíî, ÷òî ïîäìíîæåñòâà Cαñîâïàäàþò ñ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ýòîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè. ¤ÏÐÈÌÅÐ 0.2. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ñðàâíèìîñòè ïî ìîäóëþ n èç ïðèìåðà 0.1. Êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ýòîìó îòíîøåíèþ ñëóæàò êëàññû [0], [1], [2], ..., [n − 1]. Ïðè ýòîì êëàññ [k]ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç ÷èñåë, äàþùèõ ïðè äåëåíèè íà n îñòàòîêk. ¤Ðåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå áèíàðíîåîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Ïðèìåðàìè îòíî4øåíèé ïîðÿäêà ñëóæàò îáû÷íîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë, îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè äàííîãî ìíîæåñòâà.Äëÿ îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íî çíàê ≤. Åñëèx ≤ y , òî ãîâîðÿò, ÷òî x íå ïðåâîñõîäèò y .

Èñïîëüçóåòñÿ òàêæåçíàê <: ïèøóò x < y , åñëè x ≤ y è x 6= y . Ìíîæåñòâî ñ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì. Òåðìèí"÷àñòè÷íî" óïîòðåáëÿåòñÿ ïîòîìó, ÷òî íå äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ âåðíî x ≤ y èëè y ≤ x. Åñëè ýòî âåðíî, òî ìíîæåñòâîíàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì, à ïîðÿäîê ëèíåéíûì.×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî óäîáíî áûâàåò èíîãäàèçîáðàæàòü â âèäå òàê íàçûâàåìîé äèàãðàììû Õàññå. Ïðè ýòîìýëåìåíòû èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè. Òî÷êè, îòâå÷àþùèå ýëåìåíòàì x y , ñîåäèíÿþòñÿ ñòðåëêîé, âåäóùåé îò x ê y , åñëè x < y èíå ñóùåñòâóåò òàêîãî ýëåìåíòà z , òî x < z < y .ÏÐÈÌÅÐ 0.3.

Äèàãðàììà Õàññå ìíîæåñòâà N îáû÷íûì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà åñòü1 → 2 → 3 → 4 → ... ¤ÏÐÈÌÅÐ 0.4. Ïóñòü A íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâàN. Ââåäåì â ýòîì ìíîæåñòâå îòíîøåíèå ïîðÿäêà, ïîëàãàÿ m ≤ nòîì ñëó÷àå, åñëè n äåëèòñÿ íà m. Òî, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíîîòíîøåíèå ïîðÿäêà, ïðîâåðÿåòñÿ ýëåìåíòàðíî (óáåäèòåñü â ýòîìñàìîñòîÿòåëüíî).ÏÐÈÌÅÐ 0.5. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äåëèòåëåé ÷èñëà 24è óïîðÿäî÷èì åãî ïî îòíîøåíèþ äåëèìîñòè. Äèàãðàììà Õàññåïîëó÷åííîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà èçîáðàæåíà íèæå.1 −→ 2 −→ 4 −→ 8↓↓↓↓ ¤3 −→ 6 −→ 12 −→ 240.4.

Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèèÏóñòü X ìíîæåñòâî. Áèíàðíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåéíàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå f : X × X → X . Ìîæíîðàññìàòðèâàòü òàêæå n-àðíûå îïåðàöèèè ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n, à òàêæå ïðè n = 0 òàêàÿ îïåðàöèÿ ïðîñòî âûäåëÿåò âìíîæåñòâå X ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò5÷àñòè÷íûå îïåðàöèè, ò.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций