algebra (956977), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Òàê æå, êàê âûøå, óñòàíàâëèâàåòñÿ,÷òîDn = < a, b | an = b2 = e, ab = ban−1 > . ¤9. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâå23Ïóñòü G ãðóïïà è M ìíîæåñòâî. Ñêàæåì, ÷òî G äåéñòâóåò (ñëåâà) íà M , åñëè çàäàíî òàêîå îòîáðàæåíèåG × M → M, (g, x) → gx,÷òî1) ex = x, x ∈ M ;2) (gh)x = g(hx), g, h ∈ G, x ∈ M .Åñëè G äåéñòâóåò íà M , òî äëÿ g ∈ G îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèåΦg (x) = gx, x ∈ M.Èç 1) è 2) ñëåäóåò, ÷òî Φ : g → Φg áóäåò ãîìîìîðôèçìîì ãðóïïû G â ãðóïïó S(M ). ßäðî Ker Φ íàçûâàåòñÿ ÿäðîì äåéñòâèÿãðóïïû G.
Åñëè Φ ìîíîìîðôèçì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà Gäåéñòâóåò ýôôåêòèâíî íà M .Äâå òî÷êè x, x0 ∈ M íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû G, åñëè x0 = gx äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G.Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ G-îðáèòàìè. Îðáèòó, ñîäåðæàùóþ ýëåìåíò x0 , îáîçíà÷àþò ÷åðåç G(x0 ).
Òàêèì îáðàçîì,G(x0 ) = {gx0 | g ∈ G}.ÏÐÈÌÅÐ 9.1. Ïóñòü G = SO(2), M = R2 , ýëåìåíòû G äåéñòâóþò êàê âðàùåíèÿ âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò. Îðáèòîé òî÷êè P ñëóæèò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó P . Ìíîæåñòâî M = R2 åñòü îáúåäèíåíèåêîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (âêëþ÷àÿ îêðóæíîñòü íóëåâîãîðàäèóñà). ¤Ïóñòü x0 ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èç M . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîSt(x0 ) = {g ∈ G | gx0 = x0 } ⊆ G.Òàê êàê ex0 = x0 , à g, h ∈ St(x0 )gh−1 ∈ St(x0 ), òî St(x0 ) ïîäãðóïïà â G. Îíà íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïîé â Gòî÷êè x0 ∈ M è ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç Gx0 .ÏÐÈÌÅÐ 9.2.
Ïóñòü G è M òàêèå æå, êàê â ïðèìåðå 9.1.Òîãäà St(O) = SO(2) è St(P ) = {e}, åñëè P 6= O. ¤Â îáùåì ñëó÷àå èìååìgx0 = g 0 x0 ⇐⇒ g −1 g 0 ∈ St(x0 ) ⇐⇒ g 0 ∈ gSt(x0 ).24Ñëåäîâàòåëüíî, ëåâûå ñìåæíûå êëàññû ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåSt(x0 ) íàõîäÿòñÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ òî÷êàìè îðáèòûG(x0 ).  ÷àñòíîñòè,|G(x0 )| = |G/St(x0 )| = (G : St(x0 ).Ïóñòü x00 = gx0 . ÒîãäàSt(x00 )gx0 = St(x00 )x00 = x00 = gx0 ,îòêóäàg −1 St(x00 )gx0 = x0 , è g −1 St(x00 )g ⊆ St(x0 ).Àíàëîãè÷íîgSt(x0 )g −1 ⊂ St(x0 ),ïîñêîëüêóSt(x0 )g −1 x00 = St(x0 )x0 = x0 = g −1 x00 .Çíà÷èò, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîSt(x00 ) = gSt(x0 )g −1 = {ghg −1 | h ∈ St(x0 )}.Íàçîâåì äâå ïîäãðóïïû H, H 0 ⊆ G ñîïðÿæåííûìè, åñëè H 0 =gHg −1 äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G.Ìû âèäèì, ÷òî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1.
Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâåM . Åñëè äâå òî÷êè x0 , x00 ∈ M ëåæàò â îäíîé îðáèòå, òî èõñòàöèîíàðíûå ïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû:x00 = gx0 ⇒ St(x00 ) = gSt(x0 )g −1 .Åñëè G êîíå÷íàÿ ãðóïïà èM = M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mr ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M íà êîíå÷íîå ÷èñëî îðáèò ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè x1 , x2 , ..., xr , òîrX(G : St(xi )). ¤|M | =(9.1)i=1Ôîðìóëà (9.1) ëåæèò â îñíîâå ìíîãèõ ïðèìåíåíèé "ìåòîäàîðáèò" ê êîíå÷íûì ãðóïïàì.25ÏÐÈÌÅÐ 9.3. Ïóñòü M = G.
Îïðåäåëåíî äåéñòâèå ýëåìåíòàg ∈ G ïîñðåäñòâîì ôîðìóëûx → Ig (x) = gxg −1 ,x ∈ G.Ýòî äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåíèåì. Åãî ÿäðîì ñëóæèò öåíòðZ(G) ãðóïïû G:Z(G) = {z ∈ G | Iz (x) = x äëÿ âñåõ x ∈ G}.Îðáèòà ýëåìåíòà x ∈ G = M íàçûâàåòñÿ êëàññîì ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ. Äëÿ ñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïû St(x), íàçûâàåìîé öåíòðàëèçàòîðîì ýëåìåíòà x, îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå ZG (x) èëè CG (x) (èëè C(x), åñëè ÿñíî, î êàêîé ãðóïïåðå÷ü).Ôîðìóëà (9.1) ïðèîáðåòàåò âèä|G| = |Z(G)| +rX(C : C(xi )).(9.2)i=q+1Çäåñü |Z(G)| = q . ¤Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (9.2).ÒÅÎÐÅÌÀ 9.2. Âñÿêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà pn , ãäå p ïðîñòîå÷èñëî, îáëàäàåò íåòðèâèàëüíûì öåíòðîì.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Åñëè G àáåëåâà, òî Z(G) = G èäîêàçûâàòü íå÷åãî.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå r > q , (G : C(xi )) = pni ,ni ≥ 1 ïðè i > q è ñîîòíîøåíèå (9.2), ïåðåïèñàííîå â âèäånp = |Z(G)| +rXpni ,i=q+1ïîêàçûâàåò, ÷òî Z(G) äåëèòñÿ íà p. ¤ÇÀÄÀ×À 9.3. Äîêàçàòü, ÷òî ôàêòîðãðóïïà íåêîììóòàòèâíîéãðóïïû ïî öåíòðó íå ìîæåò áûòü öèêëè÷åñêîé.ÇÀÄÀ×À 9.4. Äîêàçàòü, ÷òî ãðóïïà ïîðÿäêà p2 , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, àáåëåâà.10.
Ðåøåíèå çàäà÷ ïåðåñ÷åòà ìåòîäîì ÏîéàÏóñòü êîíå÷íàÿ ãðóïïà äåéñòâóåò íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå M .Äëÿ g ∈ G ïîëîæèìN (g) = |{m ∈ M | gm = m}|.26ÒÅÎÐÅÌÀ 10.1 (ëåììà Áåðíñàéäà). ×èñëî N G-îðáèò äàåòñÿ ôîðìóëîé1 XN=N (g).|G| g∈GÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç MG ìíîæåñòâî Gîðáèò.
Ïóñòü(1, åñëè gm = m,α(g, m) =0, åñëè gm 6= m.Òîãäà ìû ïîëó÷èì, èñïîëüçóÿ (9.1),XXXXN (g) =α(g, m) =g∈G=g∈G m∈MXX=Xα(g, m) =G(m0 )∈MG m∈G(m0 ) g∈G|St(m)| =XX|St(m0 )| =G(m) ∈MG m∈G(m0 )G(m0 )∈MG m∈G(m0 )XX|G(m0 )| |St(m0 )| = |G| |MG | = |G|N,G(m0 )∈MGîòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ôîðìóëà.
¤ÏÐÈÌÅÐ 10.1. Ñîñòàâëÿþòñÿ îæåðåëüÿ èç ïëîñêèõ áóñèíòðåõ öâåòîâ, ïðè ýòîì îêðàøåíà òîëüêî îäíà ñòîðîíà áóñèí.Êàæäîå îæåðåëüå ñîñòîèò èç ïÿòè áóñèí. Íàéäåì ÷èñëî N ðàçëè÷íûõ îæåðåëèé.Ïðîíóìåðóåì áóñèíû â îæåðåëüå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé áóñèíû, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Êàæäîé áóñèíå ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå îäèí èç òðåõ öâåòîâ: êðàñíûé (r), ãîëóáîé (b), çåëåíûé(g).
Òîãäà ëþáîå ðàñêðàøèâàíèå îæåðåëüÿ ñ ïðîíóìåðîâàííûìèáóñèíàìè ìîæíî îïèñàòü óïîðÿäî÷åííûì íàáîðîì öâåòîâ äëèíû5. Íàïðèìåð, çàïèñü < r, b, g, r, r > îçíà÷àåò, ÷òî ïåðâàÿ áóñèíàîêðàøåíà â êðàñíûé öâåò, âòîðàÿ â ãîëóáîé è ò. ä. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M ðàñêðàøèâàíèé îæåðåëüÿ ñ ïðîíóìåðîâàííûìè áóñèíàìè:M = {c = < c1 , c2 , c3 , c4 , c5 > | ci ∈ {r, b, g}}.Î÷åâèäíî, ÷òî |M | = 35 = 243.Íà ìíîæåñòâå M äåéñòâóåò ãðóïïà G, ñîñòîÿùàÿ èç âðàùåíèé2π.
Åå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïîäãðóïïîé âíà óãëû, êðàòíûå527S5 , ïîðîæäåííîé ýëåìåíòîì σ = (12345). Ýòà ãðóïïà èçîìîðôíàöèêëè÷åñêîé ãðóïïå ïîðÿäêà 5. Äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîég < c1 , c2 , c3 , c4 , c5 > = < cg−1 (1) , cg−1 (2) , cg−1 (3) , cg−1 (4) , cg−1 (5) > .ãäå g ∈ G. Ýòî â ñàìîì äåëå äåéñòâèå, òàê êàê e äåéñòâóåòòîæäåñòâåííî, à(gh) < c1 , c2 , c3 , c4 , c5 > == < ch−1 g−1 (1) , ch−1 g−1 (2) , ch−1 g−1 (3) , ch−1 g−1 (4) , ch−1 g−1 (5) > == h < cg−1 (1) , cg−1 (2) , cg−1 (3) , cg−1 (4) , cg−1 (5) > == g(h(< c1 , c2 , c3 , c4 , c5 >)).Âåðíåìñÿ ê èñõîäíûì îæåðåëüÿì ñ íåïðîíóìåðîâàííûìè áóñèíàìè.
Èõ ÷èñëî N ðàâíî ÷èñëó îðáèò ãðóïïû G ïðè äåéñòâèèíà M . Ïî òåîðåìå 10.1 èìååìN=1(N (e) + N (σ) + N (σ 2 ) + N (σ 3 ) + N (σ 4 )).|G|Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå e îñòàâëÿåò íà ìåñòå ëþáîå ðàñêðàøèâàíèå, ïîýòîìó N (e) = |M | = 243. Ýëåìåíò σ îñòàâëÿåòíà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî c1 = c2 = c3 = c4 = c5 .Ïîýòîìó N (σ) = 3. Ýëåìåíò σ 2 îñòàâëÿåò íà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî c1 = c3 = c5 = c2 = c4 . Çíà÷èò, N (σ 2 ) = 3àíàëîãè÷íî N (σ 3 ) = N (σ 4 ) = 3 è, ñëåäîâàòåëüíî,1N = (243 + 3 + 3 + 3 + 3) = 51.
¤5ÏÐÈÌÅÐ 10.2. Ïóñòü Ω = {1, 2, ..., n} ìíîæåñòâî íîìåðîâýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ôèãóðû Φ; R êîíå÷íîå ìíîæåñòâî öâåòîâ,â êîòîðûå ìîãóò áûòü îêðàøåíû ýëåìåíòû ôèãóðû Φ;M = < c1 , ..., cn > | ci ∈ R, i = 1, ..., n > = Rn ìíîæåñòâî ðàñêðàøèâàíèé ôèãóðû Φ. Ïóñòü σ ∈ Sn íåêîòîðàÿ ïîäñòàíîâêà.
Îïðåäåëèì äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè σ íà ïðîèçâîëüíîå ðàñêðàøèâàíèå ïî ôîðìóëåσ < c1 , ..., cn > = < cσ−1 (1) , ..., cσ(−1(n) > .28Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà N (σ) ðàñêðàøèâàíèé, îñòàþùèõñÿ íà ìåñòå ïðè äåéñòâèè ïîäñòàíîâêè σ . Ðàçëîæèì ïîäñòàíîâêó σ â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ:σ = σ1 ... σk ,(10.1)ãäå k êîëè÷åñòâî öèêëîâ, ïðè÷åì ó÷èòûâàþòñÿ è öèêëû äëèíû1. Êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó öèêëó (i1 , ..., im ) ñîîòâåòñòâóåò< σ >-îðáèòà {i1 , ..., im }, è ïðè ýòîì ñîâîêóïíîñòü âñåõ < σ >îðáèò ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà Ω = {1, 2, ..., n}.
Ïóñòüc íåêîòîðîå ðàñêðàøèâàíèå ôèãóðû Φ, êîòîðîå îñòàåòñÿ íàìåñòå ïðè äåéñòâèè íà íåãî ïîäñòàíîâêè σ . Äëÿ ëþáîãî öèêëàσ1 = (i1 , ..., im ), âõîäÿùåãî â ðàçëîæåíèå (10.1), èìååìi1 = σ −1 (i1 ), ... im = σ −1 (im ),îòêóäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî σc = c, ïîëó÷àåìcim = cσ−1 (im ) = cim−1 = ... = cσ−1 (i2 ) = ci1 .Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíòû ôèãóðû Φ, âõîäÿùèå â îäíó è òó æå< σ >-îðáèòó, äîëæíû áûòü îêðàøåíû îäèíàêîâî.
Ïîñêîëüêó< σ >- îðáèòû íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ìîãóò áûòü îêðàøåíûíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, à òîãäà N (σ) = |R|k . ¤ÏÐÈÌÅÐ 10.3. Ñîñòàâëÿþòñÿ îæåðåëüÿ èç ïëîñêèõ áóñèíòðåõ öâåòîâ, îêðàøåííûõ îäèíàêîâî ñ îáåèõ ñòîðîí. Êàæäîåîæåðåëüå ñîñòîèò èç ïÿòè áóñèí. Íàéäåì ÷èñëî N ðàçëè÷íûõîæåðåëèé. äàííîì ñëó÷àå íà ìíîæåñòâå M äåéñòâóåò äèýäðàëüíàÿ ãðóïïà G = D5 . Îíà ñîñòîèò èç ïÿòè ïîâîðîòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ãðóïïó èç ïðèìåðà 10.1, è ïÿòè îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî îñåé ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà.
Ïðè îòîæäåñòâëåíèè ãðóïïûG ñ ïîäãðóïïîé â S5 , òèïè÷íûé ïîâîðîò ýòî σ = (12345), àòèïè÷íîå îòðàæåíèå τ = (1)(23)(45). Èñïîëüçóÿ ïðèìåð 10.2,ïîëó÷àåì N (e) = 243, N (σ) = 3 è N (τ ) = 33 = 27. Ïî ëåììåÁåðíñàéäà1N = (243 + 4.3 + 5.27) = 39. ¤10ÏÐÈÌÅÐ 10.4. Âû÷èñëèì, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü âåðøèíû ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà â q ðàçëè÷íûõ öâåòîâ.
Íàéäåì ñíà÷àëà ãðóïïó G äâèæåíèé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Îáîçíà÷èâ âåðøèíû òåòðàýäðà ÷èñëàìè 1, 2, 3 è 4, âèäèì, ÷òî èñêîìàÿ ãðóïïà åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû S4 . Òàê êàê29ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî äâèæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ,òî ïîðÿäîê G íå ïðåâîñõîäèò 12. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãðóïïà Gñîäåðæèò âðàùåíèÿ âîêðóã âûñîòû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó 4. Ýòè âðàùåíèÿ ñóòü e, (123), (132). Àíàëîãè÷íî, ãðóïïàG ñîäåðæèò è îñòàëüíûå òðîéíûå öèêëû. Âñå òðîéíûå öèêëû ïîðîæäàþò ïîäãðóïïó A4 ⊂ S4 .
Òàê êàê åå ïîðÿäîê ðàâåí 12, èìååì G ∼= A4 . Ýòà ãðóïïà äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå{1, 2, 3, 4} êàê ïîäãðóïïà ãðóïïû ïîäñòàíîâîê. Îíà ñîäåðæèòýëåìåíòû e = (1)(2)(3)(4), 8 ýëåìåíòîâ âèäà σ = (1)(234) è3 ýëåìåíòà âèäà τ = (12)(34). Ñîãëàñíî ïðèìåðó 10.2 èìååìN (e) = q 4 , N (σ) = q 2 , N (τ ) = q 2 . Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó Áåðíñàéäà, è ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà N ðàñêðàøèâàíèé:1q2N = (q 4 + 8q 2 + 3q 2 ) = (q 2 + 11).(10.2)1212Ðåøåííóþ çàäà÷ó ìîæíî òðàêòîâàòü òàêèì îáðàçîì: èìåþòñÿàòîìû q ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ.
Ìîëåêóëà âåùåñòâà ñîñòîèò èç÷åòûðåõ àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîëåêóë, ñîñòàâëåííûõ èç àòîìîâ äàííûõ ýëåìåíòîâ? Îòâåò äàåòñÿ ôîðìóëîé(10.2). ¤ÇÀÄÀ×À 10.1. Ñêîëüêèì ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü â qðàçëè÷íûõ öâåòîâ ãðàíè ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà? À åãî ðåáðà?11. Òåîðåìû ÑèëîâàÏóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, H åå ïîäãðóïïà, |G| = n, |H| =m. Òåîðåìà Ëàãðàíæà óòâåðæäàåò, ÷òî ÷òî m äåëèò n. Ïóñòüòåïåðü k ïðîèçâîëüíûé äåëèòåëü ÷èñëà n. Âîçíèêàåò âîïðîñ,ñóùåñòâóåò ëè â ãðóïïå G ïîäãðóïïà òàêîãî ïîðÿäêà.ÇÀÄÀ×À 11.1.
Óêàçàâ âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû A4 , óáåäèòüñÿ,÷òî â ýòîé ãðóïïå ïîðÿäêà 12 íåò ïîäãðóïïû ïîðÿäêà 6.Ïóñòü |G| = pr l, ãäå p ïðîñòîå, à l íå äåëèòñÿ íà p. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òîãäà â ãðóïïå G ñóùåñòâóåò ïîäãðóïïà ïîðÿäêà pr .Òàêèå ïîäãðóïïû íàçûâàþòñÿ ñèëîâñêèìè ïîäãðóïïàìè.ÒÅÎÐÅÌÀ 11.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Ñèëîâà). Ñèëîâñêèå p-ïîäãðóïïûñóùåñòâóþò.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M ìíîæåñòâî âñåõïîäìíîæåñòâ â G, ñîäåðæàùèõ ðîâíî p ýëåìåíòîâ. ×èñëî òàêèõ30ïîäìíîæåñòâ ðàâíîµ|M| =pr ll¶pr −1=lY pr l − j,jj=1è ýòî ÷èñëî íå äåëèòñÿ íà p.
Ëþáîé ëåâûé ñäâèã íà ýëåìåíòg ∈ G ïåðåâîäèò ìíîæåñòâî M ∈ M â ïîäìíîæåñòâî gM ∈ M,ò. å. G äåéñòâóåò íà M ëåâûìè ñäâèãàìè.Ïóñòü {M1 , ..., Ms } òà îðáèòà, ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîòîðîé íåäåëèòñÿ íà p è ïóñòüG1 = {g ∈ G | gM1 = M1 }.Òîãäà G1 ïîäãðóïïà â G. Îáîçíà÷èì |G1 | = t. Èç òåîðåìûËàãðàíæà ïîëó÷àåì ts = |G| = pr l. Çíà÷èò, t äåëèòñÿ íà pr , â÷àñòíîñòè, t > pr .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè x ∈ M1 , òî G1 (x) ⊂ M1 . Ãðóïïà G1äåéñòâóåò ëåâûìè ñäâèãàìè íà G, ïîýòîìó ñòàöèîíàðíàÿ îðáèòàëþáîé òî÷êè òðèâèàëüíà, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
