algebra (956977), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïóñòü â K èìååò ìåñòî çàêîí ñîêðàùåíèÿ, òîãäà èç ab = a.0 ñëåäóåò, ÷òî ëèáî a = 0, ëèáî a 6= 0 èòîãäà b = 0. Îáðàòíî, åñëè K îáëàñòü öåëîñòíîñòè è ab = ac,òî a(b − c) = 0, îòêóäà b − c = 0 è b = c. ¤Â êîëüöå K ñ åäèíèöåé åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ: ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì,åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a−1 , äëÿ êîòîðîãî aa−1 = a−1 a = 1.37ÏÐÈÌÅÐ 2.2.  êîëüöå Mn (R) îáðàòèìûå ýëåìåíòû ýòî âòî÷íîñòè ìàòðèöû ñ íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2. Âñå îáðàòèìûå ýëåìåíòû êîëüöà K ñ åäèíèöåé ñîñòàâëÿþò ãðóïïó U (K) ïî óìíîæåíèþ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè a, b ∈ U (K),òî ab ∈ U (K). Ýòî òàê, ïîñêîëüêó (ab)−1 = b−1 a−1 . ¤ÏÐÈÌÅÐ 2.3. U (Z) = {±1}.ÇÀÄÀ×À 2.2. Âû÷èñëèòü U (Z5 ) è U (Z6 ).Äàëåå âñþäó K îáëàñòü öåëîñòíîñòè.Ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíò b ∈ K äåëèòñÿ íà a ∈ K , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé c ∈ K , ÷òî b = ac. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a | b. Åñëè a | bè b | a, òî ýëåìåíòû a è b íàçûâàþòñÿ àññîöèèðîâàííûìè. Òîãäàb = ua, ãäå u | 1, ò. å. u îáðàòèì.Ýëåìåíò p ∈ K íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè p íåîáðàòèì è åãîíåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå p = ab, ãäå a è b íåîáðàòèìûåýëåìåíòû.ÇÀÄÀ×À 2.4.
Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà äåëèìîñòè â îáëàñòè öåëîñòíîñòè K :1) åñëè a | b, b | c, òî a | c;2) åñëè c | a è c | b, òî c | (a ± b);3) åñëè a | b, òî a | bc;4) åñëè êàæäûé èç ýëåìåíòîâ b1 , ..., bm ∈ K äåëèòñÿ íà a, òîíà a áóäåò äåëèòüñÿ è ýëåìåíò b1 c1 + ... + bm cm , ãäå c1 , ..., cm ïðîèçâîëüíû.Ãîâîðÿò, ÷òî îáëàñòü öåëîñòíîñòè åñòü ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî, åñëè åñëè ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò a ýòîãî êîëüöà ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäåa = up1 p2 ... pr ,(2.1)ãäå u îáðàòèìûé ýëåìåíò, à p1 , ...pr ïðîñòûå ýëåìåíòû (íåîáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûå), ïðè÷åì åñëè ñóùåñòâóåò äðóãîå òàêîåðàçëîæåíèåa = vq1 q2 ...
qs ,òî r = s è ïîñëå ïîäõîäÿùåé ïåðåíóìåðàöèè ýëåìåíòîâ pi è qjáóäåòp1 = u1 q1 , p2 = u2 q2 , ..., pr = ur qr ,ãäå u1 , ..., ur îáðàòèìûå ýëåìåíòû.Äîïóñêàÿ â ðàâåíñòâå (2.1) çíà÷åíèå r = 0, ìû ïðèíèìàåìñîãëàøåíèå, ÷òî îáðàòèìûå ýëåìåíòû â K òàêæå èìåþò ðàçëî38æåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. ßñíî, ÷òî åñëè p ïðîñòîé, à u îáðàòèìûé ýëåìåíò, òî up òàêæå ïðîñòîé.  êîëüöå Z îòíîøåíèå ïîðÿäêà ïîçâîëÿåò èç äâóõ âîçìîæíûõ ïðîñòûõ ýëåìåíòîââûäåëèòü îäèí ïðîñòî ÷èñëî p.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3. Ïóñòü K îáëàñòü öåëîñòíîñòè ñ ðàçëîæåíèåì.
Êîëüöî K êîëüöî ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì(ôàêòîðèàëüíîå) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáîé ïðîñòîéýëåìåíò p ∈ K, äåëÿùèé ïðîèçâåäåíèå ab ∈ K, äåëèò ëèáî a,ëèáî b.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü ab = pc. ÅñëèYYYa=ai , b =bj , c =ck ðàçëîæåíèÿ a, b, c íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, à K êîëüöî cîäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì, òî èç ðàâåíñòâàY YYaibj = pckñëåäóåò, ÷òî p àññîöèèðîâàí ñ îäíèì èç ai èëè bj , ò. å. p äåëèòèëè a èëè b.Îáðàòíî, óñòàíîâèì îäíîçíà÷íîñòü ðàçëîæåíèÿ â êîëüöå K ,óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ òåîðåìû. Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè,äîïóñòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ èç K ñ ÷èñëîì ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé, íå áîëüøèõ n, åäèíñòâåííî (äëÿ ïðîñòûõýëåìåíòîâ ýòî âåðíî).
Ïóñòü òåïåðüa=n+1Ypi =i=1m+1Yrj ,j=1ãäå m ≥ n. Ïî óñëîâèþ, pn+1 äåëèò îäèí èç r1 , ..., rm+1 . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî pn+1 | rm+1 . Òàê êàê rm+1 ïðîñòîé ýëåìåíò,pn+1 è rm+1 àññîöèèðîâàíû. Ñîêðàùàÿ íà îñíîâàíèè òåîðåìû2.1,ïîëó÷àåìmnYYrj .pi =j=1i=1Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè m = n è ðàçëîæåíèÿ îòëè÷àþòñÿòîëüêî ïîðÿäêîì ìíîæèòåëåé (è, âîçìîæíî, íåêîòîðûìè îáðàòèìûìè êîýôôèöèåíòàìè). ¤Â ïðîèçâîëüíîì öåëîñòíîì êîëüöå ýëåìåíò a 6= 0 âîâñå íå îáÿçàí äîïóñêàòü ðàçëîæåíèå â ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ.
Ñ äðóãîé39ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò êîëüöà, â êîòîðûõ ëþáîé ýëåìåíò äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå â ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ, íî òàêîå ðàçëîæåíèåíå åäèíñòâåííî.√ÏÐÈÌÅÐ 2.4. Ðàññìîòðèì êîëüöî K = {a + b −5, a, b ∈ Z}.Ýòî îáëàñòü öåëîñòíîñòè.  ýòîì êîëüöå èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå√√9 = 3.3 = (2 + −5)(2 − −5).√√Ýëåìåíòû 3, 2 + −5, 2 − −5 ïðîñòû è ïîïàðíî íå àññîöèèðîâàíû. Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå K ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûåìíîæèòåëè íå åäèíñòâåííî. ¤2.2.
Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîåÏóñòü K îáëàñòü öåëîñòíîñòè. Íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ýëåìåíòîâ a, b ∈ K íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò d ∈ K , ÷òî1) d | a, d | b;2) c | a, c | b ⇒ c | d.Ýëåìåíò d îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè. Îíîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ÍÎÄ (a, b).ÇÀÄÀ×À 2.5. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà1) ÍÎÄ (a, b) = a ⇐⇒ a | b;2) ÍÎÄ (a, 0) = a;3) ÍÎÄ (a, b) = ÍÎÄ (b, a);4) (ÍÎÄ (ÍÎÄ (a, b), c) = ÍÎÄ (a, ÍÎÄ (b, c)).Ïóñòü K îáëàñòü öåëîñòíîñòè.
Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ýëåìåíòîâ a, b ∈ K íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò m = ÍÎÊ (a, b),÷òî1) a | m, b | m;2) a | c, b | c ⇒ m | c.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.4. Ïóñòü äëÿ ýëåìåíòîâ a, b îáëàñòè öåëîñòíîñòè K ñóùåñòâóþò ÍÎÄ (a, b) è ÍÎÊ (a, b). Òîãäà1) ÍÎÊ (a, b) = 0 ⇐⇒ a = 0 èëè b = 0;2) a, b 6= 0, m = ÍÎÊ (a, b), ab = dm ⇒ d = ÍÎÄ (a, b).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ íàäî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýëåìåíò d, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì ab = dm,îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 1) è 2) îïðåäåëåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî40äåëèòåëÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî ýëåìåíòîâ a è b ñëåäóåò, ÷òî m = a1 a, m = b1 b. Çíà÷èò, ab = dm =daa1 , îòêóäà, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà a, èìååì b = da1 , ò. å. d | b.Àíàëîãè÷íî, d | a.Äàëåå, ïóñòü a = f a2 , b = f b2 . Ïîëîæèì c = f a2 b2 . Òîãäàc = ab2 = ba2 îáùåå êðàòíîå a è b. Ïîýòîìó c = c1 m, îòêóäàf c1 m = f c = f 2 a2 b2 = ab = dm, ò. å. d = f c1 è f | d. ¤Èç òåîðåìû 2.4 íåëüçÿ ïîëó÷èòü íè ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ, íèäîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ÍÎÄ (a, b) è ÍÎÊ (a, b); óñòàíàâëèâàåòñÿ òîëüêî ñâÿçü ìåæäó íèìè.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî K ôàêòîðèàëüíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåçP òàêîå ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ â K , ÷òî âñÿêèé ïðîñòîéýëåìåíò â K àññîöèèðîâàí ðîâíî ñ îäíèì ýëåìåíòîâ èç P. Ðàññìàòðèâàÿ ðàçëîæåíèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ K , óäîáíî ñ÷èòàòü,÷òî â íèõ âõîäÿò îäèíàêîâûå ýëåìåíòû èç P, íî íåêîòîðûå, âîçìîæíî, ñ íóëåâûìè ïîêàçàòåëÿìè, ò.
å.a = upk11 pk22 ... pkr r ,b = vpl11 pl22 ... plrr ,(2.2)ãäå u | 1, v | 1; ki ≥ 0, lj ≥ 0, pi ∈ P, i = 1, ..., r. Èç òåîðåìû 2.3ïîëó÷àåòñÿÒÅÎÐÅÌÀ 2.5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè). Ïóñòü a, b ýëåìåíòûôàêòîðèàëüíîãî êîëüöà K, çàïèñàííûå â âèäå (2.2). Ñïðàâåäëèâîóòâåðæäåíèå1) a | b ⇐⇒ ki ≤ li , i = 1, ..., r;2) ÍÎÄ (a, b) = ps11 ... psrr , ãäå si = min{ki , li }, i = 1, ..., r;3) ÍÎÊ (a, b) = pt11 ...
ptrr , ãäå ti = max{ki , li }, i = 1, ..., r. ¤Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèçíàê äàæå â ñëó÷àå K = Z âîâñå íåäîêàçûâàåò ôàêòîðèàëüíîñòü K .2.3. Åâêëèäîâû êîëüöàÎáëàñòü öåëîñòíîñòè K íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì êîëüöîì, åñëè îïðåäåëåíî òàêîå îòîáðàæåíèåδ : K − {0} = K ∗ → N ∪ {0},÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ1) δ(ab) ≥ δ(a) äëÿ âñåõ a, b ∈ K ∗ ;2) äëÿ âñåõ a, b ∈ K , b 6= 0, íàéäóòñÿ q, r ∈ K , äëÿ êîòîðûõa = qb + r, δ(r) < δ(b) èëè r = 0.41ÏÐÈÌÅÐ 2.5. Êîëüöî Z åâêëèäîâî, δ(a) = | a|.
¤Â åâêëèäîâûõ êîëüöàõ ñóùåñòâóåò ñïîñîá íàõîæäåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ, íàçûâàåìûé àëãîðèòìîì Åâêëèäà.Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñò äàíû íåíóëåâûå ýëåìåíòûa, b åâêëèäîâà êîëüöà K . Äåëÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îñòàòêîì, ìûïîëó÷àåìa = q1 b + r1 ,δ(r1 ) < δ(b),b = q2 r 1 + r 2 ,δ(r2 ) < δ(r1 ),r1 = q3 r2 + r3δ(r3 ) < δ(r2 ),(2.3)....................... rk−2 = qk rk−1 + rk δ(rk ) < δ(rk−1 ),rk−1 = qk+1 rkrk+1 = 0.Ñòðîãî óáûâàþùàÿ öåïî÷êà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë δ(b) > δ(r1 ) >δ(r2 ) > ...
äîëæíà íà êàêîì-òî øàãå îáîðâàòüñÿ. Óòâåðæäàåòñÿ,÷òî ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ îñòàòîê rk è ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ýëåìåíòîâ a è b.  ñàìîì äåëå, ïî óñëîâèþ rk |rk−1 . Äâèãàÿñü ïî ñèñòåìå (2.3) ñíèçó ââåðõ, ïîëó÷èìöåïî÷êó rk | rk−2 , rk | rk−3 , ..., rk | b, rk | a. Çíà÷èò, rk îáùèé äåëèòåëü ýëåìåíòîâ a è b. Îáðàòíî, ïóñòü c îáùèé äåëèòåëüýëåìåíòîâ a è b.
Òîãäà c | r1 è äâèãàÿñü ïî ñèñòåìå (2.3) ñâåðõóâíèç, ìû ïîëó÷àåì c | rk . Òàêèì îáðàçîì ÍÎÄ (a, b) ñóùåñòâóåòèrk = ÍÎÄ (a, b).Çàìåòèì, åùå, ÷òî îñòàòîê ri â ñèñòåìå (2.3) âûðàæàåòñÿ ââèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè â K äâóõ ïðåäûäóùèõ îñòàòêîâ ri−1ri−2 .
Ïðè ýòîì r1 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a è b: r1 = a − q1 b, à r2 ,âûðàæàÿñü ëèíåéíî ÷åðåç b è r1 , òåì ñàìûì ÿâëÿåòñÿ îïÿòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé a è b. Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà â riâûðàæåíèé äëÿ ri−1 è ri−2 äàñò ïðè i = k âûðàæåíèårk = au + bvñ êàêèìè-òî ýëåìåíòàìè u, v ∈ K .Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 2.4, ïîëó÷àåì òàêîå óòâåðæäåíèå.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.5.  åâêëèäîâîì êîëüöå K ëþáûå äâà ýëåìåíòàa, b èìåþò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò òàêèå u, v ∈ K , ÷òîÍÎÄ (a, b) = au + bv.42 ÷àñòíîñòè, ýëåìåíòû a, b ∈ K âçàèìíî ïðîñòû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû u, v ∈ K , äëÿ êîòîðûõau + bv = 1. ¤K.ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Ïóñòü a, b, c ýëåìåíòû åâêëèäîâà êîëüöà1) Åñëè ÍÎÄ (a, b) = 1 è ÍÎÄ (a, c) = 1, òî ÍÎÄ (a, bc) = 1.2) Åñëè a | bc è ÍÎÄ (a, b) = 1, òî a | c.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
1) Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5, èìååì ðàâåíñòâàau1 + bv1 = 1, au2 + cv2 = 1.Ïåðåìíîæàÿ ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè, íàõîäèìa(au1 u2 + bu2 v1 + cu1 v2 ) + bc(v1 v2 ) = 1,÷òî è äàåò íóæíîå óòâåðæäåíèå.2) Èìååì au + bv = 1, îòêóäà acu + (bc)v = c. Íî bc = aw,ïîýòîìó c = a(cu + wv), ò. å. a | c. ¤Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.5. ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ åâêëèäîâà êîëüöà.ËÅÌÌÀ 2.1. Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ñðàçëîæåíèåì.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü ýëåìåíò êîëüöà a îáëàäàåò ñîáñòâåííûì äåëèòåëåì b: a = bc, ãäå b è c íåîáðàòèìûå ýëåìåíòûêîëüöà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
