algebra (956977), страница 2
Текст из файла (страница 2)
å. îïðåäåëåííûå íå íà âñåì X × X , àòîëüêî íà íåêîòîðîì åãî ïîäìíîæåñòâå. Îáû÷íî âìåñòî çàïèñè z = f (x, y) ïèøóò z = x ∗ y, z = x ◦ y èëè åùå êàê-íèáóäü,åñëè òîëüêî ó îïåðàöèè íåò èíîãî òðàäèöèîííîãî îáîçíà÷åíèÿ,íàïðèìåð, z = x + y . ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿçàïèñü îïåðàöèè: z = xy . Ìíîæåñòâî X ñ îïåðàöèåé ∗ áóäåòîáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç (X, ∗). Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èìíîæåñòâà ñ äâóìÿ îïåðàöèÿìè (X, ∗, ◦) (è ñ áîëüøèì ÷èñëîìîïåðàöèé).Ïóñòü (X, ∗) êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñ îïåðàöèåé. Ðåçóëüòàòûîïåðàöèè, çàäàííîé íà òàêîì ìíîæåñòâå, óäîáíî çàïèñûâàòü ââèäå òàê íàçûâàåìîé òàáëèöû Êýëè. Ñëåâà è ââåðõó êâàäðàòíîéòàáëèöû âûïèñûâàþò âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà. Íà ïåðåñå÷åíèèñòðîêè, îòâå÷àþùåé ýëåìåíòó x, è ñòîëáöà, îòâå÷àþùåãî ýëåìåíòó y , ïèøóò ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íàä ïàðîé (x, y), ò.
å. x ∗ y .Ïî ïîâîäó ïðèìåðîâ ñì. íèæå ï. 1.Ïóñòü (X, ∗) ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ñ îïåðàöèåé. Îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé, åñëè äëÿ âñÿêîé òðîéêè ýëåìåíòîâ x, y, z ∈ X èìååì(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).Îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé, åñëè äëÿ âñÿêîé ïàðûýëåìåíòîâ x, y ∈ X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîx ∗ y = y ∗ x.Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿ íåéòðàëüíûì (ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé îïåðàöèè), åñëè äëÿ âñåõ x ∈ X èìååìx ∗ e = e ∗ x = x.ÇÀÄÀ×À 0.2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåííûé.Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ íàçûâàåòñÿíóëåì, ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ åäèíèöåé.Ïóñòü äëÿ îïåðàöèè * ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò e.Ýëåìåíò y íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê ýëåìåíòó x (à x îáðàòíûìê y ), åñëèx ∗ y = y ∗ x = e.ÏÐÈÌÅÐ 0.6.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (Z, +, .)ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ. Îáå îïåðàöèè6àññîöèàòèâíû è êîììóòàòèâíû, äëÿ íèõ ñóùåñòóþò íåéòðàëüíûåýëåìåíòû 0 äëÿ ñëîæåíèÿ è 1 äëÿ óìíîæåíèÿ. Ïî îòíîøåíèþê ñëîæåíèþ ó êàæäîãî ýëåìåíòà n åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò −n.Ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ îáðàòèìû òîëüêî äâà ýëåìåíòà 1 è −1. ¤Èç âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ìíîæåñòâ ñ îïåðàöèÿìè èñòîðè÷åñêèâûäåëèëèñü íåêîòîðûå, èìåþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ çíà÷èòåëüíîå ïðèìåíåíèå. Ìû áóäåì èçó÷àòü â îñíîâíîì òàê íàçûâàåìûåãðóïïû è êîëüöà.
Ñêàæåì åùå íåñêîëüêî ñëîâ î ñòðóêòóðå, íàçûâàåìîé ïîëóãðóïïîé. Ïîëóãðóïïîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ñîäíîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé. Åñëè ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûéýëåìåíò, òî ïîëóãðóïïà íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïîé ñ åäèíèöåé. Åñëè îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà, ïîëóãðóïïà íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé. Ïðèìåðîì ïîëóãðóïïû ñëóæèò ìíîæåñòâî (N, +) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.
Ýòà ïîëóãðóïïà êîììóòàòèâíà. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (N, .) îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïîé ñ åäèíèöåé.ÏÐÈÌÅÐ 0.7. Ìíîæåñòâî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé äàííîãî ìíîæåñòâà X ñ îïåðàöèåé êîìïîçèöèè åñòü ïîëóãðóïïà (âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîììóòàòèâíàÿ) ñ åäèíèöåé idX . ¤ÒÅÎÐÅÌÀ 0.2. Ïóñòü X ïîëóãðóïïà. Òîãäà ïðîèçâåäåíèåx1 x2 ...xn , xi ∈ X íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåñëîæíî ïîëó÷èòü èíäóêöèåéïî n. ¤Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 0.2, çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ xx...x (nðàç) íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Îíî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçxn .
 ñëó÷àå ïîëóãðóïïû ñ åäèíèöåé ïîëàãàþò òàêæå x0 = e.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãðóïïÌíîæåñòâî G ñ áèíàðíîé îïåðàöèåé (çàïèñûâàåìîé ìóëüòèïëèêàòèâíî) íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè:1) îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà, ò. å. (ab)c = a(bc) äëÿ ëþáûõa, b, c ∈ G;2) â G ñóùåñòâóåò åäèíèöà, ò. å. òàêîé ýëåìåíò e, ÷òî ea =ae = a äëÿ âñåõ a ∈ G;3) äëÿ êàæäîãî a ∈ G ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 , ò. å.òàêîé, ÷òî aa−1 = a−1 a = e.Åñëè îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà, òî ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êîììó7òàòèâíîé èëè àáåëåâîé.Êàê ïîêàçûâàåò çàäà÷à 0.2, åäèíèöà îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.ÇÀÄÀ×À 1.1.
Äîêàæèòå, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 åäèíñòâåííûé. Óêàçàíèå: ýòî äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé ìàòðèöû.ÏÐÈÌÅÐ 1.1. Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî, G = S(M ) ìíîæåñòâî áèåêòèâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîæåñòâà M . Òîãäà G ãðóïïà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè. Åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì G ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå idM .Ýëåìåíòû ãðóïïû íàçûâàþòñÿ ïîäñòàíîâêàìè ìíîæåñòâà M . Â÷àñòíîñòè, åñëè M = {1, 2, ..., n}, òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïîé è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Sn .ÏÐÈÌÅÐ 1.2. Ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñäåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè è íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì åñòüãðóïïà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.
Ýòà ãðóïïàîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç GL (n, R). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ãðóïïû GL (n, C) è GL (n, Z). ¤ÏÐÈÌÅÐ 1.3. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Zn êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè [0], [1], ..., [n − 1] èç ïðèìåðà 0.2. Ââåäåì â ýòîì ìíîæåñòâåîïåðàöèþ, ïîëàãàÿ [k] + [l] = [k + l]. Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî,òàê êàê åñëè [k1 ] = [k], [l1 ] = [l], òî [k1 + l1 ] = [k + l]. Ââåäåííàÿîïåðàöèÿ ïðåâðàùàåò ìíîæåñòâî Zn â ãðóïó. Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, àêñèîìó àññîöèàòèâíîñòè:([k] + [l]) + [m] = [k + l] + [m] = [(k + l) + m] == [k + (l + m)] = [k] + ([l] + [m]).Îñòàëüíûå äâå àêñèîìû ïðîâåðüòå ñàìîñòîÿòåëüíî. ¤Äëÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G íàçîâåì ÷èñëî |G| åå ïîðÿäêîì. êîíå÷íîé ãðóïïå îïåðàöèþ ìîæíî çàäàâàòü ïðè ïîìîùèòàáëèöû Êýëè.ÏÐÈÌÅÐ 1.4. Ïóñòü G = {e, a} è òàáëèöà Êýëè èìååò âèäÒÀÁËÈÖÀ 1.1..eae ae aa eÎ÷åâèäíî, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè ãðóïïó, ò.
å. àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíåíû. ¤8Ïóñòü G ãðóïïà. Ïîäìíîæåñòâî H ⊆ G íàçûâàåòñÿ åå ïîäãðóïïîé, åñëè1) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H ;2) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H .ßñíî, ÷òî ïîäãðóïïà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Îòìåòèì, ÷òî åñëè N ïîäãðóïïà â H , à H ïîäãðóïïà âG, òî N ïîäãðóïïà â G.ÏÐÈÌÅÐ 1.5.
Ìíîæåñòâî An âñåõ ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê èçn ýëåìåíòîâ îáðàçóåò ïîäãðóïïó ãðóïïû Sn . Îíà íàçûâàåòñÿçíàêîïåðåìåííîé ãðóïïîé.ÏÐÈÌÅÐ 1.6. Ïîäìíîæåñòâî SL (n, R) âñåõ ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì 1 åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû GL (n, R).ÏÐÈÌÅÐ 1.7. Ïîäìíîæåñòâî O(n) âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû GL (n, R). Ïîäìíîæåñòâî SO(n) âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì 1, åñòü ïîäãðóïïû ãðóïïû O(n) ( à òàêæå ãðóïïûSL (n, R)). ¤Ïóñòü G è G0 ãðóïïû. Îòîáðàæåíèå f : G → G0 íàçûâàåòñÿãîìîìîðôèçìîì ãðóïï, åñëèf (xy) = f (x)f (y)äëÿ âñåõ x, y ∈ G. Áèåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Èçîìîðôèçì ãðóïïû íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ àâòîìîðôèçìîì.ÇÀÄÀ×À 1.2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f : G → G0 ãîìîìîðôèçì,òî1) f (e) = e0 :2) f (x−1 ) = [f (x)]−1 ;3) f (G) åñòü ïîäãðóïïà â G0 .Ïóñòü f : G → G0 ãîìîìîðôèçì. Åãî ÿäðîì Ker f íàçûâàåòñÿKer f = {g ∈ G | f (g) = e0 }.ßñíî, ÷òî ÿäðî ãîìîìîðôèçìà ïîäãðóïïà â G (ïðîâåðüòå).Åñëè Ker f = {e}, òî f íàçûâàåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì. Êàê ëåãêîâèäåòü, f ìîíîìîðôèçì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí.Ïîäãðóïïà f (G) â G0 íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ãîìîìîðôèçìà f èîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Im f . Åñëè ãîìîìîðôèçì ñþðúåêòèâåí, ò. å.Im f = G0 , òî îí íàçûâàåòñÿ ýïèìîðôèçìîì.9Äëÿ a ∈ G îáîçíà÷èì ÷åðåç la ëåâûé ñäâèã íà ýëåìåíò a:la (x) = ax,x ∈ G.Ýòî îòîáðàæåíèå la : G → G.ÇÀÄÀ×À 1.3. Îòîáðàæåíèå la áèåêòèâíî.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâûé ñäâèã ra .
Ýòî òàêæå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå. ÷àñòíîñòè, åñëè ãðóïïà G êîíå÷íà, òî èç áèåêòèâíîñòè la rañëåäóåò, ÷òî êàæäîé ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå åå òàáëèöû Êýëèâñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû.ÏÐÈÌÅÐ 1.8. Íàéäåì âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî G = {e, a}, ãäå e åäèíèöà. Òîãäà e2 = e, ea = ae = a è îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü òîëüêîa2 , ò. å. çàïîëíèòü ïîñëåäíþþ êëåòêó â òàáëèöå 1.1.
 ñèëóïîñëåäíåãî çàìå÷àíèÿ äîëæíî áûòü a2 = e, ò. å. ãðóïïà îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Òàê êàê ãðóïïà Z2 èìååò ïîðÿäîê 2, òî G ∼= Z2 .¤ÏÐÈÌÅÐ 1.9. Íàéäåì âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 3. Ïóñòü G = {e, a, b}, ãäå e åäèíèöà. Òîãäà òàáëèöà Êýëè èìååò âèäÒÀÁËÈÖÀ 1.2.eabe ae aa *b *bb**è íàäî çàïîëíèòü íåäîñòàþùèå êëåòêè.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â êàæäîéñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå âñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû, âèäèì, ÷òî ýòîìîæíî ñäåëàòü îäíîçíà÷íî: ba = e è òîãäà b2 = a, ab = e, a2 = b.Çíà÷èò, G = {e, a, a2 } è ýòî, î÷åâèäíî, ãðóïïà. Îíà àáåëåâà èèçîìîðôíà, êàê ëåãêî âèäåòü, ãðóïïå Z3 . ¤ÇÀÄÀ×À 1.3. Îïèñàòü âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà,ãðóïïû ïîðÿäêà 4. Îòâåò: òàêèõ ãðóïï äâå. Èõ òàáëèöû Êýëèñóòü10ÒÀÁËÈÖÀ 1.3eabce ae aa bb cc eb cb cc ee aa bÒÀÁËÈÖÀ 1.4..eabce ae aa eb cc bb cb cc de fa eÝòè ãðóïïû àáåëåâû. ¤ÇÀÄÀ×À 1.4. Óáåäèòåñü, ÷òî ãðóïïà, çàäàííàÿ òàáëèöåé 1.3,èçîìîðôíà Z4 .Äëÿ îïðåäåëèì ïðåîáðàçîâàíèå Ig : G → G ôîðìóëîéIg (x) = gxg −1 .Äðóãèìè ñëîâàìè, Ig = lg ◦ rg−1 = rg−1 ◦ lg .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
