algebra (956977), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ýëåìåíòû x è gxg −1íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè.ÇÀÄÀ×À 1.5. Ig àâòîìîðôèçì ãðóïïû g .ÇÀÄÀ×À 1.6. Îòíîøåíèå ñîïðÿæåííîñòè åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.ÇÀÄÀ×À 1.7. Ðàñïðåäåëèòü ýëåìåíòû ãðóïïû S3 ïî êëàññàìñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ.ÇÀÄÀ×À 1.8. Êàêèå èç óêàçàííûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû GL (2, R)ñîïðÿæåíû?µ¶µ¶µ¶2 11 12 0x=, y=, z=.0 2−1 30 2Íàçîâåì ïîðÿäêîì o(x) ýëåìåíòà x ãðóïïû íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå n ñî ñâîéñòâîì xn = e.ÏÐÈÌÅÐ 1.10.
 ãðóïïå, çàäàííîé òàáëèöåé 1.3, èìååì o(a) =o(c) = 4, o(b) = 2. Ïîðÿäêè âñåõ íååäèíè÷íûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû,çàäàííîé òàáëèöåé 1.4, ðàâíû 2. Çíà÷èò, ýòè ãðóïïû íåèçîìîðôíû.ÇÀÄÀ×À 1.9. Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäêè ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ðàâíû.ÇÀÄÀ×À 1.10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîðÿäêè âñåõ íååäèíè÷íûõýëåìåíòîâ ãðóïïû ðàâíû 2, òî ãðóïïà àáåëåâà.ÇÀÄÀ×À 1.11. Ïóñòü o(x) = k è xn = e. Òîãäà n = kl.Óêàçàíèå: n = kl + r, 0 ≤ r < k .ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1 (Êýëè).
Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà èçîìîðôíàïîäãðóïïå ãðóïïû Sn äëÿ íåêîòîðîãî n.11ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà è |G| = n.Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà a ∈ G ðàññìîòðèì ëåâûé ñäâèã la . Ýòîýëåìåíò ãðóïïû S(G) = Sn . Ìû ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå f : G →Sn , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé f (a) = la . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî f èíúåêòèâíûé ãîìîìîìîðôèçì.  ñàìîì äåëå, f (ab) = lab = la ◦ lbè åñëè la (x) = lb (x), òî ax = bx, îòêóäà a = b. Èòàê, f îòîáðàæàåòG èçîìîðôíî íà ïîäãðóïïó f (G) ⊂ Sn .
¤ÇÀÄÀ×À 1.12. Ïóñòü f è g àâòîìîðôèçìû ãðóïïû G. Äîêàæèòå, ÷òî f ◦ g è f −1 òîæå àâòîìîðôèçìû.Çàäà÷à 1.12 ïîêàçûâàåò, ÷òî àâòîìîðôèçìû ãðóïïû G îáðàçóþò ïîäãðóïïó â ãðóïïå S(G). Ýòà ãðóïïà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçAut G.2. Ïîðîæäàþùèå ìíîæåñòâàÊàê ëåãêî âèäåòü, ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîäãðóïï ïîäãðóïïà. Ïóñòü G ãðóïïà è M ⊆ G ïîäìíîæåñòâî. Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäãðóïï ãðóïïû G, ñîäåðæàùèõ M , íàçûâàåòñÿïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì M , à ñàìî M ïîðîæäàþùèì ìíîæåñòâîì ïîäãðóïïû < M >.ÏÐÈÌÅÐ 2.1.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïàSn ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðàíñïîçèöèÿìè (ij). Òàê êàê(ij) = (1j)(1i)(1i),òî Sn ïîðîæäàåòñÿ äàæå òðàíñïîçèöèÿìè (12), (13), ..., (1n).ÏÐÈÌÅÐ 2.2. Çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðîéíûìè öèêëàìè (ijk), òàê êàê ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà åñòü ïðîèçâåäåíå ÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé è(ij)(ik) = (ikj),(ij)(kl) = (jkl)(ilj).Ïîäãðóïïà < a >, ïîðîæäåííàÿ îäíèì ýëåìåíòîì a, íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé. Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ îáðàçóþùåé ýòîé ãðóïïû.ÏÐÈÌÅÐ 2.3.
Ãðóïïà Z = (Z, +) öèêëè÷åñêàÿ.ÏÐÈÌÅÐ 2.4. Ãðóïïà Zn öèêëè÷åñêàÿ.ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1. Ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà ãðóïïå Z. Ëþáàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíå÷íîãî ïîðÿäêàèçîìîðôíà ãðóïïå Zn .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü G áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿãðóïïà, è g åå îáðàçóþùàÿ.
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : G →12Z, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé f (g n ) = n, n ∈ Z. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ãðóïïû G íà ãðóïïóZ.Ïóñòü òåïåðü G êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà è g åå îáðàçóþùàÿ. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f : G → Zn , îïðåäåëåííîåôîðìóëîé f (g k ) = [k], ãäå [k] îçíà÷àåò êëàññ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþn ÷èñëà k . Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî è, êàê ëåãêîïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ãðóïïû G íà ãðóïïó Zn . ¤ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2. Ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû öèêëè÷åñêàÿ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü G öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n ñ îáðàçóþùåé g è H åå íååäèíè÷íàÿ ïîäãðóïïà. Ïóñòü k íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ñî ñâîéñòâîì g k ∈ H . Èìååìn = kl + r, 0 ≤ r < k .
Òîãäà g r ∈ H , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó÷èñëà k . Çíà÷èò, k åñòü äåëèòåëü ÷èñëà n.Ïîäãðóïïà H ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, ïîðîæäåííóþ ýëåìåíòîì g k . Ïóñòü îíà ñîäåðæèò åùå ýëåìåíò g m è m =kl + r, 0 < r < k . Òîãäà g r ∈ H , ÷òîü ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó k .Çíà÷èò H =< g k >.Äëÿ áåñêîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïû G äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. ¤ÇÀÄÀ×À 2.3. Íàéòè ãðóïïû Aut Z3 , Aut Z4 , Aut Z5 .3. Öåíòð è êîììóòàíòÏóñòü G ãðóïïà èZ(G) = {x ∈ G | ax = xa äëÿ âñåõ a ∈ G}.Òîãäà Z(G) íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ãðóïïû G.
Êàê ëåãêî âèäåòü,Z(G) ïîäãðóïïà ãðóïïû G.ÏÐÈÌÅÐ 3.1. Åñëè G àáåëåâà, òî åå öåíòð ñîâïàäàåò ñ G.¤ÇÀÄÀ×À 3.1. Êàêîâ öåíòð ãðóïïû GL (n, R)?Ïîäãðóïïà H ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé,åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G è âñåõ h ∈ H èìååìghg −1 ∈ H.ÇÀÄÀ×À 3.2. Äîêàçàòü, ÷òî öåíòð íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà.ÇÀÄÀ×À 3.3. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà àáåëåâîé ãðóïïû íîðìàëüíà.13ÇÀÄÀ×À 3.4. Äîêàçàòü, ÷òî An åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïàâ Sn .Ïóñòü f : G → G0 ãîìîìîðôèçì, è ïóñòü H = Ker f .
Åñëèh ∈ H è x ∈ G, òî f (xhx−1 ) = e è xhx−1 ∈ H . Çíà÷èò, H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Òàêèì îáðàçîì, ÿäðî ãîìîìîðôèçìà íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ñëóæèò ÿäðîì íåêîòîðîãî ãîìîìîðôèçìà. Ýòî ìû óñòàíîâèì ïîçæå.Ïóñòü G ãðóïïà. Êîììóòàòîðîì ýëåìåíòîâ x, y ∈ G íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò [x, y] = x−1 y −1 xy . Ïîäãðóïïà ãðóïïû G, ïîðîæäåííàÿ âñåìè êîììóòàòîðàìè, íàçûâàåòñÿ åå êîììóòàíòîìè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç [G, G].ÏÐÈÌÅÐ 3.2.
Íàéäåì êîììóòàíò ãðóïïû Sn . Êîììóòàòîðäâóõ ïîäñòàíîâîê åñòü ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà è ïîòîìó ëåæèò âAn . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,(ijk) = [(ij)(ik)] = [(imj)(ilk)].(3.1)Ãðóïïà Sn ïîðîæäàåòñÿ òðàíñïîçèöèÿìè. Çíà÷èò, ïðè n ≥ 3êîììóòàíò Sn ñîäåðæèò âñå òðîéíûå öèêëû. Òàê êàê ãðóïïà Anïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè, èìååì[Sn , Sn ] = An(n ≥ 3),êîììóòàíò S2 åäèíè÷íàÿ ïîäãðóïïà. Àíàëîãè÷íî, èç (3.1)ñëåäóåò, ÷òî[An , An ] = An (n ≥ 5).Êðîìå òîãî, A3 àáåëåâà è åå êîììóòàíò òðèâèàëåí. ¤ÇÀÄÀ×À 3.5.
Íàéòè êîììóòàíò ãðóïïû A4 .ÇÀÄÀ×À 3.6. Äîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíò z[x, y]z −1 åñòü êîììóòàòîð íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ.ÇÀÄÀ×À 3.7. Äîêàçàòü, ÷òî êîììóòàíò åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà.4. Ðàçëîæåíèå ïî ïîäãðóïïå. ÔàêòîðãðóïïàÏóñòü G ãðóïïà è H åå ïîäãðóïïà. ÏîëîæèìgH = {gh | h ∈ H}.Ìíîæåñòâà gH íàçûâàþòñÿ ëåâûìè ñìåæíûìè êëàññàìè ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïå H . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïðàâûå ñìåæ14íûå êëàññû.
Êàæäûé ýëåìåíò êëàññà íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî êëàññà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîaH = bH ⇐⇒ a−1 b ∈ H,Ha = Hb ⇐⇒ ab−1 ∈ H.Ýòî ïîçâîëÿåò äðóãèì ïóòåì ïîäîéòè ê ïîíÿòèþ ñìåæíûõ êëàññîâ. À èìåííî, ñ ïîäãðóïïîé H ñâÿæåì îòíîøåíèå ëåâîé ñìåæíîñòè, ïîëàãàÿ ïî îïðåäåëåíèþa ∼ b ⇐⇒ a−1 b ∈ H.Êàê ëåãêî âèäåòü, ìû ïîëó÷èëè îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè,ïðè÷åì êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ñëóæàò â òî÷íîñòè ëåâûå ñìåæíûå êëàññû. Äëÿ ïðàâûõ êëàññîâ àíàëîãè÷íî.ÏÐÈÌÅÐ 4.1.
Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ãðóïïû S3 íà ëåâûå èïðàâûå ñìåæíûå êëàññû ïî ïîäãðóïïå < (12) >:S3 = {e, (12)} ∪ {(13), (123)} ∪ {(23), (132)};S3 = {e, (12)} ∪ {(13)(132)}, ∪{(23), (123)}.Ìû âèäèì, ÷òî ðàçëîæåíèÿ íà ïðàâûå è ëåâûå ñìåæíûå êëàññûìîãóò íå ñîâïàäàòü. ¤Òàê êàê ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êëàññó gH îòâå÷àåò êëàññHg −1 , áèåêòèâíî, òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ðàâíà ìîùíîñòè ìíîæåñòâà ïðàâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ. Îíàíàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ïîäãðóïïû H â G è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç(G : H).ÇÀÄÀ×À 4.1.
×åìó ðàâíî (Sn : An )?Ìíîæåñòâî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåH îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç G/H .ÒÅÎÐÅÌÀ (Ëàãðàíæà). Åñëè H ïîäãðóïïà êîíå÷íîé ãðóïïû G, òî|G| = |H|.(G : H).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Êàæäûé ëåâûé ñìåæíûé êëàññ ïî ïîäãðóïïå H ñîäåðæèò |H| ýëåìåíòîâ, à ÷èñëî ñìåæíûõ êëàññîâðàâíî |G/H|. ¤ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Ïîðÿäîê ïîäãðóïïû äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ãðóïïà ïðîñòîãîïîðÿäêà âñåãäà öèêëè÷åñêàÿ è ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà åäèíñòâåííàÿ. ¤15Äëÿ ëþáûõ äâóõ ïîäìíîæåñòâ A, B ⊆ G îïðåäåëèì èõ ïðîèçâåäåíèåAB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}.ÇÀÄÀ×À 4.2. Åñëè A è B ïîäãðóïïû, òî AB íå îáÿçàòåëüíî ïîäãðóïïà.ÇÀÄÀ×À 4.3.
Åñëè A è B ïîäãðóïïû, ïðè÷åì A íîðìàëüíà,òî AB è BA ïîäãðóïïû.ÇÀÄÀ×À 4.4. Åñëè A è B íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, òî AB òàêæå íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà.Ïóñòü òåïåðü H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Òîãäà â ìíîæåñòâå ñìåæíûõ êëàññîâ G/H ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó ãðóïïû.  ñàìîì äåëå, èìååò ìåñòî ëåãêî ïðîâåðÿåìàÿ ôîðìóëà(xH)(yH) = xyH.Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå íà ìíîæåñòâå ñìåæíûõ êëàññîâ. Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò. å.
åñëè x0 H =xH, y 0 H = yH , òî x0 y 0 H = xyH . Îïåðàöèÿ, î÷åâèäíî, àññîöèàòèâíà, èìååò åäèíèöó êëàññ eH = H è äëÿ êëàññà xH ñóùåñòâóåò îáðàòíûé êëàññ x−1 H .Ïîñòðîåííàÿ ãðóïïà G/H íàçûâàåòñÿ ôàêòîðãðóïïîé ãðóïïûG ïî íîðìàëüíîé ïîäãðóïïå H .ÏÐÈÌÅÐ 4.2. Ôàêòîðãðóïïà Sn /An ∼= Z2 . ¤ÇÀÄÀ×À 4.5. Äîêàçàòü, ÷òî ôàêòîðãðóïïà G/[G, G] àáåëåâà.ÇÀÄÀ×À 4.6. Äîêàçàòü, ÷òî ïîäãðóïïà H íîðìàëüíà â Gòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xH = Hx äëÿ ëþáîãî x ∈ G.ÇÀÄÀ×À 4.7. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà èíäåêñà 2 íîðìàëüíà.5. Ðàçðåøèìûå ãðóïïûÏóñòü G ãðóïïà. Ïîëîæèì G(0) = G,G(1) = [G(0) , G(0) ],G(2) = [G(1) , G(1) ], ...Èìååì öåïî÷êó ïîäãðóïïG(0) ⊇ G(1) ⊇ G(2) ⊇ ...,ïðè÷åì êàæäàÿ ïîñëåäóþùàÿ ïîäãðóïïà íîðìàëüíà â ïðåäûäóùåé.
Åñëè G(n) = {e} äëÿ íåêîòîðîãî n, òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿðàçðåøèìîé.16ÏÐÈÌÅÐ 5.1. Àáåëåâà ãðóïïà ðàçðåøèìà. ¤ÏÐÈÌÅÐ 5.2. Ãðóïïû S2 , S3 è S4 ðàçðåøèìû. Ãðóïïû Snïðè n ≥ 5 íåðàçðåøèìû. Ãðóïïû An ïðè n ≥ 5 íåðàçðåøèìû.Ýòî ñëåäóåò èç ïðèìåðà 3.2. ¤ÇÀÄÀ×À 5.1. Ðàçðåøèìà ëè ãðóïïà A4 ?ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà "ðàçðåøèìà ãðóïïà"ñëåäóþùåå. Ðàññìîòðèì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèåxn + an−1 xn−1 + ...
+ a1 x + a0 = 0ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãîãðóïïà Ãàëóà ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà ñïåöèàëüíîãî âèäà. ÃðóïïàÃàëóà óðàâíåíèÿ n-ñòåïåíè åñòü ïîäãðóïïà â Sn . Ñóùåñòâóþòóðàâíåíèÿ 5-é ñòåïåíè, ãðóïïà Ãàëóà êîòîðûõ èçîìîðôíà S5 èïîòîìó íåðàçðåøèìà. Òàêèå óðàâíåíèÿ íåðàçðåøèìû â ðàäèêàëàõ. Íàïðèìåð, íåðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ óðàâíåíèåx5 − x − 1 = 0.Äîêàçûâàòü ìû ýòîãî íå áóäåì. ¤6. Ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïïÏóñòü G1 , ..., Gn ãðóïïû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåìíîæåñòâ G1 × ...
× Gn , ò. å. ìíîæåñòâî íàáîðîâ (g1 , ..., gn ), ãäågi ∈ Gi . Îïðåäåëèì â ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèþ(g1 , ..., gn )(h1 , ..., hn ) = (g1 h1 , ..., gn hn ).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ýòîì ìû ïîëó÷àåì ãðóïïó. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç G1 × ... × Gn è íàçûâàåòñÿ (âíåøíèì)ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï G1 , ..., Gn .Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå fi : Gi → G, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîéfi (gi ) = (e, ..., e, gi , e, ..., e),åñòü èçîìîðôèçì ãðóïïû Gi íà åå îáðàç â G = G1 ×...×Gn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
