algebra (956977), страница 6
Текст из файла (страница 6)
å. |G1 (x)| = |G|. Ïîýòîìó |G1 | ≤|M1 |, èëè t ≤ pr . Çíà÷èò, t = pr è ãðóïïà G1 èñêîìàÿ. ¤ÒÅÎÐÅÌÀ 11.2 (âòîðàÿ òåîðåìà Ñèëîâà). Âñå ñèëîâñêèå pïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü P è P1 ñèëîâñêèå p-ïîäãðóïïû.Ãðóïïà P1 äåéñòâóåò ëåâûìè ñäâèãàìè íà ìíîæåñòâå G/P . Ïîäîêàçàííîìó â ï. 9 ÷èñëî ýëåìåíòîâ ëþáîé îðáèòû (äëèíà îðáèòû) ãðóïïû P1 äåëèò åå ïîðÿäîê pr . Òàêèì îáðàçîì,2l = |G|/|P | = |G/P | = pk1 + pk + ...,ãäå pk1 , pk2 äëèíû îðáèò. Òàê êàê l è p âçàèìíî ïðîñòû, òîõîòÿ áû îäíà îðáèòà èìååò äëèíó pk1 = 1, ò. å.P1 .aP = aP.(11.1)Ïåðåïèñàâ ñîîòíîøåíèå (11.1) â âèäåP1 .aP a−1 = aP a−1 ,ìû ïîëó÷àåìP1 ⊂ aP a−1ïîñêîëüêó aP a−1 ãðóïïà.
Îòñþäà è èç òîãî, ÷òî |P1 | = |P |,ñëåäóåò P1 = aP a−1 . ¤31ÑËÅÄÑÒÂÈÅ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ. Ëþáàÿ ïîäãðóïïà ïîðÿäêà ps ñîäåðæèòñÿ â ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïå.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå P1 íå ñèëîâñêóþ ïîäãðóïïó, à ïðîèçâîëüíóþ ïîäãðóïïó ïîðÿäêà ps . ¤Èìååò ìåñòî è òðåòüÿ òåîðåìà Ñèëîâà, êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàòü íå áóäåì è ïîòîìó ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.ÒÅÎÐÅÌÀ 11.3 (òðåòüÿ òåîðåìà Ñèëîâà). Äëÿ ÷èñëà Np ñèëîâñêèõ p-ïîäãðóïï èìååò ìåñòî ñðàâíåíèå Np ≡ 1 (mod p). ¤ÇÀÄÀ×À 11.2. Ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü òðåòüåé òåîðåìûÑèëîâà äëÿ ãðóïïû A4 .ÇÀÄÀ×À 11.3.
Íàéòè âñå ñèëîâñêèå p-ïîäãðóïïû â ãðóïïåS4 . Óêàçàíèå: îäíà èç ñèëîâñêèõ 2-ïîäãðóïï óêàçàíà â ïðèìåðå8.3; îñòàëüíûå ïîëó÷àþòñÿ èç íåå ïðè ïîìîùè òåîðåìû 10.2.12. Êîíå÷îïîðîæäåííûå àáåëåâû ãðóïïûÃðóïïà íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîïîðîæäåííîé, åñëè îíà ïîðîæäàåòñÿ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâ. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó, îïèñûâàþùóþ ñòðîåíèå êîíå÷íîïîðîæäåííûõàáåëåâûõ ãðóïï.ÒÅÎÐÅÌÀ 12.1. Âñÿêàÿ êîíå÷íîïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïà èçîìîðôíà ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ áåñêîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõãðóïï è öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà pn , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî.
Êîëè÷åñòâî ïðÿìûõ ñîìíîæèòåëåé êàæäîãî ïîðÿäêà îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî. ¤Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.ÏÐÈÌÅÐ 12.1. Îïèøåì âñå àáåëåâû ãðóïïû ïîðÿäêà 8. Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà äåëèò ïîðÿäîê ïîäãðóïïû. Ïîýòîìó ãðóïïà G ìîæåò èìåòü òîëüêî ýëåìåíòû ïîðÿäêîâ 2, 4 è 8. Åñëè åñòüýëåìåíò ïîðÿäêà 8 òî ãðóïïà öèêëè÷åñêàÿ è èçîìîðôíà ãðóïïåZ8 . Ïóñòü åñòü ýëåìåíòà a ïîðÿäêà 4. Îí ïîðîæäàåò ïîäãðóïïóA =< a >.
Òîãäà G/H ∼= Z2 . Ïóñòü b ýëåìåíò, íå ëåæàùèé2â A. Òîãäà b ∈ H . Åñëè b2 = a èëè a3 , òî G ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì b, ò. å. ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé. Îñòàþòñÿ âîçìîæíîñòè:b2 = e è b2 = a2 . Ïóñòü b2 = e. Ðàññìîòðèì ïîäãðóïïó B =< b >.Ïîäãðóïïû A è B íîðìàëüíû â G (òàê êàê G àáåëåâà) è äëÿ íèõâûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 6.1. Çíà÷èò, G = A×B ∼= Z4 ×Z2 .Åñëè b2 = a2 , òî ðàññìîòðèì ýëåìåíò c = ab. Ýòîò ýëåìåíò íåëåæèò â A è c2 = e.
Ïîëàãàÿ C =< c >, ïîëó÷àåì òî÷íî òàê æå,32÷òî G = A × C ∼= Z4 × Z2 .Íàêîíåö, åñëè âñå ýëåìåíòû ãðóïïû èìåþò ïîðÿäîê 2, òî àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêèå òðèýëåìåíòà a, b, c ∈ G, ÷òîG = <a>×<b>×<c> ∼= Z2 × Z2 × Z2 .Äëÿ àáåëåâûõ ãðóïï îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ àääèòèâíàÿ çàïèñüîïåðàöèè. Òàêèì îáðàçîì, íåöèêëè÷åñêàÿ àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 8 èçîìîðôíà ëèáî Z4 ⊕ Z2 , èáî Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 .ÇÀÄÀ×À 12.1. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò ðîâíî äâå íåèçîìîðôíûå ãðóïïû ïîðÿäêà 9: öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà Z9 è ãðóïïàZ3 ⊕ Z3 .ÇÀÄÀ×À 12.2.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà èçîìîðôíà ãðóïïå Z10 .ÏÐÈÌÅÐ 12.2. Ïóñòü G ïðÿìàÿ ñóììà òðåõ ãðóïï, èçîìîðôíûõ Z, è x1 , x2 , x3 îáðàçóþùèå ýòèõ ãðóïï, òàê ÷òîG = < x1 > ⊕ < x2 > ⊕ < x3 > .Ïóñòü H ïîäãðóïïà â y1y2 y3G, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòàìè= 2x1 + 2x2 + 2x3 ,= x1 + 3x2 + 3x2 ,= 3x1 + 5x2 + 5x3 .Âû÷èñëèì ãðóïïó G/H .Çàìåòèì, ÷òî{x2 , x1 , x3 },{−x1 , x2 , x3 },{x1 + cx2 , x+2 , x3 } (c ∈ Z) (12.1) òîæå ñèñòåìà îáðàçóþùèõ ãðóïïû G è òî æå âåðíî äëÿ àíàëîãè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýëåìåíòîâ y1 , y2 , y3 . Ðàññìîòðèì ìàòðèöó2 2 21 3 3 .3 5 5Ïðèâîäÿ åå ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ìåíÿþùèìè ñèñòåìó îáðàçóþùèõ ïî îáðàçöó (12.1), íàä ñòðîêàìè è ñòîëáöàìè,ïîëó÷èì1 0 00 4 0 .0 0 033Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê îòâå÷àþò èçìåíåíèÿì ñèñòåìû îáðàçóþùèõ ãðóïïû H , ñòîëáöîâ ãðóïïû G. Òàêèì îáðàçîì, èìååìG = < x01 > ⊕ < x02 > ⊕ < x03 >,H = < x01 > ⊕ < 4x02 > .Íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 7.1 ïîëó÷àåìG/H ∼== < x01 > / < x01 > ⊕ < x02 > / < 4x02 > ⊕ < x03 > ∼∼= Z4 ⊕ Z.
¤Ïîäâîäÿ èòîã íàøåìó èçó÷åíèþ ãðóïï, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèéÏÐÈÌÅÐ 12.3. Îáîçíà÷èì äëÿ íàòóðàëüíîãî n ÷åðåç σ(n)÷èñëî íåèçîìîðôíûõ ãðóïï ïîðÿäêà n. Òîãäà ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ òàáëèöó.n1σ(n) 12131425162718592102 ñàìîì äåëå, ãðóïïà ïðîñòîãî ïîðÿäêà öèêëè÷åñêàÿ (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 4.1). Ãðóïïû ïîðÿäêà 4 îïèñàíû â çàäà÷å 1.5.Ãðóïïà ïîðÿäêà 6 èëè àáåëåâà è òîãäà èçîìîðôíà Z6 , èëè èçîìîðôíà S3 (çàäà÷à 8.3). Íåêîììóòàòèâíûå ãðóïïû ïîðÿäêà 8îïèñàíû â ïðèìåðå 8.4. Àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 8 íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 12.1 èçîìîðôíà îäíîé èç ãðóïï Z8 , Z4 ⊕ Z2 èëèZ2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 . Ãðóïïà ïîðÿäêà 9 àáåëåâà (çàäà÷à 9.4) è ïîòîìóèçîìîðôíà Z9 èëè Z3 ⊕ Z3 (çàäà÷à 12.1).
Íàêîíåö, ãðóïïà ïîðÿäêà 10 èëè àáåëåâà, è òîãäà èçîìîðôíà Z10 (çàäà÷à 12.2), èëèèçîìîðôíà ãðóïïå D5 (ïðèìåð 8.4). ¤34ÃËÀÂÀ II. ÊÎËÜÖÀ È ÏÎËß1. Êîëüöà, ïîäêîëüöà, ôàêòîðêîëüöà(Àññîöèàòèâíûì) êîëüöîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî (K, +, .) ñäâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) (K, +) àáåëåâà ãðóïïà;2) (K, .) ïîëóãðóïïà;3) x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx äëÿ âñåõ x, y, z ∈ K .Åñëè ïîëóãðóïïà êîììóòàòèâíà, òî êîëüöî íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì; åñëè ýòî ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé 1, êîëüöî íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ñ åäèíèöåé.ÏÐÈÌÅÐ 1.1.
Ìíîæåñòâî Z ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ åñòü êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Ìíîæåñòâà Q è R ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè òàêæå ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìè.ÏÐÈÌÅÐ 1.2. Ìíîæåñòâî Mn (R) êâàäðàòíûõ ìàòðèö ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü êîëüöî ñ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö. Ýòî êîëüöîïðè n > 1 íåêîììóòàòàòèâíî.Ïîäìíîæåñòâî L ⊆ K íàçûâàåòñÿ ïîäêîëüöîì, åñëèx, y ∈ L = x + y ∈ L,xy ∈ L.Ïóñòü K è K 0 êîëüöà. Îòîáðàæåíèå f : K → K 0 íàçûâàåòñÿãîìîìîðôèçìîì êîëåö, åñëèf (x + y) = f (x) + f (y),f (xy) = f (x)f (y)äëÿ âñåõ x, y ∈ K . Áèåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì.ßäðîì ãîìîìîðôèçìà f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîKerf = {x ∈ K | f (x) = 0}.ßñíî, ÷òî Kerf ïîäêîëüöî. Çàìåòèì, ÷òî åñëè x ∈ K è J =Kerf , òî xJ ⊆ J Jx ⊆ J . Äðóãèìè ñëîâàìè,KJ ⊆ J,JK ⊆ J.(1.1)Íàçîâåì ïîäêîëüöî J ⊆ K (äâóñòîðííèì) èäåàëîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.1).
Òàêèì îáðàçîì, ÿäðî ãîìîìîðôèçìà35 èäåàë. Ïîíÿòèå èäåàëà ñîîòâåòñòâóåò ïîíÿòèþ íîðìàëüíîéïîäãðóïïû â òåîðèè ãðóïï.Ïóñòü K êîëüöî è J åãî èäåàë. Òîãäà àääèòèâíàÿ ïîäãðóïïà J åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â àääèòèâíîé àáåëåâîéãðóïïå K . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ôàêòîðãðóïïà K/J . Åå ýëåìåíòàìè ñëóæàò ñìåæíûå êëàññû x + J . Ââåäåì â ýòîì ìíîæåñòâåîïåðàöèþ óìíîæåíèÿ, ïîëàãàÿ(x + J)(y + J) = xy + J.Ýòà îïåðàöèÿ îïðåäåëåíà êîððåêòíî, ò. å. åñëè x0 ∈ x + J, y 0 ∈y + J , òîx0 y 0 = (x + l1 )(y + l2 ) = xy + xl2 + l1 y + l1 l2 ,l1 , l2 ∈ J.Ïîñêîëüêó J èäåàë, èìååì xl2 ∈ J , l1 y ∈ J è x y ∈ xy + J .Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî K/J ñ ââåäåííûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ åñòü êîëüöî.
Ìû ïðîâåðèì îäíó èçàêñèîì êîëüöà, ñêàæåì, àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ; ïðîâåðêàîñòàëüíûõ àêñèîì ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî. Èìååì0 0[(x + J)(y + J)](z + J) = (xy + J)(z + J) = (xy)z + J;(x + J)[(y + J)(z + J)] = (x + J)(yz + J) = x(yz) + J.Òàê êàê â K óìíîæåíèå àññîöèàòèâíî, ýòè ýëåìåíòû ðàâíû.Êîëüöî K/J íàçûâàåòñÿ ôàêòîðêîëüöîì êîëüöà K ïî èäåàëóJ.ÏÐÈÌÅÐ 1.4.
Ðàññìîòðèì â êîëüöå K = Z ïîäìíîæåñòâî J =nZ, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë, êðàòíûõ íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n. Ýòî,î÷åâèäíî, èäåàë â K . Ôàêòîðêîëüöî K/J íàçûâàåòñÿ êîëüöîìâû÷åòîâ ïî ìîäóëþ n è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Zn . Åãî ýëåìåíòàìèñëóæàò êëàññû âû÷åòîâ [k] = k+J, k = 0, 1, ..., n−1. Ìû îáû÷íîáóäåì èõ îáîçíà÷àòü ïðîñòî ÷åðåç k .Âûïèøåì òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ â òàêîì êîëüöåïðè n = 4.ÒÀÁËÈÖÀ 1.1+0123001231123022301ÒÀÁËÈÖÀ 1.233012..36.012300000101232020230321Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå Z4 ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, ðàâåíñòâî2 × 2 = 0.
¤Òî÷íî òàê æå, êàê òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìàõ ãðóïï (òåîðåìà7.1) äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ãîìîìîìîðôèçìàõ êîëåö.ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. Ïóñòü f : K → L ãîìîðôèçì êîëåö ñ ÿäðîìJ = Ker f . Òîãäà J èäåàë â K è K/J ∼= f (K). Îáðàòíî, åñëèJ èäåàë â K, òî ñóùåñòâóåò êîëüöî L (à èìåííî, K/J) èýïèìîðôèçì p : K → L, ÿäðî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ J . ¤Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ãðóïï, ãîìîìîðôèçì p íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ãîìîìîðôèçìîì.2. Îáëàñòè öåëîñòíîñòè2.1. Äåëèìîñòü â êîëüöàõÏóñòü a 6= 0 è b 6= 0 ýëåìåíòû êîëüöà. Åñëè ab = 0, òî aíàçûâàåòñÿ ëåâûì, à b ïðàâûì äåëèòåëåì íóëÿ (â êîììóòàòèâíîì êîëüöå ãîâîðÿò ïðîñòî î äåëèòåëÿõ íóëÿ). Ñàì íóëü òðèâèàëüíûé äåëèòåëü íóëÿ. Åñëè äðóãèõ äåëèòåëåé íóëÿ íåò,òî K íàçûâàåòñÿ êîëüöîì áåç äåëèòåëåé íóëÿ. Êîììóòàòèâíîåêîëüöî ñ 1 6= 0 è áåç äåëèòåëåé íóëÿ íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè.ÏÐÈÌÅÐ 2.1.
Êîëüöî Z4 èìååò äåëèòåëè íóëÿ. Äåëèòåëÿìèíóëÿ îáëàäàåò òàêæå ëþáîå êîëüöî Zn ïðè íåïðîñòîì n > 1.Êîëüöî Z îáëàñòü öåëîñòíîñòè.ÇÀÄÀ×À 2.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåð äåëèòåëåé íóëÿ â êîëüöåM2 (R).ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1. Íåòðèâèàëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî Kñ åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà â íåì âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîêðàùåíèÿ:ab = ac, a 6= 0 ⇒ b = c.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
