algebra (956977), страница 8
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Äîêàæåì, ÷òî δ(b) < δ(a). ñàìîì äåëå, ñîãëàñíî óñëîâèþ 1) îïðåäåëåíèÿ èìååì δ(b) ≤δ(bc) = δ(a). Åñëè δ(b) = δ(a), òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 2) îïðåäåëåíèÿ b = qa + r, ãäå δ(r) < δ(a) èëè æå r = 0. Ñëó÷àé r = 0îòïàäàåò ââèäó íåàññîöèèðîâàííîñòè a è b. Ïî òîé æå ïðè÷èíå1 − qc 6= 0. Ïîýòîìó ïî 2) ñ çàìåíîé a íà b èìååìδ(a1 a2 ...an ) > δ(a2 ...an ) > ... > δ(an ) > δ(1).Ýòà ñòðîãî íåóáûâàþùàÿ öåïî÷êà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èìååòäëèíó n ≤ δ(a). Çíà÷èò, èìååòñÿ ìàêñèìàëüíîå ðàçëîæåíèå a íàïðîñòûå ìíîæèòåëè. ¤ÒÅÎÐÅÌÀ 2.6. Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ôàêòîðèàëüíî.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ñ ó÷åòîì ëåììû 2.1 è òåîðåìû 2.3 íàìîñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî åñëè p ïðîñòîé ýëåìåíò, äåëÿùèé ïðîèçâåäåíèå bc ýëåìåíòîâ b è c êîëüöà, òî p äåëèò ëèáî b, ëèáîc.43Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî bc 6= 0 è ïóñòü d = ÍÎÄ (b, p).
Ýëåìåíò d, áóäó÷è äåëèòåëåì ïðîñòîãî ýëåìåíòà, ëèáî îáðàòèì, ëèáî àññîöèèðîâàí ñ p.  ïåðâîì ñëó÷àå b è p âçàèìíî ïðîñòû èóòâåðæäåíèå 2) ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 2.5 ïîêàçûâàåò, ÷òî p | c. Âîâòîðîì ñëó÷àå d = up, ãäå u îáðàòèì è p | b. ¤ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Êîëüöî Z ôàêòîðèàëüíî. ¤ÇÀÄÀ×À 2.6. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé èäåàë êîëüöà Z èìååòâèä nZ äëÿ íåêîòîðîãî n = 0, 1, 2, ...3.
Ïîëÿ3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏîëåì íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ 1 6= 0, â êîòîðîìêàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì.ÏÐÈÌÅÐ 3.1. Êîëüöà Q è R ïîëÿ. Êîëüöî Z íå ÿâëÿåòñÿïîëåì. ¤ÇÀÄÀ×À 3.1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïîëå íåò äåëèòåëåé íóëÿ. √ÏÐÈÌÅÐ 3.2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ÷èñåë âèäà a + b 2,ãäå a, b ∈ Q ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè. Òîãäà ìû ïîëó÷èì ïîëå.Çäåñü òðåáóåòñÿ òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíòòàêîãî âèäà èìååò√ îáðàòíûé, êîòîðûé òàêæå ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå c + d 2.
Íî ýòî ÿñíî:√√ −1√1a−2 2ab√ = 2(a + b 2) ==−2. ¤a − 2b2a2 − 2b2 a2 − 2b2a+b 2Ïîäïîëåì F ïîëÿ P íàçûâàåòñÿ ïîäêîëüöî â P , êîòîðîå ñàìîÿâëÿåòñÿ ïîëåì. Íàïðèìåð, Q ïîäïîëå â R. ñëó÷àå F ⊂ P ãîâîðÿò åùå, ÷òî P ðàñøèðåíèå ïîëÿ F .Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî íóëü è åäèíèöà ïîëÿ Páóäóò ñîäåðæàòüñÿ òàêæå â F ñëóæèòü äëÿ F íóëåì è åäèíèöåé. Åñëè âçÿòü â P ïåðåñå÷åíèå F1 âñåõ ïîäïîëåé, ñîäåðæàùèõF íåêîòîðûé ýëåìåíò a, òî F1 áóäåò ìèíèìàëüíûì ïîäïîëåì,ñîäåðæàùèì ìíîæåñòâî F ∪ {a}.
Ãîâîðÿò, ÷òî ðàñøèðåíèå F1ïîëÿ F ïîëó÷åíî ïðèñîåäèíåíèåì ê F ýëåìåíòà a.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò F1 = F (a). Àíàëîãè÷íî ìîæíî ãîâîðèòü î ïîäïîëåF1 = F (a1 , ..., an ), ïîëó÷åííîì ïðèñîåäèíåíèåì ê F ýëåìåíòîâa1 , ..., an .ÏÐÈÌÅÐ 3.3. Ïîëå Q(2) ñîâïàäàåò ñ ïîëåì èç ïðèìåðà 3.2.44Ïîëÿ P è P 0 íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè îíè èçîìîðôíûêàê êîëüöà.ÇÀÄÀ×À 3.2. Äîêàçàòü, ÷òî â ïîëå íåò èäåàëîâ, îòëè÷íûõ îò{0} è ñàìîãî P .Èç ðåçóëüòàòà çàäà÷è 3.2 âûòåêàåò, ÷òî ëþáîé ãîìîìîðôèçìïîëåé èëè òðèâèàëåí (ò. å.
îòîáðàæàåò âñå ýëåìåíòû â 0), èëèåñòü ìîíîìîðôèçì. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íåòðèâèàëüíîì ãîìîìîðôèçìå ïîëåé f : F → P ïîëå F îòîáðàæàåòñÿ èçîìîðôíî íàíåêîòîðîå ïîäïîëå â P .Âûøå áûëî ïîñòðîåíî êîëüöî âû÷åòîâ Zn .ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. Êîëüöî Zn ÿâëÿåòñÿ ïîëåì òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà n = p ïðîñòîå ÷èñëî.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Åñëè n = ab, ãäå a 6= 1, b 6= 1, òî[a][b] = [n] = [0], à â ïîëå íåò äåëèòåëåé íóëÿ.Ïîêàæåì, ÷òî Zp ïîëå.
Íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî êàæäûéýëåìåíò [1], [2], ..., [p − 1] îáðàòèì. Ïóñòü s öåëîå, 1 ≤ s ≤ p − 1.Ðàññìîòðèì êëàññû[s.1], [s.2], ..., [s.(p − 1)],(3.1)Îíè îòëè÷íû îò [0] è âñå ðàçëè÷íû, òàê êàê èç [sk] = [sl] ñëåäóåò[s(k − l)] = [0]. Çíà÷èò, s(k − l) äåëèòñÿ íà p, îòêóäà k = l,÷òî íåâåðíî. Çíà÷èò, ñðåäè êëàññîâ (3.1) åñòü êëàññ [1], ò. å.[s][k] = [1] äëÿ íåêîòîðîãî k .
Èòàê, ýëåìåíò [s] îáðàòèì, ÷òî èòðåáîâàëîñü. ¤Íàçîâåì ïðîñòûì ïîëå, íå èìåþùåå ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé.ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2.  êàæäîì ïîëå ñîäåðæèòñÿ îäíî è òîëüêîîäíî ïðîñòîå ïîäïîëå. Ýòî ïðîñòîå ïîëå èçîìîðôíî ëèáî ïîëþQ, èáî ïîëþ Zp äëÿ íåêîòîðîãî p.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Åñëè P1 è P0 äâà ïðîñòûõ ïîäïîëÿïîëÿ P , òî èõ ïåðåñå÷åíèå P1 ∩P1 ñîäåðæèò 0 è 1 è ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì â P0 , ÷òî íåâîçìîæíî ââèäó ïðîñòîòû ïîñëåäíåãî. Çíà÷èò,ïðîñòîå ïîäïîëå åäèíñòâåííî.Ïîäïîëå P0 ñîäåðæèò 1 è âñå êðàòíûå n.1 = 1 + ...
+ 1. Êàêëåãêî âèäåòü, îòîáðàæåíèå f : Z → P0 , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîéf (n) = n.1 åñòü ãîìîìîðôèçì êîëåö. Åãî ÿäðî èäåàë â Z èïîòîìó èìååò âèä Ker f = nZ (çàäà÷à 2.6). Åñëè n = 0, òî f èçîìîðôèçì è äðîáè s.1/t.1 îáðàçóþò ïîäïîëå P0 , èçîìîðôíîåQ.45Ïóñòü n > 0. Òîãäà îòîáðàæåíèå f ∗ : Zn → P , îïðåäåëåííîåïðàâèëîìf ∗ ([k]) = f (k),áóäåò, î÷åâèäíî, èçîìîðôíûì âëîæåíèåì. Ïî òåîðåìå 3.1 ýòîâîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà n = p ïðîñòîå ÷èñëî. Çíà÷èò,f ∗ (Zp ) ïðîñòîå ïîäïîëå â P . ¤Ãîâîðÿò, ÷òî ïîëå P èìååò õàðàêòåðèñòèêó íóëü, char P = 0,åñëè åãî ïðîñòîå ïîäïîëå P0 èçîìîðôíî Q, P ïîëå ïðîñòîé(èëè êîíå÷íîé) õàðàêòåðèñòèêè, p, char P = p, åñëè P0 ∼= Zp .Ïîëå Zp îáîçíà÷àþò ÷àñòî ÷åðåç Fp .ÇÀÄÀ×À 3.3.
Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèéx + 2z = 1,y + 2z = 2,2x + z = 1.â ïîëå F3 ; â ïîëå F5 .3.2. Åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëÇÀÄÀ×À 3.4. Ðàññìîòðèì â M2 (R) ìíîæåñòâî ìàòðèö âèä൶a b.−b aÄîêàçàòü, ÷òî îíî îáðàçóåò ïîëå îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö.ÇÀÄÀ×À 3.5. Ìàòðèöû èç çàäà÷è 3.4, ó êîòîðûõ b = 0, îáðàçóþò ïîäïîëå, èçîìîðôíîå ïîëþ R.Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿµ¶µ¶a 00 1a=, i=,0 a−1 0âèäèì, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò ïîëÿ èç çàäà÷è 3.4. ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a + bi è îïåðàöèè çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,ab(a + bi)−1 = 2− 2i, a2 + b2 6= 0.2a +ba + b2Ïîñòðîåííîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç C. Òàê êàê i2 = −1, â ýòîì ïîëå ðàçðåøèìîóðàâíåíèå x2 + 1 = 0.46ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3.
Ïóñòü P ïîëå, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:1) P ñîäåðæèò ïîäïîëåK, èçîìîðôíîå ïîëþ R;2) â P ðàçðåøèìî óðàâíåíèå x2 + 1 = 0;3) P íå ñîäåðæèò ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé, óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿì 1) è 2).Òîãäà P ∼= C.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî K = R. Ïóñòüj ∈ P òàêîé ýëåìåíò, ÷òî j 2 + 1 = 0. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîF ýëåìåíòîâ èç P âèäà a + bj , ãäå a, b ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî èçaa + bj = 0 ñëåäóåò j = − ∈ R, à â R íåò ýëåìåíòà ñî ñâîéñòâîìbj 2 + 1 = 0. Ïîýòîìó b = 0, à òîãäà è a = 0. Ôîðìóëû(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j,(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j,ab− 2j, a2 + b2 6= 02+ba + b2ïîêàçûâàþò, ÷òî F ïîäïîëå ïîëÿ P , èçîìîðôíîå ïîëþ C.
Ïîëå F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1) è 2) òåîðåìû. Çíà÷èò, â ñèëóóñëîâèÿ 3), P = F . ¤(a + bj)−1 =a24. Ìíîãî÷ëåíûÏóñòü A ïðîèçâîëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî B òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé,f = (f0 , f1 , f2 , ...),fi ∈ A,÷òî âñå fi , êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà, ðàâíû 0. Îïðåäåëèì â ýòîììíîæåñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ïîëàãàÿf + g = h, hk = fk + gk ,f g = l,lk = fk g0 + fk−1 g1 + ... + f1 gk−1 + f0 gk .ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýòèõ äåéñòâèé ìû ñíîâà ïîëó÷èì ýëåìåíòû èç B . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî B êîëüöî. Ïðîâåðêà âñåõ àêñèîì ýëåìåíòàðíà, ñëîæíåå ïðîâåðÿåòñÿ òîëüêî àññîöèàòèâíîñòüóìíîæåíèÿ.47Ïóñòüf = (f0 , f1 , ...),g = (g0 , g1 , ...),h = (h0 , h1 , ...) ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç B . Ïîëîæèì d = f g , òîãäàXdl =fi gj , l = 0, 1, ...,i+j=là (f g)h = e, ãäåXX Xes =dl hk =(=l+k=sl+k=s i+j=lXfi gj )hk ,s = 0, 1, ...i+j+k=sÂû÷èñëåíèå f (gh) äàåò òîò æå ðåçóëüòàò. Èòàê, B êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé (1, 0, 0, ...).Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a, 0, 0, ...) ñêëàäûâàþòñÿ è óìíîæàþòñÿòàê æå, êàê ýëåìåíòû êîëüöà A.
Ýòî ïîçâîëÿåò îòîæäåñòâèòüòàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè èçA. Òåì ñàìûì A ñòàíîâèòñÿ ïîäêîëüöîì êîëüöà B . Îáîçíà÷èìýëåìåíò (0, 1, 0, ...) ÷åðåç X è íàçîâåì X ïåðåìåííîé íàä A. Èñïîëüçóÿ ââåäåííóþ â B îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ, óáåæäàåìñÿ, ÷òîX n ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ 1 íà n-ì ìåñòå è0 íà îñòàëüíûõ ìåñòàõ.
Êðîìå òîãî, ââèäó âêëþ÷åíèÿ A ⊂ Bèìååì(0, 0, ..., 0, a, 0, ...) = aX n .Åñëè an ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(a0 , a1 , ..., an , 0, 0, ...), òî â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ(a0 , a1 , ..., an , 0, ...) = a0 + a1 X + ... + an X n(4.1)è òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî.Ââåäåííîå âûøå êîëüöî B îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A[X] è íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ìíîãî÷ëåíîâ íàä A îäíîé ïåðåìåííîé X , à åãîýëåìåíòû ìíîãî÷ëåíàìè. Åñëè â (4.1) an 6= 0, òî an íàçûâàþòñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì, à n ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà è ïèøóòdeg f = n. Íóëåâîìó ìíîãî÷ëåíó ïðèïèñûâàþò ñòåïåíü −∞.ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1. Ïóñòü A îáëàñòü öåëîñòíîñòè.
ÒîãäàA[X] òàêæå îáëàñòü öåëîñòíîñòè.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü deg f = n, deg g = m. Èìååìf g = f0 g0 + (f0 g1 + f1 g0 )X + ... + fn gm X n+m .48Òàê êàê fn 6= 0, gm 6= 0, à A îáëàñòü öåëîñòíîñòè, òî è fn gm 6= 0,ò. å. f g 6= 0. ¤Îòìåòèì, ÷òî åñëè A îáëàñòü öåëîñòíîñòè, òîdeg(f g) = deg f + deg g.(4.2)ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2. Ïóñòü P ïîëå. Òîãäà êîëüöî P [X] åâêëèäîâî.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïîëîæèì δ(f ) = deg f .
Òîãäà δ(f g) ≥δ(f ) (f, g 6= 0). Ýòî ñëåäóåò èç (4.2). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòàðøèå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ f è g ðàâíû 1. Ïóñòüf = X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 ,g = X m + am−1 X m−1 + ... + b1 X + b0 , g 6= 0.Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîãî÷ëåíû q è r,òîf = qg + r, deg r < deg q.Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî n. Åñëè n = 0 è m = deg g > deg f =0, òî ïîëîæèì q = 0, r = f , à åñëè n = m = 0, òî r = 0 èq = 1. Äîïóñòèì, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà äëÿ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâñòåïåíè ≤ n (n > 0). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì m ≤ n,ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçüìåì q = 0 è r = f .
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