Солодовников (950639), страница 67
Текст из файла (страница 67)
! 4+-4Р !а)' 'лктеристическое уравнение дискретной системы имеет ,Ь'",'. ;(((ч(г) = О. ;;этого уравнения определяют устойчивость. В плоскости ""ксного переменного з для устойчивости требуется, что"";:,корни характеристического уравнения находились в ;(йолуплоскости. Следовательно, для того чтобы судить '"'йчивости в плоское~и комплексного переменного г= :::;::необходимо отобразить левую полуплоскость в плос:,ка в соответствующую ей область в плоскости а. ';.Мнимой оси з-=-/«> и я==е"'"", т. е.
мнимая ось отобра- на плоскость а в окружность единичного радиуса 13;28), причем я — -=е" представляет собой многознач- кцию со с единичной амплитудой н фазовым углом т„со. '' 'м образом, отрезок мнимой оси, лежащей между точчй=.' 0 и и=в„где со,=-2п/т„отображается в единичную Рл е ' усес ~-",.*~'ряс. !З.26. Отображеиае мккимов оск плоскости а аа окруж- ность еднничного раднуса ка плоскости а окружность плоскости г.
Этот процесс повторяется, корд возрастает до ь+ьв со+2ь. и т. д. То же самое, но в об ном направлении вращения по окружности единичного рад„,: са, происходит, если ь изменяется от 0 до — ь„ — ь, *4: — ь — 2ь„ и т, д. В любой точке плоскости з==.о+)ь и еот„е)вте В точке о=- — оз, ь=-0 плоскости 3 значение г равно нулю, точка, лежащая н бесконечности на отрицательной дейс, '::-.,':.. та(А-'. тельнои оси плоскости 3, отображается в начало коордиа и: плоскости г. Для любых значений о(0, т. е. для любой точки в:(еа -' полуплоскости 3, е"е(1 и (г!)1.
Следовательно, левая луплоскость 3 отображается во внутреннюю область едн(чнчйое окружности в плоскости г. С другой стороны, так как для о)0, правая половина плоскости отображается в облас лежащую вне единичной окружности. При этом очевидно, дискретная система устойчива, если все корни характерис "ч ческого уравнения лежат внутри единичной окружности с це"" ром в начале координат плоскости г. Предполагая, что', передаточная функция Ф'(г) является дробно-рациональной г, можно написать 'роения годогрзфз (Г(г) необходимо для каждого знзчения чь кли разделить друг нз друга векторы тнпз К, г, (г — е-'„) и ::)зте-'о Все оин могут быть получены из плоскости г графическим оложим, что 0,792К» ,'г; (» — !) (» — 0,208) ' ,1; ;.г'.::Рвано некоторому знзчеиьо г, (вектор А) (рис. 13.27,а). тогда ":и- — '1, равный ревности вектороз г, и 1, нзобрзженных на ,а через векторы А н В, можно изобразить вектором 3(, з (»,— 'Травный А — С, — вектором Х.
Произведя необходимые преобрззо*~мучим иа плоскости (р(г) вектор %(г~). Частота иь еоответотвую/в,т '" заму»о определяетея нз соотношения»,=е '. Например, если /в 3701 чтоб 1 равенство 7=-е удовлетворялось, нужно, чтобы показ 'епени был У (л/2), т.
е. /ь, (л/2).=-У(л/2), откуда ь,= 1,0 рзд(с. !изменении г по окружности единичного радиуса (рис. 13.27,б) го. 4)(у(г) не охвзтынзет критическую точку, т. е. система при данном те усиления устойчива гу + () а+а»+ . (аг"' 3( ) 1+(р ( ) (» — еуе). ° .(г — уз) ( — Л,)...( — Л„) ' где 7(... Т. — нули; Л( — ˄— полюсы вспомогательной фун ' ции 3(г). Так же как и в случае систем с непрерывным времене; можно получить критерий, являющийся аналогом частотно критерия устойчивости для непрерывных систем.
Если дис ...' ретная САР устойчива в разомкнутом состоянии, то, для то., чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, годпе граф йу(г) при изменении частоты от О до (в,=2л/т, нс дол) жен охватывать критическую точку ( — 1, 10). Если дискрет()р ная САР неустовчива в разомкнутом состоянии и р пол!оср,' В'(г) расположено внутри единичной окружности, то, для (м~ го чтобы система была устойчива в замкнутом состо(п(н~; число оборотов годографа В'(г) относительно точки ( — '.:. 10) при изменении частоты от 0 до ь,=2л/т„должно бмтв равно л — р. Пример. Пусть передзточнзи фуню(ия дискретной системы К» 11 — е ') (г — 1) 1» — е ') А й гйгаг г! ее узььтур В г -/ гео ео — »диду» Рис.
13.27. Критерий устойчивости дискретных систем: а — построение крезоя и'(е); б — кривее (годотрее! (г(е( ,,' 'мз устойчивости на плоскости г. Рассмотрим критерий .,„:' сти, позволяющий производить анализ устойчивости ., '.ложснию полюсов г-передаточной функции замкнутой ,.;,, Этот критерий удобен, если имеется цифровая ЭВМ, ная программой для вычисления полюсов 2-передаточ.: кции (т, е. корней характеристического уравнения . 'ой системы). Согласно формуле (!3.55), , =Ф (г) 6 (г), , г) —.передаточная функция, являющаяся дробно-рацио- ', 'функцией от г. 393 А,— — Ц вЂ”;.
1=! Предположим, что все полюса Ф(г) различны и 6(г) =1 да О!ег :л+: + ! л в — л, и временную последоватечьность й (кт,) определяют выра нием й(!.т) г, Лк — ! ! ь Лк-! ! ! б Лк-! где Ль Ль, ˄— простые полюсы Ф(а). Очевидно, что если полюса простые, то последоватеагьиор1, м(!ст,) будет оставаться ограниченной при )сгв1, если удовл-'' воряется условие )Л,!~1, 1=1, 2, ..., и, т. е. если полюса передаточной функцви расположены вну'" круга единичного радиуса. Можно доказать, что этот результат справедлив также':.", для случая, когда полюса передаточной функцпи явля кратными. Устойчивость дискретных систем, описываемых уравне "" ми в переменных состояния.
Рассмотрим САР, описываем'" разностными уравнениями тапа х~ (й+1) т,) = А,х (йт„) + Ван ((ст,) . Как это было показано ранее, его решенне имеет вид к — ! Х(кт,):=Лаях(0)+,~ Л'-' 'В,и(!тг). о Для анализа устойчивости ограничимся случаем одпор„ ного уравнения при и(1т,) =0: ' йг х((й+1) т,)---Аах(!ст,). Решение этого уравнения имеет вид х(йт,) =-Аанх(0). (13.. Если предположить, что собственные значения переход!1. матрицы в формуле (13.79) различны, то при помощи тсо.
мы разложения Сильвестра матрица Авв может быть пум ставлена в виде ряда. Так„если А, является матрицей гг1с" ~: собственными значениями Ль Ль ..., Л., то в Ан"= — ~ Л,Л!', (13,: г=-! где "':,тавляя выражение (13.80) в уравнение (13.79), найдем 'я. т,) ~' Ап,Л!"х (О). выражения видно, что последовательность векторов е~~'(1), ..., х(к), ..) стремится к нулю при произволь"' альных условиях только в том случае, если каждый из г";~„;:н стремится к нулю. ''~м образом, для того чтобы дискретная система была "' а, собственные значения Лгн матрицы А должны удов" $ь' условию '!;вг'1, 1=-1, 2, ..., и.
(! 3.81) был рассмотрен случай, когда все собстненные '' матрицы А различны. Однако можно показать, что "й' устойчивости в виде неравенства (13.8!) справедлив япгстем с собственными значениями любой степени крат° Предпопожим, что матрица ':О„:363 — о.632 ! ' йв632 — 0,632 ) етности т,= 1,0 с. Тогда собственные значения определи!от с по'нвнения ! л — 0,363 0,632 ;,Аг(=-! о 632 2, о 632 1=л — л !'0,632=0, ' ~йт! = ! Ла! = ОД96<1. но, дискретная система устойчива.
.;",:й3.12. Электрический цифровой следящий привод с электродвигателем постоянного тока ,: честве примера дискретной САР рассмотрим электри:.'~~ифровой следящий привод (ЭЦСП) микропроцессорной 5правления (рис. 13.28). Отличительной особенностью ,,:.кроме квантования сигналов по времени (квантовач,', уровню пренебрегаем), является ограничение выходно- ,~(ксения усилителя мощности.
,,Пой управляю!ций сигнал итар(итг) — цифровой много(!(1пй код, характеризующий требуемое угловое положение ,,':-управления. Эффект квантования сию!алов по времени еп.'13.28) представлен ключом с мгновенным замыканием; ,.'Ммкания ключа '1',.=т,. Цифровой сигнал рассогласова,(итг) поступает на ЦАП (являющийся экстраполятором ч'";м=порядка с запоминанием на такт квантования 'Г ) с ,,очной функцией дт, Тпг) (13.82) 0 0 О О 1 О О 0 0 1 0 1 — 1 О О (!3.83) 28 †35 401 (! е г) т«гцхп(з) -- ~ Непрерывная часть привода состоит из безынерционного у':,:...,.! лителя мощности, имеющего статическую характеристику ((е Ус; напряжению типа насыщения, и моментного электродвигат (1),;- постоянного тока с инерционной механической нагрузкой Передаточная функция непрерывной части привода Кузя [У'.(Я)--,(Т +1) где Ку,„— передаточный коэффициент усилитель — электрод'.:-..
гатель — нагрузка; Та — электромеханическая постоянная в "а мени привода. Нелинейная характеристика насыщения усилителя рис. 13.28, а условно обозначена структурным элементом Лг. чх Рис. 13.28. Электрический цифровой следящий привод: а — структурная сксмв (М вЂ” нелинейный элемент, т. е усвлмтель мащваагв): схема в переменных састаявкя„ а — статическая характеристика келяввавага мегпа а: выходном валу привода установлен многоразрядный : сугол — код, коэффициент преобразования которого йук "' разователь угол — код формирует код гу,„„(пт.), пропор''кльный угловому положению вала а .. Пренебрегая эф- М квантования по уровню (так как шаг квантования по "ю несоизмерим с заданной ошибкой регулирования), пре- Ч'уют структурную схему привода к виду на рис.
13.28,6. '; Л = й каа йувк)тук — — статический коэффициент привода при «"'кнутой ОС. Характерной особенностью цифрового привода к'тся ограничение фазовых переменных из-за нелинейности "' веской характеристики усилителя мощности. )дя исследования переходных процессов в цифровой систепелинейной характеристикой типа насыщения при значпх по модулю рассогласовапиях частотный метод нс при' "", Анализ процессов в нелинейной системе выполним мсто()(егременных состояния: эффект нелинейного преобразования " ''а рассогласования рассматривается как мгновенное изпе статического коэффициента передачи системы на каж4акте квантования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
