Солодовников (950639), страница 64
Текст из файла (страница 64)
цнатора ::Передаточная функция САР с ЭВМ в контуре управления асгсмотрим САР с ЭВМ в контуре управления (рис. 13.17). ;~~Ъмкнутая система с обратной связью состоит из: сравни- в'во элемента, формирующего сигнал ошибки е(1); ключа 1::импульсного элемента КЛ, преобразующего непрерывный , Ла е(1)=д(1) — г(1) в дискретный е*(1); ЭВМ, имеющей ,:аточную функцию Ю','(з); экстраполятора Э с передаточ; 4ункцией Ю', (з), преобразующего дискретный сигнал Фф:на выходе ЭВМ в непрерывный сигнал хэ(1); объекта ,))ирования О с передаточной функцией 1к',(3) и элемента ,,тной связи ОС с передаточной функцией (кас(з), форми- КЛ йая и а Рнс. 13.17.
САР с ЭВМ в контуре управления 374 375 эви з а 13.7. Я-преобразование (13АО) 1 а«о'(а)а«(а) —, У 6(а+ (тв,) )'(з) =-- 37б Рнс. !З.18. Зквнвааентная САР с ЗВМ в контуре рующего сигнал обратной связи «(!), который сравнивастся -'"-"'- входом д(!). Регулируемой (выходной) переменной являстс("-4 у(!). При этом имеем Х,*(э) =()т„к(з)Ек(з) Преобразование Лапласа регулируемой переменной У(з) =(уге(з) )(7»(з) Юо*(з)Е*(з), или У(з) =. Р(«(а) ~7.*(а)Е'(з), (13.38) где )17(З) =(ОГО(З) йуо(З). Преобразуем схему (рис. 13.! 7) в эквивалентную е, (рис.
13.18). Имеем: Е'(з) = 6'(з) — )7» (а), Й* (з) = У„" (зн К(з) Ю;,, (з) ) кЕ* (з), или Еа (з) + ((7„а (з)$ й7(з) Ю'„(з) ) аЕа (з) =- 6* (з), откуда а* (а) Е'(')=' (-р(Р."(а) (а () а«..(а)1" ' или, учитывая (13.32), оо 0 (а + 7'твг) Е* (з) == (13.37 ',, ! (а+Г»Вг) а«ос (а+ утмг) г ос т Подставляя (13.37) в (]3.38), получНМ щпсоднукт ф, кцивук (по Лапласу) 1 ! +)Ггв (а), ~' )Гг (а+ /твг) (Ггос (а+ /тв ) ,1 "''мулы (13.38) видно, что для дискретных систем нельзя 'т'ть выражение для передаточной функции У(з)/6(з) в "той форме, так как связь между У(з) и 6(з) выражает- бесконечные суммы.
Для того чтобы преодолеть это ''пенис, введем понятие кУ-преобразование». Ки анализе дискретной системы необходимо решение раз- 'йх уравнений, устанавливающих связь между се входом 'одом. Х-преобразование сводит это решение к алгебраи- '"'операциям. Преобразование Лапласа превращает не- "ггиые функции времени ! в функции комплексного пере- "; ' а, а Х-преобразование — функции дискретного време' едовательность чисел) в функции комплексной пере- '':Я е'г'. У-преобразование позволяет ввести понятие '"' аточной функции, имеющей аналогию с обычной пере- " 'й функцией для непрерывных систем. Последователь- ":-'.(йоигсел возникает при вычислительном процессе, выполняе- )эМ, а также при дискретизации непрерывных функций ""': Запишем последовательность чисел в виде '"):;-(...,(( — 1), 7(О), )(1), )(3),...), '" аргумент, указывающий на порядок следования чи- :Ви дискретизации функции важным параметром являет' ''вал дискретизации т,.
Однако для простоты записи, ')занес, будем его опускать. последовательность чисел 7()с) определена только для уельных значений )о то одностороннее 3-преобразование ,, й';) определяют при помощи соотношения 1'7 (к))=Е (Я) =: )' 7'(к) а ". к-о ' 7(к) определена как для положительных, так и для ,втельных целых чисел, то двухстороннее 3-преобразова- 1(к) дается формулой ' У(к))= — Е (а)=-. ~'„7'(к)я ". \(= тное Е-преобразование определяют формулой 2 г ,," некоторый замкнутый контур в плоскости г.
,, ь Я-преобразования с теорией дискретных систем лег,Мать на примере соотношений, описывающих импульс- 377 $~; нэ ФиитыАый иэ где (3) = сун ~ — !и «~1 =- ~ й' (от,) « ттг l т О с9) 378 ный элемент. Преобразование Лапласа для импульсного 3„.",",'; мента имеет внд: '."1 Ои (з) =- уи д (тт,) е с о и представляет собой бесконечный ряд по отрицательнь ':„." степеням е ' .
Поэтому используем подстановку «=е"" заменяя в этом выражении з на 1 3 — — -1и«, т/ можно записать т. е. выражение, совпадающее с выражением (13.39), опредн лающим Л-преобразование. Итак, У-преобразование от ди(1) ~В'(!Н=~а( .)« '. Подчеркнем, что «спреобразование содержит информацию соответствующей непрерывной функции времени только в дн '' ретные моменты, поэтому оно определяет не непрерьщн " функцию, а ряд ее последовательных дискретных значенв„ Значит, одному У-преобразованию может соответствовать жество непрерывных функций, имеющих одинаковые значеия в моменты )ст, (рис.
13.19), так как им будут соотвстствова' . одни и те же дискретные функции. !у «тг а% 6~~ ':$ Ртк. 13.19. Множество непрерывных функций я(1), имеющих одно и то же 2-преобразование :.йь Поэтому при применении «-преобразования информацп"':"'"-.: непрерывном сигнале, за исключением дискретных момен,."2 1ст„полностью теряется. Другими словамн, можно считатти введение 2-преобразования соответствует включению на )С Рис. 13.20. Непрерывная система: а — с имсульсным элементом иа ихсдс; б — с импульсным элемеатсм на икпде и фиктианым на выходе "' стемы не существующего в реальной системе импульсно- "мента, т.
с. исходная система (рис. 13.20, а) заменяется ""ой, показанной на рис. 13.20, б. У-преобразование диск—:функции в отличие от преобразования Лапласа мо' ть записано в замкнутой математической форме. ".:основе определения (13.32) рассмотрим следующие примеры Х-преоб'';-;Е-:преобразование последовательности импульсов одинаковой амплиьРанее было получено выражение лля преобразования Лапласа фуик' 'а. (рис. !3.21,а) у)т) .лге) б уе® б ~ т„ Рис. 13.21. Примеры 7-преобразования а — псслсдсаательнссти импульсса сдинаненей амплитуды, б — единиенсй ступеиеатай функции; е — линейной Функции Таблица 13Ы вртиииив вречеии 8 (с) б(с — ) -лт и ~~с' 8 (С вЂ” и .с,) с!'! и е 'сс» (» 1)в ! » (»+ 1) т и (» 1)в — ав » — е Г »з!пот, Р(») ! 2 3 в+ в+ ° + »' — 2» соз а тг -1-1 откуда си » Р (»)= тл Р' (з)= 1 е и ег 1 Перейдя к л-преобразованию, т, е, заменяя в этом выражении е получим иа 2"с 2) Л-п, ) реобразованне единичной ступенчатой функции (рис.
!3:21,б) й отличается от Я-преобразовання функции, рассмотренной в первом в моменты кт, они имеют одинаковые дискретные зна ег иом пение ч сия )в(!)..., Р(»)= Это лншиисс раз показывает, что л-преобразование «не чувствует» промеж '.;.,' точных значений исходной непрерывной функции! 3) л-преобразование линейной функции (рнс. 13.2!,в) 1(0=! Эт ф а функция соответствует дискретной последовательности х(кс,) =кт, (к=1, 2, 3,, ) Применяя формулу (!3.39), получим Р(») в форме суммы бескопечпогаь Р(з) =т,»-'+2т,» — в+3 с,»-в+ Разделив обе части уравнения па зч„получим Интегрируя обе части данного уравнения, найдем Р (») 1 1 1 — — — — — —... +с, »тг = »»в»а где с — постоинная интегрирования.
Правая часть этого выражения — сумма убывающей геометри е ро:;:~ сесин, пе в ческой п,'с) гр, рвый член которой ав=!сс», а знаменатель д=!)», тогда 1 ::> »т ( 1 /+с= — — +с=.— — -1-с. с!» =— :ф 4вфферепцируя обе части последнего выражения, найдем Р (») 1 »тг (» 1)в т е Я-преобразование получено в замкнутой математической форме л-преобразования элементарных функций приведены в табл. 13.1 380 2-преобразования для некоторых функций реобразавание обладает рядом свойств (смл Ку;'()', Т.
Расчет и проектирование дискретных систем управ- ",' М.: Машгиз, 1962). Здесь приведены лишь теоремы о ', иом и,конечном значениях. ;,,'йорема о начальном значении. Предположим, что задано бразование Р(г) и требуется определить начальное зна- : Т(О) последовательности, которой соответствует Р(г).
,' ' 'гласно определению (13.39), .„(г) =ПО)+1(1)г с+П2)г '+ ряд сходится при всех 1г()1. Поэтому при г- сэ (О) = 1ппР (г), .„:„,еорема о конечном значении. Ограничим последователь- .:,, '1(кт,), положив к=!'с', где Л! — достаточно большое число.
,.нзуем функцию 1(кт,— с„), запаздывающую относительно а.„')'на т,. Если ;в), "(г) --- ~~~У у (кт,) г ", в е 381 '()= ~ 8(т) ~ й(и) — = гд — о к=-— О Д Г(т)а- ~~~~~ ь,(д) — П( ) ( к= — ~ ч и (1.'й43) ':„:! т о Я-преобразованием для )„((ст„— т,) будет Л/ — ! ~ (.)=~а-,) -".-'=-.-~(.) к-о Найдем разность то!т(а) и Гь ! (а), положив а= — 1: тг гг — ! ~~р~ у'(ктг) з "— а ' ~'„у(кт ) з ' — у (Л! к-о -к -! - ~ ) Й,', к=-о Пусть Ж- со, тогда у(со)=-!!ш(! — а !)то(з). к ! Последняя формула устанавливает связь между Е-п еоб нием и конечным значением фун функции. ду -прео рахова,',, 13.8. Я-п - ередаточиая функция дискретной системы Как был о,показано ранее, дискретный сигнал к на л имеет вид рвоначально находившейся в покое,, у(к)=.
)' !а(к — т)й(т), гк (13.41р.: где А(к) — взвешенная временная по е ной системы. р ная последовательность днс!срет-';:э Взяв Я-преобразование от функции (!3.41), получим Е(у(к))==)г(а)= ~, у(к)а в, к— или Л-преобразование цг ли р улируемой (или выходной) переменной;;; =ХЕ.Ф -- -+-= га а к -с ~, 8'(т) ~„А(к — т)а ". (13,42) '! Сделав замену переменных п=к— (13.44) ; называют Х-передаточной функцией дискретной системы .';:«1!ормуле (13.44) через У(а), 6(з) обозначены У-преобра''""'я последовательностей импульсов у(пт,) и д(пт,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
