Солодовников (950639), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Аналоговые и цифровые ЭВМ применяют в составе с11.,-". стем автоматического регулирования и управления различно~,'"' назначения. Еще более пгирокие перспективы для цифровыхэ ЭВМ открылись в связи с появ.пением микроЭВМ. Поэтому,,:. знание основных понятий, определений, методов математиче:,(, ского описания и расчета систем, содержащих цифровые ЭВЬ~с и называемых дискретными системами регулирования и управ',:гс ления, является совершенно необходимым.
13.1. Определение дискретной системы. Разиостные уравнена~!. Входные и выходные сигналы непрерывных систем явля'.",' ются функциями непрерывного времени Е Если независргмайчг переменная 1 принимает непрерывную последовательность зна=',: чений, то сигнал называется непрерывным; если она принв.'.;1 мает только конечное множество значений 1а (где й=О; гй!"- ~2;... ), то сигнал называется дискретным. В дискретных СА11-" и САУ в отличие от непрерывных, которые были рассмотрен"',:. ранее, циркулирующие сигналы являются дискретными. На рис. 13.1,а изображен непрерывный сигнал, а к.,". рис. 13.1, б — дискретный.
Формирование дискретного сигнал(,". представить себе следующим образом. Пусть имеется ''- (КЛ) (рис. !3.2),,который включается на очень короткий '"" уток времени Лт, а затем остается разомкнутым в те- Рнс. 12.2. Работа пдеального кгноча (нмпульсного элемента): à — сигнал на входе ключа; à — сигнал на выходе "';.тр, Если на вход такого ключа подать непрерывный сиг- ""(1), то на его выходе образуется последовательность имдв(1), разделенных друг от друга во времени интерва": :т„причем величина (амплитуда) каждого из импульсов ",:."'Равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные " 'гы 1„. В дальнейшем принимают, что интервал т, (назыинтервалом, или шагом дискретизации по времена) явпостоянным с„=сопзй Поэтому, если сигнал наблю,.'-':в течение Тн, то Т =1стг, где гг — целое число.
Ключ по „', ву является амплитудным модулятором непрерывного : а в дискретные моменты и называется импульсным эле,:м. етемы, в которых входные и выходные сигналы являются ными, называют дискретными. Системы, характеризу";;.!клак непрерывными, так и дискретными сигналами, назы,'дискретно-непрерывными. Дискретные системы описывают Жтными уравнениями, а непрерывные системы — диффе'„альными. йнятие разностного уравнения можно пояснить на следу- ""' примере.
Предположим, что необходимо вычисчить ин'лс ,',1в)=- ~ и(т) с(т .,Чае, например, если подынтегральная функция и(т) — не ,.„:Рируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием ,„,:чается в том, что функция и(х) аппроксимируется кусоч, тоянной функцией и(с) (рис. 13.3)„причем ,:,1т)=-и(йт), лт,(т(йт,+т,. '.':!гформулу (!З.З) пРименЯют последовательно длЯ значеьм; О, 1, 2, ..., т. е. т) =т„и(0)+у(0) =т„и(0), фт)=т и(т„)+у(т„); фйт,) = г,и (2т„) +у (2тт); $) з7з ттд Рнс, ЬЗ.З. Численное интегрирование функ Пии п(т) 'Тогда «т «-ь у(йт,)= ~ и(т) с(т-~~~'„тги(зт,). з ь-о С помощью формулы (13.!) определяют процесс интегриров '," ния при т;«4), Она требует запоминания всех прежних значем ний сигнала и((т„) для того, чтобы определить значение ии,", теграла в данный момент (=йт,.
Гораздо более простой сььосьь()(ь состоит в том, что вначале находят «тг Ьт« « уйт,+т,)= ~ и(т)с(тж~)',т,и((т,) о ь-а а затем вычисляют выражение (13.1) из соотношения (132)т В результате получают у (йт„+т,) — у (йт„) =т,и (йт,), (13.3)::,у у((й+1)т,) у(йт„)+т„и(йт„). Согласно формуле (!3.3), необходимо запоминать толь~о:"; предыдущие значения интеграла у(йт,) и его значение и(т) данный момент, чтобы определить значение интеграла в ььосд,,!;-, »де-'(, дующий момент (й+1)т,. Выражение (13.3) является разностным уравнением 1-го "о;":,"; рядка, Алгоритм его интегрирования заключается в следуьош шеФ':»' 1) запоминается начальное условие у(0) =0; "т,) =т,и((( — 1)т„) +у) (( — 1) с ]. ',:каждом шаге этого итерационного процесса каждое ььо","(осщее значение выхода у((т„) вычисляют сложением его 'дущего значения у((( — 1)т,| с предыдущим значением "' 'ы((( — 1)т,), умноженным на т,.
;;::~Ищем случае линейное разностное уравнение имеет вид 'П+ьй)+а,у(п+й — 1)+... +а„у(й) = (13.4) ''$зи(п+й)+Ь,и(п+й — !)-1-... +Ь„и(й). , чтобы при помощи этой формулы вычислить у(п+и), 'вадима запомнить предыдущие значения выхода "."йв: 1), у(п+!» — 2),..., у(й) и входа и(п+й), и(п+ '.$)ь..., и(й), а затем выполнить указываемые денствия ения н сложения. :Методы математического описания дискретных систем "Скретные системы, так же как и непрерывные системы, ',,'-"'три формы математического описания во временной об- ' а виде ," остных уравнений вход-выход, являющихся аналогом енцнальных уравнений, сивой временной последовательности, являющейся ана;:"описания непрерывных систем при помощи импульсной 'дной функции; ,: остных уравнений в переменных состояния, являющих- .влогом описания дифференциальных уравнений в пере- ,;,х, состояния для непрерывных систем.
потные уравнения вход-выход. Уравнение (13.4) часто „,,„уют для описания связи между входом н выходом циф- ., ЭВМ. При этом его приводят к следующему виду: %)=Ь,и(й)+Ь,и(й — 1)+... +Ь„и(й — и)— (!3.5) :.; 'у(й — 1) — азу(й — 2) —... — а,у(й — п). у(«) характеризует собой ныход в момент «т, (шаг дискретности ,„. „но для простоты написании формул опускаюь). Числа р(« — Ь), Характеризуют предыдущие значения выхода, запоминасмые в памя- ти ЭВЬЬ Аналогично числа и!Ь), и(б — 1) характеризуют вход в дискрет„"-'а моменты Ь, Ь вЂ” 1,... и т.
д. (они также хранятся в памяти машины). Ур ь!з', пение (13.6) называют рекурсивным, или рззностным, позволяющим вычв.',-'~ лить кзждое последующее знзчсние выходя по предыдущим данным. Описание линейной системы при помощи взвешенной вр,':.",. меиной последовательности. Для систем, описываемых лин~й;; ными дифференциальными уравнениями, очень важным и удой,.''.'Ь ным явчяется понятие импульсной переходной функцн (ИПФ). Если для системы, находя!цейся в покое, известя ИПФ, то, пользуясь интегралом суперпозиций или интеграло~..', свертки, можно найти реакцию системы на любое входи~) воздействие. Аналогичное понятие„называемое временной п~~ следовательностью, существует и для дискретных систем.
ИПФ для непрерывной системы определяют как ее реакций'„".ь на дельта-функцию, Она имеет вид некоторой непрерь!вно4!. функции. В дискретных системах в случае входного воздеф'' ствия в виде дельта-функции получается последовательное '. чисел, а не непрерывная функция времени.
Эта последователй)! ность чисел может быть получена следующим образом. Рассмотрим систему, описываемую разностным уравнение)!. (13.5) вход-выход, находившуюся в состоянии покоя до мом '' та приложения входного воздействия, т. е. у()с)=0 при )с= — 1'.
— 2,... :=-) Пусть (1, к=-.О, а(к)= '(к)=)0„+О, где 6, (к) — дельта-последовательность Кронекера. Положим в уравнении (13.5) а(к)=-6„(к); обозначив полУ', чающуюся при этом реакцию системы через й(к), можно и "' писать ч й(к) =Ь,б(к)+Ь,б(к — 1)+... +Ь„Ь(к — п)— (13,5)',:: — а,/г(к — 1) — а,й(к--2) —...
— а„й(к — и). Взвешенную временную последовательность Ь((с) называют в6,'," совой (рис. 13.4). ЬЬ ЬУЬ) -'1. '. '"''. исленне б(к) по урзвнеиию (13.6) проведем следующим образом. ""д Цк) =О, к<О„получим ''ЛО)= бп тв'ф) =- б,6 (0) — а,б (0) = Ь, — а, Ь,", -'й (21= Ь„Ь (0) — а,й (1) — азб (О) .=.=б, — р,б, + а,'б,— а,Ь,. ',ре Ф Сдположим теперь, что входной является дельтз-последовзтельность Гаю к=О; '" (к)=- ааба (к) =1 113.7) *' (к) =па(к), -'яадс с очный нуль при у озизчзет взвешенную (множителем а,) реакцию 13.6) из дельтз-последовзтельность, приложенную в момент к=0 ,р)"заьйдем реакцию системы р'(к) для входа в виде дельтз-последоввтель' приложеииой в момент к=1 ~ао к=1 "'(К)=ссА (к)= 1О, к Ь1. Этом случае у(к)=0 при к( ! и '(1)=бьи (1)=аюба. ф42) = а, (Ь, — а, Ьт); ",(Ь)=аз 1Ьз — азб1 + ат'бо — а,б,) "';К.
'пвая систему уравнений (13.8) с 113.7), получим , "зь)(и) =азб ( к — ! ), '',,твк же, если дельта-послеловзтельность приложена в момент к=1 (13.8) (ал к=/; .(к)=а!61 (к) =1 10, кЬА ф(к) =0 при к(1. Следовательно, согласно уравнению .!.,ут „' (1) =Ь,а(1) =сь!Ь~; 'у'((з+!) =а;(Ь,— а,Ь,); (13.9) 'ф((+2) =ат(Ь,— а,Ь,+а,'Ь„+а,Ь,); 'Ф(к) =а,й(к — 1). Фйссмотрим теперь общий случай, когда входная функция ,'' тавляет собой сумму дельта-последовательностей, прилоЫх в моменты к=-О, 1, 2,..., т. е.
(О, к(0; ,::„; (к) (а,„к.~ О, Рнс. 13УК Взвешенная временная по- следовательность чш((чс) =аьб (к)+иМ,(к)+а,б,(к)+ .. 363 369 Тогда на основании принципа суперпозиция регулируемая пср '-,".'., менная системы будет равна сумме реакций, вызванных сигн,'-.-.",„ лами и(0), и(1). и(2),..., и(1г): у(к) — р'(к)+у'(к)+... +уа(к) — --- )',уг(к), 1-о или„принимая во внимание формулу (13.9), о ;*'4 у(к)= ~' агй(к — /). 1-о Таким образом, если на вход системы, находящейся в по.'!:;: кое, подана временная последовательность чисел [и(0), и(1),,)«. то временную последовательность на выходе определяют пну формуле р(к) =- „1' й (к — 7) и(/), к--=:О, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
