Солодовников (950639), страница 62
Текст из файла (страница 62)
2,... (13.10~': г=-о После замены переменных т= — к — у формула (13.10) пргрт мет вид р (к) — -- ~а л (т) и(к — т). (13.11)' л« вЂ” --о Выражения(13.10) и (13.11) являются аналогами интегралов~', свертки для непрерывных систелг. Описание линейной системы при помощи разностных уран"-'."1 пений в переменных состояния. Для дискретных систем роль.' дифференциальных уравнений 1-го порядка переменных со..:.' стояния для непрерывных систем играют разностные уравнения'; 1-го порядка: х[()г+1) т) =А (лт) х(угг)+В (йт ) п(т,) (13.121';:;1 у(йт,) =-Са (йт,) х(йт,) прн начальных условиях х(0) =х,. Это — система разностных уравнений, в которых векторы':,'-;- х()гтг), п()гт,), У(йт,) РассматРивают в дискРетные момспты-","1 1=ят„)г=О, 1, 2,... (где т,— интервал дискретности).
В дал« нсйшсм предполагают, что т„=сонэ[. Поэтому в уравнениях па '1, раметр т„обычно опускают и эти уравнения записывают в нядв '. х(А+1) =Аа(«г)х()г)+Ва()г)п(й); (13.13) ';... у(/г) =Са()г)х((г). Здесь так же, как и в случае непрерывных систем, Аа()г)":~~ Ва(й), Са(й) — матрицы размерности пХп, пХт, рХа соот ветственно. 360 «««рная схема, соответстнуюшая уравнениям (13.13), иво- "" ва рис. 13.5.
Рис. 13.6. Структурная схема дискретной системы ' чае стационарных систем запись еще больше упрощается, так как "„ входящие в уравнения (13.13),не зависят от 1«. ";+'1)=А х(л)+Ван (Л); ",=',Сах(Л); х(0)=х„ не уравнений (13.14) мажет быть получено следующим образом индексу а значения О, 1, 2,..., ч, запишем адах(0)+ Ван (0), ,'л««Аах(1)+Вн[1) = — Аах(0)+АаВап(0)+Вап(1), (13Л4) т-« "лмдах(01+~»А,"г ' «Вац(0, т=-7,2,3 (13.16) (13.17) (1, к=О; бо( ) [[О, ~0. 361 «-о (13.16) фундаментальной, или переходной.
являя матрицу (13.6) в уравнение [13.161, получим л — « ф (т) х (О) + ~~ «Р (т — 1 — 1) Вая (11. =-о 'ее решение первого вз уравнений (13.14). и авнеиия (13,17) зависит только от начальных условий 'аМределяет реакцию системы, ие зависящую о Л член уравнения от воздействия н(«1. 61(ми зависит только от значений н(0), н(1),..., и(о — 1) етом уравнений (13341 и (13371 сигнал на выходе определяют с выражения л †« — Сагра(т) х (0) + ~~~~ Сафа (т — 1 — 1) Ваи («). «-о „деление взвешенной временной последовательности по ям в переменных состояния. Найдем взвешенную врепослсдовательность для системы, описываемой разноуравнсниями в переменных состояния, т.
е. реакцию ., 44 тг(и) при нулевых начальных условиях х(0) = 0) =0 и входе „:,.дельта-последовательности: цирование, интегрирование, упреждение, запаздывание, ние дифференциальных и интегральных уравнений и т. д ). и) 4) ЭВМ работает в реальном времени; 5) ЭВМ может использовать настоящую и прошлую, но будущую информацию (принцип физической осуществимое ~~а.' Система, содержащая ЭВМ, квантует сигнал и по ур(щ„, т„. и по времени. Квантование по уровню создает на ныходе оц)з~" ку второго порядка малости по сравнению с эффектом от кз ':.,",.
тования по времени (ошибку квантования по уровню ь(о. уподобить воздействию некоторого шума). Поэтому в дальней'.- шем, при рассмотрении динамики системы в первом приблн«к.-;! нии, квантованием по уровню пренебрегают. Квантование по времени означает дискретизацию, замей: непрерывной кривой последовательностью импульсов. Вооб ' говоря, такая замена может привести к потере ннформацн: Условие, когда при квантовании по времени информация пе ряется, т. е.
когда по дискретным данным можно восстанов исходную кривую, определяется из теоремы Котельникова Если кривая х(1) (рис. 13.7) обладает конечным спектр Ф кор ог Рис. 13.7. Дискретизация и спектр непрерывного сигнала а — квантование сигнала по времени (к'П) — дискретный сигнал) б — часттныа спектр И(уг ) непрерывного сигнала (рис. 13.7 б), то информация не будет потеряна при выполнен)пй условия 1(б 1( и, т, где о)о — ширина спектра, когда период повторения достаточнлч)г мал. Рассмотрим, как трансформируется сигнал при его прохо"((,' денни через каждый элемент (см.
рис. 13.6). Обычно ыон(н ., «кнбпредположить, что ключ КЛ включается и выключается мгнп';-',:,( ах венно через каждые т. секунд, генерируя числовую последов „".'!. тельность ,!'(( ( . Ь'( — 2т,), а ( — т„), д(0), д(т„) ... ), подаваемую на вход АЦП. Итак, на выходе ключа КЛ нме сей;: дн (1) = )'„й (кт,) б (с — кт,). ив ~(1)к.=о, 1<0. Тогда '~рп) — ч) г (кт,) б (1 — кт,).
(13.19) и о в (() определяемый формулой (13.19), поступает ',иал й' ЭВМ и преобразуется в другую цифровую последовем ю линейным разностным уравнением "'' ть, определяему 'фат) =Ьад(кт,)+Ьгп((к — 1)т„~+... +Ь,п((к — п)чав 'Кодпой сигнал с ЭВМ х,(кт,) 1(г= — О, 1, 2... п) подается на ЦАП. Задача последнего состоит в том, образователя . а тп еобразовать цифровую п ифровую последовательность (13.20) в я.
Обычно желанеп е ывную часть системы управления. О (1) (1) представлял собой оги- ; чтобы этот сигнал х,( г-и для временной последовательности хв, ,кт,, т. с. в ин- (1((к+1)т„преобразователь ЦАП должен экстракт, ,к т„ п о сигнала в момент " ать значение амплитуды входного интервал т„вперед).
Устройства, выполняющие эту , называют экстраполяторами. нто т-го по ядка определяют как зкстрапол р, ято, выход котогл+1 п ощлых дискретных значений на его зуют полиномиальную зкстраполяцию. данный момент зависит от р йббычно используют ,0(т(то (13.21) ()вг +т,) =пот,м+о (т "' '+... +ла, 0~<с т, '(а(ужно, чтобы для всех к с„:"0 и =Х (ктг) =Х (кт), фнциснты а, а ь..., ао в ,..., а в равенстве (13.21) вычисляют так, чтобы орались ограничения Нтт) =- х,(кт,) а необходимо ,:,говоря, вь(чнслять заново. зкст аполятор реализующий поли"тым йолнномиальиым является зкстраполят 0(т сто где 4евого порядка (т=- ), т.
е,, =-, т ",-''Ф11 ~2;... Выход такого зкстраполяторв предст в. * . 13.9) описывают полиномом 1-го оис. 13.6). ) оп - пйаполятор 1-го порядка (рис . ) оп (13.22) , Ляг+к) =а,т+ао, 0(т( г„ аит ) =кв(нт ) ° 365 яф) вп ) ы «(а! и в(гы) в ю б вуг) ,Ь тв 9) у йц вгг) через ЭВМ: т; «к» ~» бе» вт» вт в Рис.
!3.8. Экстряполятор нулевого порядка: а — Чгункцковальнан схема; б — выходной сигнал прн «вадомн нанни» на Чг , .. ...»ммдавв(а и г» лт втг йт вг» в Рис 139. Выходной сигнал экстрвполяторв 1-го порядка Общяя схема прохождения сигнала показана нз рис. 13.!О, прнчсм а',. пульсиый элемент (ключ) прсдстввлен квк модулятор, в котором проводок модуляция последовзте)гаяости импульсов непрерывным входным сигнал, я(!). Ползгзя в выражении (!3.22) т=о и т= — то получим па= — хв (г)"сг) ° -0 к„(лт,) — к в((п — !) т,) о г —.— тг Следовательно, уравнения экстрвполяторз 1-го порядка имеют внд Хв(лтг) — Хв((П вЂ” !) тг) к,(ггсг+ т)ем т+кв (птг) 0«гч' ст, в г --.
г где п=о, +!, +2, ... Рнг. 13.!О. Общая схема прохожлеиия сигнала И вЂ” модулятор: Э вЂ” вксграпалнтор '". Преобразование частотного спектра непрерывного 'нала при его прохождении через цифровую ЭВМ мй . ""мотрим теперь преобразование частотного спектра сиг'"и его прохождении через ЭВМ (см. рис.
!3.10). Это по' "ивглядно представить влияние на процесс преобразовал"'а дискретизации и характеристик экстраполятора, ' ' 'оную ЭВМ заменим рааностным уравнением вход-вы:„':е«дискретной системой, передаточная функция которой "'«иется алгоритмом цифровой машины. "ф сигнала на выходе преобразователя АЦП позволяет "'ррснвать его как модулятор, т. е. как устройство, осу«" Иицее модуляцию бесконечной последовательности ил)- аг(1(«) входным сигналол( д(!). Проследим за теми изме- которые претерпевает сигнал д(!) в частотной обла"'; рнс. 13.6) разование Фурье от входного сигнала "е)= ~ д(«)е-! (((г )Имплитудный частотный спектр (б()б))) входного сигнала "'1!с. 13.11,а) имеет вид (рис.
13.11, б). Действие ключа ',Ю.11. Преобразование частотного спектра непрерывного снгнвлн при прохождении через импульсный элемент: ной сигнал я(о; б — амплитудный частотный спектр о(гю); а — па Нательность импульсов Ч((); г — лкнейчатый спектр О()еу ) пас»сдана. Оетн импульсов д((); д — сигнал ва выгюдс ключа в анде последовательностн импульсов К"О) ;ис. 13,6) состоит в том, что сигнал д(!) модулирует по, ётелы(ость импульсов д(!) (рис. 13.11,в). Последовабесконечно высоких импульсов единичной плон!ади , „,вт бесконечяо широким лннейчатым спектром )'-'13.11,г), т. е. ее спектр представляет бесконечную сумму частоты которых кратны значению п),=2п/п„(где ,„ вг дискретизации) 307 Действительно, преобразование Лапласа для последова ности дельта-функций р(й)=-,'~ б (У вЂ” <тг) имеет вид (')(УЬ)=- ~ ~~5(1 — Кт,)Е умГГУУ=1+Е м'г+ -/мт» ) зуьтг ) Š— т)сжг Таким образом, сигнал на выходе импульсного элемента и ставляет собой последовательность импульсов, модулировав '' по амплитуде: й д*(8)=-.
гу(1)д(с)=д(8) ~л~и~б(Ф вЂ” кт,). Так как дельта-функция равна нулю, кроме 1 — — кт и д(!) '." при 1(0 (рнс. 13.11, д), то йв (1) =- ~'„й'(кт,) б (й — ктг). (13. к О Найдем преобразование Лапласа для и'. Вывод основан на следую свойстве: преобразование Лапласа для произведения интегралов р свертке их изображений в области комплексной переменной: с+/~ Цф(У)а(У))=-,'„~ ()(Л)а(з Л)г(Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
