Солодовников (950639), страница 66
Текст из файла (страница 66)
13.1, найдем ~ (йуа (з)(" а (з)) (1 » ) (» — 1)а » — 1 + е а 1 Предположим, что входом системы является единичнан ступенчатая функ-.р ция йа(1) =1(1). Тогда Подставляя (!3.57), (1358) а формулу (!3.56), найдем Я преобразование регулируемой переменной: у (»)= (0,368»+0,264)» ( 0368»+0,264 (» — «(» — 0,368) (» — «(, (» — «(» — 0,368) ) 1+ а!ли (0,368»+ 0,264)» (» — «(»' — »+ 0,632) Установившееся значение регулируемой переменной у ( со ) = Иш (» — ! ) )" (») = 1, а ! алкая матрица „,, азоаание пере- матрицы очная матрица ое преобразоааа(аа(аредаточноат мат- х(!) =йх(1)+Вп(1) у (1) = Сх (1) фр) =еаа ! ! ~ра(») =-Х[»! — йд]-~ )У,( )=-.-2-СаФ.(з)Ви Ф(й) =Саара(0 — «В Предположим, что сигнал х,(1) с выхода экст апол поступает на вход непрерывной, " у "й; о системы, описываемой у пнями в переменных состояния: ураза Х (г) =- Лх (~)+ Вп (8), т (го) =-хо; 1 у (г) =-- Сх(г), (13 60 где пЯ вЂ” вх ( ) — входное воздействие, приложенное к объек ляющееся в данном случае сигналом х,(1) на вы полятора, т.
е. и(1) =-х,(1). При этом ограничимся рассмотрением экстраполято а н го порядка, для которого лятора нуг)сз '! п(1) =п(йт)„)(т,~(~(й+1) т,. Начальные условия для интервала (1(т.— (й+!) т,): х((с) =х((сг,) . Решение первого уравнения (13.60) имеет вид х(у)=--ел(г — г')хэ+ ~ ел(1 — )Вп(. ) ( ч Для определения х(() в конце интервала (и+1)т„почагаепс !с=-.)(т, и 1= (А+1) т,. Тогда (к-1-1 ) т х)(к+1)т,)==ел"х(кт)+ с """"" "В е ' Вп(кт,) дт, кт'„ или, так как вхо и пост д ос оянен на интервале интегрирования,п), произведя замену переменных 1=(й+1)т,— т в правой части, получим: — ) т,— т для интегра)гв!1 с (к+1) г Ед!(к-Ь()тг-т! ~~' п(кт,)=- ) е""Вг(т1 п(кт) кт г или, окончательно (т„ *К.
111.,1 †."".(.*,1Ч () *"Ге Вез.С.1,1 а (13,61)- После н оследнее уравнение †векторн разностно 1- чка* .."- Если принять н гное -го порягп ,к е г = Л» (т,) =- А (13.62) '( 390 (13.63) йдтгВ((т=В»(т) =В» ""фвнение системы (13.61) можно привести к виду ()(+1) т„) =А» (т,) х(йт„) -1- В»(т,) и (1сг,) . (13.64) '"йм)рос уравнение (13.60) при этом принимает вид ' !(т,) =- С (х ((сг,) . (13.66) ," ения (13.64) и (13.65) представляют собой дискретную непрерывной САР при кусочно-постоянном входном сигг»Они аналогичны по виду уравнениям дискретной системы "'' 'менных состояния, а математическая модель непрерывной с кусочно-постоянным входом эквивалентна линейной "етной системе со входом в виде числовой последователь)кжОтличие заключается лишь в том, что матрицы А,(т„) и 'ф;зависят от интервала т„.
'н матрица А неособенная, то ~(т,)=-Л-!(ем. 1)В. "аким образом, А,(т,), В,(т,) — постоянные матрицы, эле" ' которых являются функциями от т,. Из уравнения (13.62) '; т два основных свойства, матрицы А,: йк.= — А»(ит,)- =е ""; '(О)= 1. ведевный анализ показывает следующее. Подадим на вход дискретч((плели, описываемой уравнеянямн (13.64), (13.66), снгвал н(кт„] и пред"',', что матрицы Аа и Ва удовлетворяют соотношениям (!3.62), ,), Когда ее ~вектор состояния х н вектор выхода у в кагкдый гтискрет,'Момент ьт„будут принимать те же зиа'геиня, что и вектОр состоя~вин ;(гглектор убй яа выходе последовательного соединения экстраполятора , 6по поржтка и непрерывной модели„сел ка вход экстраполягора пода- 1(то же воздействие от результат позволяет моделировать поведение непрерывных САР ';,~и)мощи цифровых ЭВМ.
Изложенный подход можно также рассматри::,'как метод решения диФференциальных уравнений (13.66), даюпгий ре,;,'ат для дискретных моквн1тов кт,. 'Х~пределенис дискретной модели, зквивалентиой непрерывной, требует ,' ения матрицы е г- Лля этого можно воспольаоваться одним из слелт гх способов. :,:)т,разложение в ряд. При этом имеем т "Дт Дт к Аат л 'Ф~, =.!+Ат ст 2! +.. + ! +.. л! ,;.* А н т„и ограничиваясь копечкым числом членов э~ого ряда, можно ..:Е г. (Вообще говоря, этот способ неудобен, так нак для обеспечения ят „.„" гн он требует >.чета большого числа членов ряда.) ЗО1 2 Матрица А диагональна.
В этом случае е тг также днагоиал если А=«цап(Ль Лз,., Л„), то днагоиал„а '., Е г=б!ад!ЕЛ' ', Е ", ..., Е "г~. Полученный результат показывает, что часто оказывается удобным прс рнтельно приводить матрицу А к диагональной форме. «ым прсдза -,," 3. Применение формулы Сильвестра. Ес««и асе собственные зпачс, матрицы А различны, то зпачсиа л лт„~ч! Л«т гг А — Лутг ! Л« — -Л! «=! 7В« Анализ дискретных систем, описываемых разиостиыми урав.-." нениями в переменных состояния.
Изложим метод вычислена> дискретного сигнала на выходе дискретной системы, в частностн-', для дискретной системы, эквивалентной непрерывной. Приз«еня™а„„ У-преобразование к уравнениям (!3.64), (13.66) состояния д!«ск г ретной системы, получим гХ(з) — зх(0) =А„Х(з)+Вз()(а), (!3И»'- т' (а) = С„Х (а), (13.67»:: где Х(г), «)(г), т'(а) — векторы размерности пХ1, тХ1, дХ!.,; соответственно. Решение (13.66) относительно Х(з) дает Х(з)=(з1 — -А,) «гх(0)+(г1 — Аз)-'Вз()(з).
(!3.68)'„ Подставляя выражение (13.68) в уравнение (13.67), найдем У(г) =С,((а1 — А,) 'ах(0)+(а1 — А,)' «В,п(а)). (13,68) =; Покажем, каким образом, по!!ьзуясь уравнением (!3.69),;." можно найти дискретяую последовательность у(и) на выходе.,:::;:. Тем самым будет установлена взаимосвязь между описаниями,," во временной и в г-комплексной области. Полагая а уравнении (13.68) ц(з) =0 и применяя обратное У- ) преобразование, найдем выражение для фундаментальной мат-:= рицы «рз()«): «р(й): — -К «(а(а1 — Аа) ').
(!3.70),:::: Таким образом, фундаментальная матрица является обрат- и( ным Е-преобразованием матрицы г(а1 — А) ', имеющей размеР ность аХи. Алгоритм вычисления обратной матрицы (з! — А)-' заключае ся в ле дующем. Пусть и.меем (1 1 (а! — А)-'=7> а«О (з! — Аа), (!3.71) где 7>(а) — детерминант матрнпы (а! †. Представим 0(з) в виде полииома от ж 7)(з)= -() "-'- р. "-'— (137П 302 (1))гвказат«ь что «» А„) =Ы вЂ” +Н, .-'+ „. +Н„, (!3.73) ф«1, Р«=-зрпг Ал !1:;.тН«р,1 !!.,=-)зрпг(дзН~) (!3.7«) """'ЦНз — фз1, (>з=(зрнг(Азнз)! 1 , .6„1, (>,=~ зрпг(АзН.,-«) (И.74) «ерез зрпг обоаначен след соответствуюп«щ«митр«п«ы, ый как сумма ее диагональных элементов. Польз>ясь уравиения- ' 1) —.(13.74), можно найти (Ы вЂ” Аз) ', а затем па форм>'ле (13.70) ь матрицу ф(««) ф' ".;::-'': 13.11.
Анализ устойчивости дискретных САР '""учае дискретных САР передаточная функция разомкну- ''", емы, согласно (13.37) или (1338), при мнимых значе- ';~уо имеет вид ,Де)=,— (Р;а(7 ),'> !Р)Рос(?ю+уцю,), тг (13.75) '; '1.', ~„%'В'ос (3 + у ы,) =- О, является аналогом характеристического уравнения не- й системы (а) 1)У„(з) =-О, 'дставляется бесконечной суммой. Однако она все же ма'ть использована для исследования дискретных систем. ' ясняется тем, что непрерывная часть системы в виде ятора и объекта обладает свойствами низкочастотно," ' а, и поэтому и правой части формулы (13.76) мож' " вать лишь несколько первых его членов. жем, каким образом частотные характеристики диск,:~пстемы могут быть применены для анализа ес устойчи,' ля простоты предположим, что ЭВМ в контуре управле. сутствует.
Тогда частотный спектр выходного сигнала ',ь«>гласно формуле (13.38), принимает вид )рг (/«з) — ~, б (ую -(- учы,) ,«)>) = (13.76) 1+ — ~~ р'(рОСУю ! 7™г) ;,':,'."ч>ормулы (13.?6) видно, что устойчивость дискретной ,,„., Ределяется корнями характеристического уравнения причем выражение )Г(/~) =- —,«м В'1р'о~( +/~со) может рассматриваться как передаточная функция разом~( той системы. На основании сделанного Ранее замечаннЯ замсниМ бе:..''': печную сумму в уравнении (13.77) суммой небольшого членов, т. е.
! ! — 1~ и'ос (/о+ / ~,) =,— ()Р'(У'~~ (/ы) + (У'1Г~~ (/ о+/ы ) 1! + В'(рос(/в+2/и,)+... + В')рос(/со — /о~,)+ + $Р'4(Рос (/о) — 2/ мс) + .). (13, Члены в правой части выражения (13.78) представляют " бой векторы, проведенные из начала координат до точек оь (чч +ы,), (ы+2оь), ..., (со — ы„), (со — 2ы,) АФЧХ т„'ЯГ1!ч„м непрерывной части системы. Из выражения (13.78) следует, ' АФЧХ дискретной системы может быть получена суммпро$' нием этих векторов.
Так как мУВ'„е(!со) является периодич' кой функцией частоты со с периодом !со„то переменной ы д точно придавать значения в интервале от 0 до со.. Более того, т как (1ИР)*(!со) симметрична относительно действительной т. е. се годограф в диапазоне частот от ы,/2 до со, является з кальным отражением годографа для частотного диапазона озу до со„/2, то оказывается достаточным изменять частоту ы в "' тервале (О, в,/2).
Число необходимых членов в выражении (13.78) зани" от ширины полосы частот непрерывной части системы и ча, ты дискретности ы,. Если частота со, велика по сравнению!. шириной полосы, то часто можно ограничиться первыми тр ., членами в выражении (13.78). После того как АФЧХ, или годограф дискретной САР строена, анализ ее устойчивости можно проводить при по:ь щи частотного критерия устойчивости, который применя:4 для анализа устойчивости непрерывных систем. Таким образом, для дискретных САР можно сформули':: вать следующий частотный критерий устойчивости. Для чтобы дискретная САР, устойчивая в разомкнутом состоян .
была устойчива и в замкнутом состоянии, необходимо и дос;-:" точно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы В'е(!со) не охват " вала критическую точку ( — 1, ! 0) при изменении со в инт,::::: вале — оь/2( са ( со,/2. Анализ дискретных систем с помощью определения и ."' строения их АФЧХ является трудоемким процессом, в особ ности, когда необходимо учитывать больше трех членов 1Ф:;:,:". 394 'Ъпсыражения (13.78). Кроме того, он не строг, так как бес'"""и сумма заменяется небольшим числом членов. ""' г частотного критерия устойчивости для а-плоскости. '""" 'едаточная функция дискретной САР с ЭВМ в контуре '= яется формулой (13.55). Вводя обозначение ве)= В',(а) 3(Яг„(з) йу,(з) Ю'„(з) ) ""':ня, что обратная связь единичная, вместо форму,'ю5) можно написать 4Р (а) ,,~ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
