Лекции 2012 (949139), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы возможны три случая:

1) G> F_А — отрицательная плавучесть, тело тонет;

2) G<F_А — положительная плавучесть, тело всплывает и плавает на поверхности жидкости;

3) G = F_А нулевая плавучесть, тело плавает погруженным в жидкость полностью.

Для равновесия плавающего тела, кроме равенства G = F_А должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение

сосуда с жидкостью.

Если при движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции, под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия - положение относительного покоя.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

При определении формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня.

Основное свойство поверхностей уровня - равнодействующая массовых сил всегда нормальна к этим поверхностям.

В полном дифференциале давления

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz), (4.12)

Х,У,Z – алгебраическая сумма проекций на оси координат ускорений силы тяжести и сил инерции переносного движения.

Вдоль поверхности уровня dР=0 , так как поверхности уровня - это поверхности равного давления. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления:

X*dх+У*dy+Z*dz = 0 (4.13),

Этот трехчлен (4.13) определяет элементарную работу массовых сил X,У,Z на перемещениях dх, dy, dz. В данном случае перемещение взято по поверхности равного давления, dР=0.

Из этого выражения следует, что работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно.

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.4.5 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом α к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом.

1. Пусть на жидкость действует суммарная массовая сила F, проекции которой F_x, Fy, Fz , поделенные на массу: Fx/m являются проекциями единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz: Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mа, F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z = а.

Все выделенные составляющие являются векторными величинами.

Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX, Fy = mY, Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму единичных векторов силы инерции j и силы тяжести g. Единичная сила инерции Fи = j = - a направлена в сторону противоположную ускорению а (рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

Ox: X = j - gSinα,

Oz : Z = -gCosα,

Оx: Y = 0.

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

(1/ρ)dp = [(j - gSinα)dx – (gCosα)dz].

Проинтегрировав дифференциал в проекциях, получим выражение для давления на поверхностях уровня

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z] + С. (4.14)

На произвольной поверхности уровня давление постоянно Р = const и, обозначив новую постоянную С₁ - Р = const, где Р получим уравнение изобарических поверхностей

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] +С₁ = 0 (4.15)

Это уравнение дает семейство плоскостей, параллельных оси Оу. Одной из них является свободная поверхность.

Обозначим через z₀ координату пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (4.15) х₀ = 0, z = z₀, находим С₁=ρg z₀Cosα для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z₀Cosα = 0

(j - gSina) x –gCosa*( z + z₀) = 0

где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0, то свободная поверхность параллельна плоскости движения.

При нулевых условиях: х = 0, z = z₀, P = P₀ в формуле (4.14), получим C = P₀+ (ρgCosa)z₀:

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z + С

Р = P₀+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z₀ – z). (4.19)

Эта формула используется для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q для определения давления в любой точке.

Возьмем на рис.4.5 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с осью, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρldS),

где последний член представляет собой полную массовую силу, q – суммарная единичная массовая сила, М = ρldS - масса выделенного объема жидкости, l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После сокращения на dS получим давление в точке

Р = P₀ + qρl, (4.20)

4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси. Силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, находясь по отношению к сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости изменится.

В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.4.6).

На жидкость будут действовать силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения. Частица жидкости будет находиться под действием ускорения силы тяжести и центростремительного ускорения, а равное ему ускорение силы инерции будет центробежным. Единичная массовая сила тяжести F_g = g и единичная массовая центробежная сила F_цб = ω²r.

Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V²/r) Cos(r^x) = ω²r Cos(r^x)= ω²X

Y = (V²/r) Cos(r^y) = ω²r Cos(r^у)= ω²Y,

Z = -g

Подставляя эти проекции в дифференциальное уравнение поверхности равного давления и интегрируя :

X*dх+У*dy+Z*dz = 0,

получим ρ(ω²/2) (X² + Y²) – ρgz + С = 0.

Уравнение свободной поверхности, например, получим, при нулевых условиях: Р₀ = const, х = у = 0, z= z₀, где координата вершины параболоида свободной поверхности. Тогда С = ρgz₀.

ρ(ω²/2) (X² + Y²) – ρgz + ρgz₀ = 0,

(ω²/2) (X² + Y²) =g(z - z₀)

и после деления на g уравнение свободной поверхности получит вид

(4.22)

Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параболоидов, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждому значению р соответствует свой параболоид, положение которого определяет константа С.

Эти поверхности будут конгруэнтными параболоидами вращения с осью Oz. Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости, где Р₀= Ратм.

Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить одну с другой, изменив их положение в пространстве.

Подставляя проекции массовых сил в дифференциал давления

dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz),

получим dp = ρω² (Xdx + Ydy) –ρ gdz,

вынесем знак дифференциала за скобки,

dp = ρ d[(ω²/2) (X² + Y²)] –ρ gdz,

и проинтегрировав, получим выражение для определения давления в любой точке

p = ρ(ω²/2) (X² + Y²) –ρ gz + С₁, (4.21)

Значение константы для свободной поверхности Р = Р₀, x=y=0, z = z₀: С₁ = Р₀ + ρgz_0.

Получим уравнение для определения давления в любой точке:

Характеристики

Список файлов лекций