Лекции 2012 (949139), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки

идеальной жидкости

Установившееся течение идеальной жидкости происходит под действием одной массовой силы — силы тяжести. Для этого случая основное уравнение установившегося течения идеальной жидкости связывает между собой давление в жидкости и скорость ее течения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.5.3). Пусть площадь первого сечения равна δS₁, скорость в нем V₁ , давление P₁, а высота от плоскости сравнения Z₁. Во втором сечении δS₂, V₂ , P₂ и Z₂.

За бесконечно малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему о кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела.

На жидкость действуют силы тяжести и силы давления, нормальные к поверхностям сечений рассматриваемого участка струйки.

Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:

(mV₂²)/2 - (m V₁²)/2 = G*( Z₂- Z₁) = G*h

Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*δS на путь V₁δt:

(p₁*δS₁)*(V₁δt)

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы противоположно направлению перемещения, и определяется выражением

- (p₂*δS₂) *(V₂δt).

Силы давления, действующие по поверхности струйки, работы не производят, так как они нормальны к перемещениям.

Работа сил давления равна

δA = (p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *(V₂δt). (5.7)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. Из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычтем потенциальную энергию жидкости в объеме 1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема 1’- 2 сократится, и останется лишь разность энергии элементов 1- 1’, 2- 2’.

По уравнению расходов (закон неразрывности) (5.6’) объемы и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’ и 2 - 2’ равны между собой:

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt . (5.8)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG:

(z₁-z₂) *δG. (5.9)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время δt, необходимо из кинетической энергии объема 1’- 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1’ - 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 — 2’ и 1 - 1’, масса каждого из которых равна δG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно

(V₂²- V₁²)* δG/(2g), (5.10)

Сложив работу сил давления (см. уравнение 5.7) с работой силы тяжести (5.9) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *( V₂δt) +(z₁-z₂) *δG=(V²₂- V²₁)* δG/(2g). (5.11).

сохранять на доске!

5.5. Первая форма уравнения Бернулли

Разделим это уравнение на δG - изменение силы тяжести элементарной струйки за время δt, (см. формулу (5.8) , и произведя сокращения на

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt , получим

Сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим

Писать!"Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости (первая форма уравнения Бернулли)":

(5.12)

где z - геометрический напор,

Р/ρg - пьезометрический напор,

V²/2g - скоростной напор.

Это уравнение полного напора, так как члены, входящие в него имеют размерность длины было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

Уравнение Бернулли (5.12) записано для двух произвольно взятых сечении струйки и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь одно и то же значение.

Для идеальной движущейся жидкости вдоль струйки тока сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.

На рис. 5.4 показано изменение всех напоров вдоль струйки.

Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называется пьезометрической линией.

Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расхода следует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость течения жидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напор уменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, а пьезометрический напор возрастает.

Например, если площадь поперечного сечения струйки в сечении 1 - 1 больше, чем в сечении 2 - 2 в 4 раза, скоростной напор увеличивается в 16 раз (рис. 5.4).

В сечении 3 - 3 та же площадь, что и сечение 1-1, и скоростные напоры одинаковы.

5.6. Вторая форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение (5.11) на элементарный объем

δW =δQ*δt= δS₁V₁*δt = δS₂V₂*δt,

учитывая, что

δG = ρ*g*δW, δW = δG/ρg,

получим p₁ - p₂ +(z₁-z₂) * ρ*g = ρ* (V²₂- V²₁₎/2. или

. (5.13)

Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления:

ρzg — весовое давление;

р — гидромеханическое давление;

ρv²/2 — динамическое давление.

5.7. Третья форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение (5.11) на массу δm = ρ*g*δW элементарного объема, равную

δm = ρ*( V_1*δS₁*δt) = ρ*( V_2*δS₂*δt) = δWρ = δG/g, а δG= gδm, преобразовав это уравнение, получим

(5.16)

Удельной энергией жидкости, называется отношение энергии жидкости к ее массе.

В третьей форме члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии:

gz — удельная потенциальная энергия.

Частица жидкости массой δm, помещенная высоту z, обладает энергией равной (δmg)z, на единицу массы приходится удельная энергия

(δmg)z/δm =gz;

Р/ρ - удельная энергия давления жидкости.

Частица массой δm при давлении р обладает способностью подняться на высоту h = P/ρg, и ее потенциальная энергия увеличится на величину равную (δmg)h = δm(P/ρ), на единицу массы увеличение удельной потенциальной энергии

δm (Р/( ρ) / δm = р/ρ.

Сумма gz + р/ρ является удельной потенциальной энергией жидкости;

V²/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.

Кинетическая энергия частицы массой δm равна δm*V²/2 , на единцу массы δm = V²/2.

Сумма Hg = zg+P/ρ+ V²/2 называется полной удельной механической энергией движущейся идеальной жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидроцилиндр (рис. 5.5). При этом преобразовании каждая единица массы жидкости совершает работу, численно равную р/ρ.

Пусть площадь поршня равна s, его ход L, избыточное давление жидкости в левой полости цилиндра, необходимое для преодоления силы R, равно р =R/S, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Преодолевая силу R при перемещении поршня из левого положения, давление совершает работу А = рSL. Расход жидкости, который необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы за время t , равен объему цилиндра, т. е. Q t = W =SL.Удельная работа, приходящаяся на 1 кг массы,

е = А/m = pSL /( SLρ) = р/ρ.

Характеристики

Список файлов лекций