Лекции 2012 (949139), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

где Cos(n ^x) – косинус между нормалью к площадке δS и осью Ох, масса жидкости в тетраэдре равна произведению ее плотности ρ на объем W = δxδyδz/6, то есть M = ρ(δxδyδz/6) , следовательно, проекция массовой силы, действующая на тетраэдр вдоль оси Ох, составляет

F_x = [ρ(δxδyδz/6)] Х.

Разделив это уравнение на площадь треугольника δyδz/2, которая равна проекции площади наклонной грани δSn на плоскость у0z, т. е. δyδz/2 = δS Cos(n ^x), получим

Р_х –Р_n + ρ(δx)X/3 =0.

При стремлении размеров тетраэдра к нулю δx, δy, δz также стремятся к нулю. Поэтому последний член уравнения, содержащий множитель δx, равен нулю. Давления Рх и Рn будут стремится к значению гидростатического давления в точке в направлениях к оси Х – Рх и нормали n – Pn. Поэтому при переходе к пределу при δх=0, получим

Рх-Рn = 0 или Рх = Рn.

Аналогично, составляя уравнения равновесия вдоль осей Оу и Оz, находим

Рy =Pn, Pz = Pn или Рх = Ру = Рz=Рn

Так как размеры тетраэдра δx, δy, δz взяты произвольно, то и наклон площадки δS произволен и, следовательно, в пределе при стремлении объема тeтраэдра к нулю, давление в его вершине по всем направлениям будет одинаково.

Это свойство гидростатического давления имеет место и при движении идеальной - невязкой жидкости.

При движении реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством не обладает.

3.2.Основное уравнения гидростатики

Рассмотрим распространенный частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости.

Допускаем, что свободной поверхностью жидкости считается горизонтальная плоскость.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.3.2) и на ее свободную поверхность действует давление Р₀. Найдем гидростатическое давление Р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарнyю горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h, то есть воспользуемся «принципом затвердения». Рассмотрим условие равновесия выделенного объема жидкости. Для равновесия объема давление жидкости на нижнее основание цилиндра будет действовать давление, которое по отношению к нему будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.

Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на вертикальную ось Z:

РδS –P₀δS – ρg(h*δS) = 0 .

Последний член уравнения представляет собой вес объема жидкости. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикальной оси. Сократив выражение на δS и выразив Р, найдем основное уравнение гидростатики:

Р=Р₀+hρg=P₀+h*γ , (3.1)

Используя его можно определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление складывается из давления Р₀ на внешнюю поверхность жидкости и давления, вызываемого весом вышележащих слоев жидкости.

Величина Р₀ является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая основное уравнение гидростатики, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается во все точки этой жидкости и по всем направлениям одинаково.

Давление жидкости как видно из формулы (3.1) возрастает при увеличении глубины по линейной зависимости и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. Поверхностями уровня являются все горизонтальные плоскости в жидкости, свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

Возьмем на произвольной высоте относительно сосуда горизонтальную плоскость, которую назовем плоскость сравнения (рис.3.2), от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты. Обозначив через Z координату точки М, через Z₀ — координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (3.1) h на Z₀ — Z, получим

Р=Р₀+hρg = Р₀+(Z₀ - Z)ρg = Ро+ Z₀ρg - Zρg ,

преобразовав и разделив уравнение на ρg,

Z + Р/(ρg) = Z₀+P₀/(ρg). (3.2)

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Z + Р/(ρg) → const

Определения (см.рис.3.2).

1.Координата Z (точки М относительно произвольной плоскости сравнения) называется геометрическим напором.

2.Величина h = Р/(ρg)= Z - Z₀ называется пьезометрической напором.

3. Сумма Z + h = Z+ Р/(ρg) называется гидростатическим напором.

Геометрический, пьезометрический, гидростатический напоры имеют линейную размерность.

Пьезо́метр (от греч.еского слова пьезо — сжимаю и метрео — измеряю) — прибор, который используется для производственного и лабораторного измерения гидростатического или гидродинамического давления жидкостей и деформации твёрдых тел.

3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их

интегрирование для простейшего случая Эйлера.

Рассмотрим равновесие жидкости под действием силы тяжести и силы инерции переносного движения при относительном покое.

В сосуде с неподвижной жидкостью выберем произвольную точку М с координатами х, у и z, в которой действует давление P (рис.3.3).

Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz. Точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует суммарная массовая сила, проекции которой, отнесенные к массе дают проекции единичной массовой силы на оси Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mA, A = F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z ,

Проекции массовых сил, действующих на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженных на массу выделенного объема: Fx = m X, Fу = mУ, Fz = mZ

Давление Р есть функция координат x, y и z, вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково по закону гидростатического давления. При переходе от точки М например к точке N изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину δх, в связи с чем функция P получает приращение, равное частному дифференциалу (∂р/∂х)*δх, поэтому давление в точке N’ равно

Р + (∂р/∂х)*δх,

где (∂р/∂х) — градиент давления вблизи точки М в направлении оси х

Рассматривая давления в других точках граней, нормальных к оси Ох, например, в точках N’ и М’, видим, что они отличаются от давления в т.О на одинаковую разность (с точностью до бесконечно малых высших порядков).

Р – [Р+(∂р/∂х) *δх]= (∂р/∂х)*δх.

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной разности давлений, умноженной на площадь грани:

(∂р/∂х)*δхδyδz.

Аналогичным образом, но градиенты давления (∂р/∂y)и (∂р/∂z) выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

X*ρ δхδyδz - (∂р/∂х)*δхδyδz = 0

Y*ρ δхδyδz - (∂р/∂y)*δхδyδz = 0 (3.3)

Z*ρ δхδyδz - (∂р/∂z)* δхδyδz = 0

Разделим эти уравнения на массу ρ(δхδyδz) параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя δх,δy и δz к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М. (3.2)

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0

Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 (3.4)

Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0

Система (3.4) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (3.4) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (3.4) на dх, второе на dу третье dz и, сложив все три уравнения, получим

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции Р(х, у, z)

[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = dP,

поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

X*dх+У*dy+Z*dz –dP/ρ = 0

или

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz) (3.5)

Полученное уравнение (3.5) выражает изменение давления dP при изменении координат на dх, dу и dz в общем случае равновесия жидкости.

Если рассмотреть действие на жидкость только силы тяжести, и направить ось z вертикально вверх, то Х = У=0, Z = — g, следовательно, вместо уравнения (3.5) для этого частного случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz (3.6)

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*dz + C (3.6a)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀ (см. рис.3.4). Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим С в (3.6а), получим

P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg (3.7)

Или

Z+P/( ρg) = Z₀ + P₀/( ρg)=const

Заменяя в уравнении (3.7) разность ( Z₀ -Z) на h — глубину расположения точки М (см.рис. 3.2.), найдем

Р = P₀ + ρgh

Получили то же основное уравнение гидростатики (3.1) или (3.2), которое было выведено в предыдущем параграфе иным путем.

Л. Э й л е р (1701—I783 гг.) — известный математик, механик и физик. Родился и получил образование в Базеле (Швейцария). Свыше 30 лет прожил в Петербурге, работая в Петербургской академии наук. Помимо математики, физики, теории упругости, теории машин и других наук занимался гидромеханикой, вывел дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов (см. ниже), предложил критерий гидродинамического подобия. Считается одним из основоположников гидромеханики.

3.4. Пьезометрическая высота.

Прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, называется пьезометр. Один конец присоединяется к точке, где измеряется давление, другой конец обычно соединен с атмосферой. (рис.2).

Характеристики

Список файлов лекций