Лекции решеные задачи из сборника (949132), страница 4
Текст из файла (страница 4)
поверхностьобразована линиями тока)2. жидкость несжимаема3. жидкость является сплошной средой (отсутствуют разрывы) можно записатьu1dω 1dt = u2dω 2dt Q = constu1/u2 = dω 2/dω 1 v1/v2 = ω 2 / ω 1Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкостиПри изучении движения жидкости необходимо рассматривать ряд величин, которыеотсутствовали при изучении жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Это проекцииускорений объемных сил, проекции скорости, гидродинамическое давление иплотность. Основная задача гидродинамики установить зависимость этих переменныхот координат и времени.Ранее были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Для того,чтобы перейти от них к уравнениям движения согласно принципу Д’ Аламберанеобходимо добавить силы инерции. Для элементарного параллелепипеда проекциясилы инерции на ось X будет равна ρ dx dy dz dux/dt т.е. произведение массы наускорение. Уравнения равновесия были записаны через единичные массовые силы,поэтому уравнения движения можно представить следующим образом.Эти уравнения называются уравнениями Эйлера, а также уравнениямидинамического равновесия.Данные уравнения справедливы для идеальной жидкости. При рассмотренииреальной жидкости требуется добавить силы вязкости.
Полученная таким образомсистема уравнений носит название уравнений Навье – Стокса.Интегрирование дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости.Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкостиПеред тем, как начать интегрирование необходимо сделать ряд преобразований умножить каждое уравнение соответственно на dx, dy, dz и просуммировать.Используя те же соображения, что и при интегрировании дифференциальныхуравнений равновесия жидкостиУчитывая, чтокроме тогоСледовательноИли окончательноПолученное дифференциальное уравнение устанавливает взаимосвязь между силовойфункцией, гидродинамическим давлением и скоростью в любом сечении элементарнойструйки.
Проинтегрировав, имеем.Далее рассматривается частный случай, когда на жидкость из объемных силдействует только сила тяжести, следовательно.Данное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйкиидеальной жидкости.Если рассмотреть два сечения, то можно записатьПо аналогии с гидростатикой можнопоказать, что два первых слагаемыхпредставляет собой удельную энергию:первое - удельную энергию положения;второе - удельную энергиюгидродинамического трения.Третье - удельную кинетическуюэнергию.Сумма трех слагаемых является полнойудельной энергией, т.е. напором.С физической точки зрения уравнение Бернулли описывает частный случай законасохранения энергии.Геометрический смысл уравнения в том, что напорная плоскость горизонтальна.Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкостиКак известно реальная жидкость отличается от идеальной наличием вязкости, т.е.между отдельными слоями жидкости при движении существует трение.
Посколькусуществует трение, следовательно, должны появиться и потери энергии. Т.е. частьэнергии движущейся реальной жидкости переходит в тепло. Происходит такназываемая диссипация. Причем этот переход энергии необратим. С учетом сказанногоможно записать.Уравнение Бернулли для потока реальной жидкостиДля того, чтобы получить уравнение для потока реальной жидкости, т.е. уравнениедля полной энергии жидкости, проходящей через живое сечение необходимопросуммировать полные энергии всех струек в него входящих. Умножим уравнение навесовой расход γ dQ.Полная энергия потокаВеличину средней удельной энергии потока в сечении получим, разделив величинуполной энергии на весовой расходТ.к.первое слагаемое равно.Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого на v2где- коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерностьраспределения скоростей.Умножим числитель и знаменатель на ρ /2.Коэффициент Кориолиса представляет собойотношение действительной кинетической энергиипотока в данном сечении к средней энергии потока вданном сечении.Для труб круглого сечения при турбулентном режимепримерно равен 1,1.
Для ламинарного режима - 2. Вгидравлических прыжках - 5 - 7.Геометрическая интерпретация уравнения БернуллиПадение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклономНапорная линия всегда понижается.Пьезометрическая линия м.б., как нисходящей, так и восходящей.При постоянном диаметре напорная и пьезометрическая линии параллельны.Два режима движения жидкостиТечение реальной жидкости характеризуется различными режимами ее движения,которые могут переходить один в другой при определенных условиях.Экспериментальные исследования гидравлических сопротивлений показывают, чтопотери напора (потери энергии) зависят от существующего в потоке режима движения.Существование двух принципиально разных режимов движения жидкости былоотмечено Г.
Хагеном в 1839 и 1854 гг. При изучении течения всевозможных капельныхжидкостей с различными физическими свойствами Рейнольдс установил, что движениебывает ламинарным и турбулентным.“Ламинарный” происходит от латинского слова lamina - слой. Ламинарнымназывается такой режим, когда поток жидкости движется отдельными струйками илислоями и траектории отдельных частиц между собой не пересекаются. В практикеламинарный режим имеет место при движении жидкостей с большой вязкостью (нефти,смазочных масел), при движении воды через тонкие трубки, в трубопроводах при малыхскоростях потока.“Турбулентный” происходит от латинского слова turbulentus - беспорядочный.Турбулентным называется такой режим, когда струйчатость потока нарушается, всеструйки перемешиваются, и траектории движущихся частиц приобретают сложнуюформу, пересекаясь между собой.
В практике чаще всего имеет место турбулентныйрежим движения жидкости.В 1883 г. Рейнольдс в результате экспериментальных исследований установил, чтокритерием режима движения жидкости является безразмерная величина,представляющая собой отношение произведения средней скорости потока v ихарактерного для рассматриваемого случая линейного размера L к кинематической. Этот критерий называется числом Рейнольдса ивязкости жидкости ν :обозначается Re. Таким образом, число Рейнольдса имеет вид.При напорном движении жидкости в круглых трубах за характерный линейныйразмер L обычно принимают внутренний диаметр трубы D и тогда,а в остальных случаях - гидравлический радиус R.Физический смысл числа Рейнольдса состоит в том, что оно выражает отношение силинерции к силам вязкости:;;(5.4)При преобладании сил вязкости - режим ламинарный, при преобладании сил инерции- режим турбулентный.
Многочисленные экспериментальные исследованиягидравлических сопротивлений показывают, что между ними и скоростью движенияжидкости имеется зависимость hl = f(v).Если опытные данные нанести на график в логарифмических координатах, то можновыявить три области: ламинарную (линия AB), турбулентную (линия CD) инеустойчивую, расположенную между точками B и C.Точки В и С называются критическими, то есть точками,в которых происходит изменение режима. Точка Вназывается нижней критической точкой. Скорости,соответствующие этим точкам, называютсякритическими скоростями.
Для точек В и С характерното, что при скоростях меньше vН.К. всегда наблюдаетсяламинарный режим, а при скоростях больших vВ.К. турбулентный режим. При изменении скоростей отмалых к большим ламинарный режим можетудерживаться до точки Е. При изменении скоростей отбольших к малым, турбулентный режим можетудерживаться до точки В.Значение числа Рейнольдса, соответствующее нижней критической точке В,называется нижним критическим числом Рейнольдса и равно.(5.5)Число Рейнольдса, соответствующее верхней критической точке С, называетсяверхним критическим числом и равно(5.6)Для напорного движения в цилиндрических трубах нижнее критическое число равно956, то есть ламинарный режим устойчив, если Re 956.В результате изучения движения жидкости, проведенного многими исследователями,в круглых гидравлически “гладких” трубах на участках, достаточно удаленных отвхода, при отсутствии различных источников возмущения установлено критическоечисло Рейнольдса Reкр = 2000 - 2320.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
