Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 61
Текст из файла (страница 61)
+ И„Л„и„а) — д,с,Л, и,а+ саЛа и„+ ... + с„),„и„) Х Х (сгдЛд идд+ ... + г(„Лииан) = (сдгда — сг"д) (ддж"д — идти„) ЛдЛ, (1 + ь а Флг В силу второго условия теоремы сд4 — сегда Ф О. Поэтому иддиж — идаим ~ ~ Л, ! ) ' (5) Б силу первого условия теоремы ини„— идаиад + О. Аналогично (6) В случае, если Л,.=Л, и это собственное значение лежит в каноническом ящике второго порядка, будем пметь, что (5') (6') Переходя к пределу в равенствах (5) и (6) (или (5') и (6')) при (а -+ оз, получим иддиаа — иии„ адв — ' хд = иниж — идаиа„ ицим — иа,ии т~да + уд = иниж — идаиад Таким образом, предельные векторы (с компонентачи х; и уд) равны ид,иж — ижиад ' иддиа — идаим (г) иад (г + и» (г кадим — ид,иад ' иддиа,— идаин Теорема доказана.
В процессе доказательства даны и оценки быстроты сходимости Заме ч.ание. Условиям 2 и 3 теоремы можно всегда удовлетворить за счет подходящего выбора начальных векторов Ха и У . Выполнения же условия 1 можно добиться за счет изменения, в случае 362 члстичнля пговлямл совстввнных значений (гл. ч надобности, нумерации компонент векторов пространства, что равносильно одновременному изменению строк и столбцов матрицы А.
Нетрудно доказать далее, что если условия 1 и 2 выполнены, то условие 3 будет выполняться при достаточно больших и. На доказанной теореме и основывается рассматриваемая модификация ступенчатого степенного метода. Последовзтельность векторов Хл и Уь строится до тех пор, пока не окажутся выполненными, с достаточной степенью точности, равенства Хзе!= Хл Такая стабилизация наступит, если условия теоремы 57.1 выполнены. В силу теоремы, подпространство, натянутое на предельные векторы Х н У, совпадает с инвариантным подпространством, натянутым на векторы (l, и (гз.
Поэтому наша залача сводится теперь к решению полной проблемы собственных значений в этом двумерном подпространстве. Примем за базис этого подпространства предельные векторы Х и У. Тогда АХ=иХ+рУ А~ =ТХ+8! так что матрица (8) (7,=Х+ " У т () Х( хг — а 1 (9) Мы не будем приводить примера, иллюстрирующего рассматриваемую модификацию ступенчатого степенного метода, так как она нами рассмотрена лишь с целью теоретического обоснования послелующнх модификаций, более пригодных для численного осуществления.
есть матрица индуцированного оператора в рассматриваемом подпространстве. Числа а, 'р, Т, 8 легко определяются. Лействительно, а и р — суть первые две компоненты вектора АХ, т и 8 первые две компоненты вектора АУ. Приближенные значения для них уже были нами получены как соответствуюшие компоненты векторов АХв и АУ„. Искомые собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы Е. Координаты же векторов (7, и (7з относительно базиса Х и У равны компонентам собственных (или собственного и корневого) векторов матрицы 1.. Так, если );г ь)э, легко вычислим, что сттпвичатый ствпвнной мвтод ЗБЗ $57] 2.
Ступенчатые итерации Бауэра' ). Исходя из двух векторов Еа и )', образуем две последовательности векторов Е» и У„следующим образом. Вектор Л»,, получается из вектора АЕ» делением на первую его компоненту. Вектор У„,, получается как линейная комбинация векторов АУ„и А2», такая, что первая компонента вектора У„, равна нулю, вторая равна единице. Иными словами, векторы У„ совпадают с одноименными векторами предыдущей модификации прн Х, = Ла, а векторы 7» совпадают с нормированными к единичной первой компонегые векторами обычного степенно~о метода.
Поэтому в условиях предыдущей теоремы векторы )'„стабилизируются. Поведение же векторов 2» зависит от взаимного расположения первых двух собственных значений, которое а рг]ог! может быть неизвестным. Именно, последовательность Л» будет стабилизироваться, если ()ч]) ]).,], но, быть может, очень медленно, если ))ч] близок к !)в ~ или если )ч =- )я, и не будет стабилизироваться, если ])ч)=]),„], но )чФ)ч т. е, если )ч= — )а и если Ло )а образуют комплексную пару. Тем не менее, используя векторы 2» и У„при достаточно большом )а, можно определить ), и )щ так же как и принадлежащие нм собственные (или собственный и корневой) векторы, не сложнее, чем используя вполне стабилизирующиеся итерации Х» и У„предыдущей модификации. Ясно, что (при Ла = Х,) векторы 2» и векторы Х» связаны соотношением Х»= т» — е)'» где а» есть вторая компонента вектора Л».
Поэтому, при достаточно большом к, можно считать, что 2» — а»У, Х, где Х и У вЂ” предельные векторы стабилизируюшегося процесса, т. е. можно считать, что вектор 2» попадает в подпространство, натянутое на векторы Х и У. Примем векторы УТ» и У за базис этого подпространства. Выясним, как действует матрица А на этот базис.
Имеем при всех я соотношения Аг„= р„К„„ АУ» = е»2», »+ т»У»ч ы Коэффициенты р», е» и т» легко определяются из сравнения первых двух компонент в этих соотношениях. т) Бауэр ]7]. частичная пговлемл совственных знлчвнип (гл. ч При выбранном нами достаточно большом й мы вправе заменить векторы г'а и Уль, на 1', вектор 2„~, на 2„+(еа+, — еь) 1', так что Ае.а — - — ра7е+- рв (ел, — ее) )' АУ = саха+( а +еа(еь-з — ел)) 1.
(1 О) Следовательно, подлежащие определению собственные значения ма~рицы А равны собственным значениям матрицы М„.=— е ев (11) рл(аа., еь) л+ а(ь ь) — (Рл — 1- а+ел(еа г1 — ев)) с+ге ь (12) Огметим, что если в процессе стабилизируется не только второй столбец, но и первый, то матрица М„стабилизируется и предельная матрица М имеет треугольную форму (':2 3. Нестабилизирующиеся итерации. Здесь )', и Ж'е некоторые начальные векторы, векторные последовательности строятся по формулам 1гае г = А1'гь (13) Ю'ь-.~ = А)Ра — т~ь7ь- г где т1„ есть отношение первых компонент векторов АЖ'ь и Ивам так что первая компонента вектора 1г'а,, равна нулю при гг )~ О.
ясно, что векторы р'и и %'„ лишь нормировкой отличаются от векторов х„ и 'гь предыдущей модификации. Именно, Га = аахь ив= се~ л (14) где ав — первая компонента вектора и'а, се — вторая компонента вектора 1гь. Позтому векторы У„и %'„также можно принять за базис инвариантного подпространства, натянутого на векторы У, и Уз, при достаточно большом й. Легко вывести связи между числами ра, аь и та предыдущей молификации с первыми компонентами векторов )'ы Уаго Ф'ь и (Рь+ы з собственные векторы (или собственный и корневой векторы) имеют координаты в базисе г".„и г', равные компонентам собственных векторов'(или собственного и корневого векторов) матрицы М„. Легко вычислить, что характеристический полином матрицы М„ есть ступенчатый стапезшОй метет Именно, ак~-1 Рк = (15) к ск к к ск Нзконец, ек= — "—, где Ьк — вторая компонента вектора Ук.
Ьк к Соотношения (10) для векторов 2к и Ук, имеющие место прп достаточно больших и, превращаются в соотношения АУ„= "" -'и„-+ — '(б„,— б,"")17„ ак ск т ак А(гск = — тм — к )ск+ ~ — к — + — к (бк — Ьк )~Чтк. ак ск ск ~ '+' ак Поэтому искомые собственные значения матрицгя А равны собственным значениям матрицы ~ам ак (16) к= 1 ( „~~) т. е. корням квадратного уравнения Гт — ~ "к+т + к+' -1- — '"(а — Ь ак+'!" 1+ ак"' к" =О. (17) ак ск се~ к"г к ак акса Собственные векторы определяются аналогично предыдущей модификации.
В рассматриваемой модификации, при выполнении условий теоремы 57.1, векторы В'к сходятся лишь по направлению, а векторы Гк могут сходиться по направлению быстро или медленно, или совсем не сходиться. Критерием, позволяющим окончить процесс, может служить стабилизация свободного члена уравнения (!7). В случае, если (Л,! ) 1Лс(, векторы Ъ'к сходятся по направлению, ак.ь г так что Ьк „- Ьк к~', и потому за собственные значения можно ак принять Л, = ~'~, ), = к+с . ак ' ' ск Указанная модификация несколько проще предыдущей в процессе составления последовательностей векторов, но менее удобна в заключительных операциях.
Поэтому целесообразно, начав процесс в этой модификации, перейти затем соответствующим нормированием к предыдущей. 36Г> ч\стнчнпя пгозлгмА согствениых знАчениЙ (гл. ч В качестве примера определим первые два собственных значения матрицы Леверье и принадлежащие им собственные векторы при помощи третьей модификации ступенчатого степенного метода. Возьмем птп == (1, 1, 1, 1)', %'о.= (О, 1, 1, 1)'. Тогда ля„! я, н, .=-.4 16 -О 10419891 1О ~ О 0.72583941 НП ( -О.!ЩЩГИБ.К вЂ” о зтзщ180 !о' олмт7646 нп -0.11545164 1О" --0.14996613 10" -28.101544 -.О. 1750465 — 0.91870763.10 О 1%96157.!О о — О.ГЫ ИПН 1О" 0.53854629 1О" О 2028172!.1Оп п 412ммгпн, Щ -0 10911099.16 0718575616. ю -олзжпмо щ — О Н603620.10 Собственные значения матрицы 75717 определяются из уравнения !2+ 35.015145!+ 306.38882 = О, собственные значения матрицы Г4718 из уравнения Гз-!- 35.015455!+ 306.39423 = О.
Мы видим, что процесс достаточно стабилизировался. Для собственных значений получаем Л, = — 17.8629, )а = — 17.1522 при )5 = 17 Л,= — 17.8631, )м= — 17.!523 при й= 18. или Для определения собственных векторов, принадлежащих найденным собственным значениям, найдем предварительно (при Й = ! 8) собствен- -ЗДО8ОЫ вЂ” 5.753172 -8.384229 2.ЪН808 — 6.04Ю37 — 8. 433328 — !5.928987 — о.ооооооо! — 10.168965 -14,449051 -27.353636 — ПЛ6555 !95 10 ОЛ тюпЗ !4. 1Π— 0.72561121 10 — 0 %6 П659 10 о — 0.17519870 1О" О 21119162 10п — 0.65281857 10'* 6 58! метод ) -вазностн ные векторы матрицы Ма. Нетрудно подсчитать, что Х, = (1, — 9.4429)', Х,=(1, — 6.0357)'. Теперь имеем У~ = !"~з — 9.4429И'ы С~ (Г = Ъы — 6.0357йгж 0 166962.
!Ого 0 019861 0 166962, 10ю — 0.142657 ° 10ц О.!69702 — О.!32477 ° !Оц 0 157293 10" — 0,187112 0.119970 10ц — 0.679638 10ы 0.808482 0.297402 1Он Все три модификации двухступенчатого степенного чегола могут быть обобщены в форме г-ступенчатого степенного негода, позволяющего уже, вообще говоря, определять г собственных значений и принадлежащих им векторов канонического базиса. Первая модификация дает стабилизирующийся процесс, если !),„( > ~)тгы!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
